Модели, типы моделей и их использование. Математические модели динамических систем и процессов

Создание некоторой универсальной модели, отвечающей различным аспектам ее применения, практически невозможно. Для получения информации, отражающей те или иные свойства управляемого объекта, необходима классификация моделей. В основе классификации лежат особенности оператора φ. Все многообразие объектов управления, исходя из временного и пространственного признаков, можно разделить на следующие классы: статические или динамические; линейные или нелинейные; непрерывные или дискретные во времени; стационарные или нестационарные; процессы, в ходе которых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без пространственного изменения параметров. Так как математические моделии являются отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы. Полное наименование модели может включать в себя совокупность перечисленных признаков. Эти признаки послужили основой названия соответствующих типов моделей.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе все модели могут быть разделены на следующие виды:

Детерминированные модели – отображают детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий.

Стохастические модели – отображают вероятностные процессы и события; в этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса, и оцениваются средние характеристики.

Стационарные и нестационарные модели. Модель называется стационарной, если вид оператора φ и его параметры p не изменяются во времени, то есть, когда справедливо

φ= φ, т.е. y= φ(p,x).

Если же параметры модели изменяются во времени, то модель является

параметрически нестационарной

Самый общий вид нестационарности – когда от времени зависит и вид функции. Тогда в запись функции добавляется еще один аргумент

Статические и динамические модели. В основе такого разделения типов моделей лежат особенности движения исследуемого объекта как материальной системы.

Говоря о моделях с позиций задач управления, надо отметить, что под пространством здесь понимается не геометрическое пространство, а пространство состояний – координат состояний выходных переменных у . Элементами вектора y являются обычно контролируемые технологические параметры (расход, давление, температура, влажность, вязкость и т.д.). Состав элементов вектораy для самого объекта может быть шире, чем для модели этого объекта, так как при моделировании требуется изучение только части свойств реальной системы. Движение объекта управления в пространстве состояний и во времени оценивается с помощью векторного процесса y(t).

Модель системы называется статической , если состояние системы не изменяется, то есть система находится в равновесии, но движение связано со статичным состоянием объекта, находящегося в равновесии. Математическое описание в статических моделях не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравнений либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределенными параметрами. Статические модели обычно являются нелинейными. Они точно отражают состояние равновесия, вызванное переходом объекта от одного режима к другому.

Динамическая модель отражает изменение состояния объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную во времени. Динамические модели используют дифференциальные уравнения. Точные решения этих уравненийизвестны только для некоторого класса дифференциальных уравнений. Чаще приходится прибегать к использованию численных методов, являющихся приближенными.

Для целей управления динамическую модель представляют в виде передаточной функции, связывающей входные и выходные переменные.

Линейные и нелинейные модели. Математически функция L(x) – линейна, если

L(λ 1 x 1 +λ 2 x 2)=λ 1 L(x 1)+λ 2 L(x 2).

Аналогично и для функций многих переменных. Линейной функции присуще использование только операций алгебраического сложения и умножения переменной на постоянный коэффициент. Если в выражении для оператора моделиесть нелинейные операции, то модель является нелинейной , в противном случае модель – линейна .

Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами. Следует отметить, что с учетом введенной терминологии было бы корректнее в названии модели вместо слова «параметры» употреблять понятие «координата состояния». Однако это сложившееся название, которое часто встречается во всех работах по моделированию технологических процессов.

Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве (или только в пространстве), то модели, описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. В этом случае вводится геометрическое пространство z=(z 1 ,z 2 ,z 3 ) и уравнения имеют вид:

y(z)=φ, p(z)=ψ.

Их математическое описание включает обычно дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения в случае стационарных процессов с одной пространственной координатой.

Если можно пренебречь пространственной неравномерность значений координат состояний объекта, т.е. градиент , то соответствующая модель – модель с сосредоточенными параметрами. Для них масса и энергия как бы сосредоточены в одной точке.

Трехмерность пространства не всегда обязательна. Например, модель змеевика с нагреваемым рабочим телом и с тонкостенной оболочкой обычно исходит из одномерности объекта – учитывается только длина змеевика. В то же время процесс передачи тепла в ограниченный объем рабочего тела через толстую стенку может быть описан одномерной моделью, учитывающей только толщину оболочки и т.п. Для конкретных объектов форма соответствующих уравнений требует обоснований.

Модели непрерывные и дискретные во времени. Непрерывные модели отражают непрерывные процессы в системах. Модели, описывающие состояние объектов относительно времени как непрерывного аргумента – непрерывные (по времени):

y(t)=φ, p(t)=ψ.

Дискретные модели служат для описания процессов, которые предполагаются дискретными. Дискретная модель не может дать прогноз поведения объекта на интервале между дискретными отсчетами времени. Если введем квантование по времени с шагом ∆t, то рассматривается дискретная шкала , где i=0,1,2…- приобретает смысл относительного времени. И дискретная модель:

y(i)=φ; p(i)=ψ.

При правильном выборе шага ∆t можно ожидать от дискретной модели результата с наперед заданной точностью. При изменении ∆t должны быть пересчитаны и коэффициенты разностного уравнения.

Дискретно-непрерывные модели используются для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

Требования, предъявляемые к математическим моделям: точность – свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с помощью модели значений параметров объекта с их истинными значениями; экономичность затрат машинного времени; универсальность – применимость к анализу группы однотипных объектов.

Информатика, кибернетика и программирование

Модели применяемые в управлении. Типы моделей. Масштаб времени динамических моделей. Непрерывные модели динамических систем. Уравнения состояния. Нелинейные системы. Численное моделирование динамических систем. Проблема слишком большого шага. Дискретные модели динам

Модели, применяемые в управлении. Типы моделей. Масштаб времени динамических моделей . Непрерывные модели динамических систем . Уравнения состояния. Нелинейные системы. Численное моделирование динамических систем. Проблема слишком большого шага. Дискретные модели динамических систем. Управляемость, оценка и наблюдаемость. Нечеткие системы

Модель процесса — основа управления. Любая стратегия управления базируется на некотором понимании того, как физический процесс реагирует на входной сигнал. Поэтому умение анализировать и моделировать динамику системы является основной предпосылкой для успешного управления.

Типы моделей

Существует много способов описания систем с помощью моделей. Конкретный выбор зависит от предварительно имеющейся информации, возможностей собирать данные о процессе по мере его развития и, что важнее всего, от цели моделирования. В отличие от науки, где целью моделирования является глубокое проникновение в суть системы, модель в инженерном смысле считается адекватной, если соответствующие процессы управления работают предсказуемым образом, т. е. имеется устойчивый выход с малыми отклонениями от заданного значения, воспроизводимость отклика на входной сигнал и т. д

1. Непрерывное во времени (аналоговое) описание . Система описывается линейными или нелинейными дифференциальными уравнениями баланса массы, энергии, сил или моментов. Во многих случаях нелинейные уравнения можно линеаризовать и тем самым упростить работу с ними.
2. Дискретное во времени описание (sampled time description ). Физические свойства описываются линейными или нелинейными разностными уравнениями. Такой подход означает, что информация о системе доступна только в определенные, дискретные, моменты времени. Этот тип описания в действительности почти неизбежен при цифровом управлении потому, что компьютеры, базирующиеся на наиболее распространенной архитектуре фон Неймана (von Neumann ), выполняют инструкции последовательно. Определение интервала дискретизации, т. е. периодичности обновления или пересчета данных, является наиболее важным элементом такого моделирования.
3. Модели систем, основанных на дискретных событиях (discrete events model ) или на последовательности событий (sequencing system ). Пример управления последовательностью событий был приведен в разделе 2.2.1. При таком описании входные и выходные величины системы дискретны во времени и обычно являются бинарными сигналами типа "включено/выключено". Многие системы управления последовательностью можно описать как системы очередей и моделировать так называемыми марковскими цепями или марковскими процессами.
4. Модели систем с неопределенностями (system with uncertainties ). Как на сами управляемые системы, так и на измерения часто влияют нежелательные шумы и возмущения. В одних случаях возмущения и неполные знания о техническом процессе можно интерпретировать статистически. В других — факторы неопределенности вместо количественных характеристик можно описывать лингвистическими и логическими выражениями. Пример такого описания — правила экспертных систем "если-то-иначе". Еще одно средство описания неопределенностей — так называемая нечеткая (fuzzy ) алгебра.

Масштаб времени динамических моделей

Масштаб времени — одна из наиболее важных характеристик динамического процесса. Большинство технических систем и производств включают в себя несколько процессов, существенно отличающихся временем реакции. Поэтому при описании процесса важно выбрать масштаб времени, который соответствует поставленной цели.

Проиллюстрируем это на примере промышленного производства. Задачи управления можно разбить на несколько уровней. События на уровне станков происходят за доли секунды, как, например, при управлении манипулятором робота или инструментом станка. На следующем, более высоком уровне управления, на уровне участка, цель — синхронизация различных механизмов, например решение, когда робот должен переместить деталь между двумя станками. Масштаб времени здесь уже имеет порядок от секунд до минут. На уровне участка предполагается, что задача управления конкретным станком уже решена на более низком уровне. Масштаб времени на уровне участка определяется задачами снабжения станка заготовками, определения, свободен ли робот, чтобы захватить новую деталь, и т. д. На еще более высоком уровне планируется производство в целом, т. е. что производить и с какими конкретными характеристиками. Решение таких проблем может занимать дни или недели, и по сравнению с этим динамика одного станка рассматривается как одномоментная.

Моделирование динамических систем

Существуют как хорошо известные и давно изученные процессы, так и процессы, о которых известно очень мало и которые трудно поддаются количественному описанию. Например, динамика самолетов и ядерных реакторов изучалась очень тщательно, и существуют достаточно точные, хотя и очень сложные модели этих процессов. Есть процессы, которые трудно описать количественно. Например, лабораторный процесс ферментации микроорганизмов одного типа в четко определенной питательной среде можно описать весьма точно. В отличие от этого, процесс биологической очистки сточных вод содержит сложную смесь организмов в среде, трудно поддающейся описанию. Такой процесс только частично можно описать обычными количественными моделями. Когда количественных моделей недостаточно или они слишком сложны, для описания процессов применяют семантические (лингвистические) модели. Другие примеры частично изученных процессов — производство металла, разделение жидких и твердых субстанций, многие биохимические процессы и работа печей кругового обжига.

Для процессов, параметры которых изменяются во времени, характерны свои специфические проблемы. Например, в биологической системе добавление нового субстрата в процесс может вызвать мутацию микроорганизмов, которая приведет к значительному изменению динамики всего процесса.

Как правило, моделирование сложной системы представляет собой трудный, дорогой и требующий много времени процесс, особенно если необходима экспериментальная проверка. В принципе, существуют два способа разработки модели. При физическом подходе модель формируется исходя из физических соотношений и уравнений баланса. Другой способ построения динамической модели основан на экспериментальных данных. В технический процесс вносятся возмущения в виде различных типов входных сигналов, а затем выполняется анализ серий входных и выходных данных с помощью процедуры, которая называется идентификацией параметров . Если анализ выполняется в реальном времени, т. е. со скоростью, сопоставимой со скоростью протекания процесса, то такая процедура называется рекурсивной оценкой .

На практике обычно применяется комбинирование физического моделирования и идентификации параметров. При более глубоком изучении основных свойств процесса становится проще получить точное динамическое описание. Однако даже тщательно разработанные модели, основанные на физическом подходе, требуют экспериментальной проверки.

Параметры многих процессов и систем изменяются не только во времени, но и в пространстве, например концентрация жидкости в баке. Физический баланс таких систем описывается уравнениями в частных производных. В системах управления процессами эти уравнения обычно аппроксимируются конечными разностями по пространственным переменным для того, чтобы система описывалась обыкновенными дифференциальными уравнениями

Непрерывные модели динамических систем. Уравнения состояния

Дифференциальные уравнения, описывающие физический процесс, всегда можно преобразовать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае говорят, что это описание в виде уравнений состояния или в пространстве состояний . Главное преимущество такой формы записи в том, что для решения этих уравнений можно использовать численные методы. Кроме того, четко прослеживается физическая сущность процесса, в частности связь между внутренними переменными и внешними входным и выходным сигналами. Аналогично, изучение систем управления с более чем одним входом и выходом, проще в форме уравнений состояния. Основой математического аппарата для моделей в пространстве состояний служит, главным образом, линейная алгебра — векторная и матричная нотации значительно упрощают описание. Однако методы линейной алгебры не требуются, чтобы получить основные представления о динамике системы.

Уравнения состояния представляют собой практичный и удобный способ описания динамических систем. Состоянием называется набор всех переменных — так называемых переменных состояния , производные первого порядка от, которых входят в уравнения описания динамической системы. Концепция уравнений состояния имеет фундаментальное значение. Если известны текущее состояние системы (переменные состояния) и входные сигналы, то можно предсказать ее дальнейшее поведение. При этом предысторию, т.е. как было достигнуто текущее состояние, знать не нужно. Другими словами, состояние — это минимальное количество информации о системе, которое необходимо, чтобы предсказать ее будущее поведение.

Состояние х можно представить как вектор-столбец, компоненты которого — переменные состояния

Непосредственно измерить все переменные состояния можно в редких случаях, т. е. существуют внутренние переменные, за которыми не удается следить с помощью датчиков. Поэтому описание в пространстве состояний называют также внутренним описанием . Выходные величины — измерения, обозначаются через y 1 , у 2 ,..., у р и составляют вектор у

В общем случае число датчиков р, связанных с техническим процессом, меньше числа переменных состояния п. Поэтому вычисление х по у — нетривиальная задача.

На любую техническую систему влияют входные сигналы двух типов — сигналы,которые можно изменять вручную или автоматически какими-либо техническими средствами, и сигналы, которыми управлять невозможно. Сигналы первого типа называются управляющими сигналами или переменными управления U 1 , U 2 составляют вектор U

Входные сигналы второго типа могут влиять на систему, но не поддаются управлению. Величина этих сигналов отражает влияние внешней среды на систему, например изменение (возмущение) нагрузки, вызванное температурой, радиацией, нежелательным магнитным воздействием ("наводками") и т. п. Все эти сигналы обозначаются вектором v

Целью системы управления является вычисление на основе имеющихся измерений у таких управляющих сигналов и, чтобы, несмотря на влияние возмущений v , техническая система выполняла поставленные задачи. Управляемую систему можно представить в виде блок-схемы (рис. 3.13), на которой показаны управляющие сигналы, возмущения и выходные переменные

Рис. 2.1 Блок-схема управляемой системы

Область применения линейных моделей

Существуют динамические явления, которые нельзя описать линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Рассмотрим влияние нелинейности на примерах. Системы, описываемые ниже, ведут себя как линейные при малых значениях входных сигналов, а при больших — появляется нелинейность.

Ограничения сигнала

В реальных условиях все сигналы ограничены. Во многих технических системах в качестве конечных управляющих элементов используются клапаны. Поскольку клапан не может быть открыт больше, чем на 100 %, рассчитанный математически сигнал управления иногда просто нельзя реализовать (рис. 2.2). Это вызывает определенные трудности в управлении.

Другой пример ограничения сигнала — ток ротора электрического двигателя. Ток должен быть ограничен, иначе двигатель сгорит. Соответственно, система управления двигателем не может быть линейной, особенно при больших ускорениях и моментах, когда ток тоже должен быть большим

Рис.2.2 Выходной сигнал исполнительного механизма с ограничениями

Нелинейные системы

Описанные системы являются нелинейными, но при некоторых допущениях их можно аппроксимировать линейными уравнениями. Другие типы нелинейностей нельзя свести к линейному описанию. Наиболее часто встречающийся пример — релейные системы. Реле вырабатывают бинарные сигналы типа "включено/ выключено"; идеальное реле для любого положительного входного сигнала имеет фиксированный положительный выход и, соответственно, фиксированный отрицательный выход при любом отрицательном входе. Очевидно, что в такой системе не выполняется принцип суперпозиции

Примеры систем с существенными нелинейностями:

1. различные виды реле (с зоной нечувствительности, гистерезисом и т. д.);
2. клапаны (зоны нечувствительности, насыщение);
3. нелинейные деформации механических пружин;
4. падение давления в сужении трубы;
5. силы трения;
6. аэродинамическое сопротивление;
7. свойства пара;
8. двигатели постоянного тока с последовательной обмоткой возбуждения (момент — функция квадрата тока роторной цепи);

двигатели переменного тока

Нелинейные системы можно описать в следующем виде

где определены п переменных состояния и г входов, или в компактной векторной форме

Численное моделирование динамических систем

Для решения нелинейных дифференциальных уравнений в большинстве случаев используются численные методы. Основной метод решения дифференциальных уравнений — аппроксимация производных по времени простыми разностными уравнениями. Этот метод называется аппроксимацией Эйлера с восходящими разностями

Если известны начальные условия х(0), то можно рассчитать состояния х(t + h ), х(t +2 h ), х(t +3 h ),..., которые являются приближениями точного решения в моменты времени t + h , t +2 h , t +3 h и т.д. Здесь очень важно выбрать шаг { step ) интегрирования h , который, в принципе, должен быть как можно меньше, однако на практике выбирается некая компромиссная величина. Слишком маленький шаг приведет к неоправданно большому времени вычислений (которое, естественно, еще серьезно зависит от сложности вычислений, типа уравнений, числа переменных и мощности процессора). С другой стороны, слишком большое значение h вызывает проблемы сходимости решения и приводит к нежелательным результатам. Эффект неправильно выбранного шага может оказаться очень существенным, особенно если моделируемая система включает в себя и быстрые, и медленные динамические процессы.

Проблема слишком большого шага

Для иллюстрации проблемы слишком большого шага рассмотрим простую систему, описываемую уравнением первого порядка

где х(0) = 1 и а > 0. Уравнение имеет аналитическое решение

С другой стороны, дифференциальное уравнение можно решить численно методом Эйлера. При аппроксимации производной конечной разностью

На рис. 2.3. показано, что происходит при различных значениях шага h . В общем случае для больших значений h — таких, что h > 2/а, решение х будет иметь колебательный характер с изменением знака и ростом амплитуды. Проблема возникновения колебаний из-за слишком большого шага интегрирования называется численной неустойчивостью. Эта неустойчивость не имеет ничего общего с самой системой и вызвана только слишком грубой аппроксимацией при вычислении решения.

Существует много методов численного интегрирования, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки; наибольшее распространение получили методы Рунге-Кутта. Большинство методов интегрирования допускают варьируемую величину шага, которая выбирается автоматически, чтобы удовлетворить наперед заданному критерию погрешности

Дискретные модели динамических систем

Цифровая ЭВМ не может обрабатывать постоянно меняющиеся аналоговые данные. Соответственно, и сбор данных, и выработка управляющих сигналов происходят только в определенные моменты времени. Ситуация принципиально не меняется при повышении скорости процессора. Более быстрый процессор работает по тому же принципу, что и более медленный, — он просто обрабатывает больше данных за тот же интервал времени, но данные при этом остаются дискретными.

Ниже излагается модель физического процесса, пригодная для приложений компьютерного управления. В соответствии с рассматриваемой моделью измеряемые данные процесса собираются через регулярные интервалы времени. Эти интервалы не обязательно должны быть одинаковыми, однако описание дискретной динамической модели становится проще при постоянном интервале. Данный процесс называется выборкой, дискретизацией { sampling ) или квантованием, длина интервала — временем (периодом, интервалом) выборки, дискретизации { sampling time ) или квантования. Другое упрощение, используемое при разработке дискретно-временных моделей процессов, состоит в том, что измеряемые данные и сигналы управления остаются постоянными в течение интервала выборки. Фактически таким же образом работают схемы выборки и хранения интерфейса компьютера.

Описание в пространстве состояний

Нелинейный процесс можно аппроксимировать разностным уравнением

где h — интервал выборки kh — его порядковый номер; f (x , u ) — производная по времени вектора состояния системы х. Аппроксимация справедлива, если h достаточно мал, и производная "гладкая". Разностное уравнение по существу такое же, что и при численном моделировании. Линейная система с постоянными коэффициентами в дискретном виде представляется следующим образом

В матричных обозначениях это можно записать

Для линейной или линеаризированной системы аппроксимация не обязательна. Поскольку линейные дифференциальные уравнения можно решить аналитически, соответствующие уравнения для дискретного представления можно получить из решения. Предполагается, что сигнал управления u (t ) остается постоянным между моментами выборки, т. е. система включает в себя схему удержания. Дискретную модель можно записать в матричном виде

где Ф — матрица размерностью п x п, а Г — матрица размерностью п x l . Связь между матрицами А и В и матрицами Ф и Г следующая

где I — единичная матрица.

Преобразование между матрицами для непрерывной и дискретной моделей можно выполнить с использованием стандартных программ. Аппроксимация конечными разностями стремится к точному решению при малых значениях интервала выборки h . Поскольку измерения происходят периодически, то уравнение для дискретной модели справедливо только в моменты выборки

Решение уравнений дискретной модели на цифровой ЭВМ получается довольно просто: решения х(kh ) в последовательные моменты времени вычисляются шаг за шагом на основе разностных уравнений

Управляемость, оценка и наблюдаемость

Каждая техническая система обладает несколькими фундаментальными характеристиками, которые требуют особого внимания.

Управляемость (controllability ) — это характеристика системы, которая показывает, имеет ли система достаточное количество регулируемых параметров для того, чтобы управлять ею требуемым образом. Грубо говоря, система является управляемой, если можно подобрать такие управляющие воздействия и, чтобы система достигла заданного состояния х. Только тогда, когда система управляема, ее полюса (или собственные числа) можно произвольно перемещать с помощью обратной связи.

Если процесс неуправляем, это означает, что части системы физически отсоединены от управляющих сигналов .

Управляющие сигналы влияют на каждую переменную состояния по отдельности. В управляемой системе все элементы матрицы В — ненулевые, в противном случае переменные состояния, соответствующие нулевым элементам матрицы В, не могут регулироваться сигналами управления. Значения таких переменных будут определяться только свойствами системы.

Управляемость линейной системы на базе непрерывной и дискретной модели можно проверить математическими методами. Однако никакие математические методы не могут заменить понимание физической природы процесса инженером-проектировщиком. Например, часто бывает, что некоторые параметры плохо управляемы, т. е. значения соответствующих коэффициентов Р, малы. И хотя формально система управляема, реальный регулятор, пригодный для практического использования, создать невозможно.

Оценка состояния на основе измерений

Вторая характеристика системы связана с измерениями и наблюдением. Позволяет ли имеющийся состав датчиков получить достаточную информацию о состоянии системы. Возможно ли косвенным образом вычислить весь текущий вектор состояния x { t ), если известны текущее и предыдущее значения выходного сигнала у(0).Эта характеристика называется наблюдаемостью .

В большинстве случаев состояние системы не измеряется непосредственно, т. е. число датчиков меньше числа переменных состояния. Однако часто важно знать полный вектор состояния х, даже если адекватные датчики не существуют или просто слишком дороги. При определенных условиях можно вычислить вектор состояния х на основе измерений у . В последующем х будет обозначать вычисленный вектор состояния, поскольку он может отличаться от реального.

Для вычисления неизмеряемых переменных состояния можно использовать процедуру оценки (estimator ), причем как для непрерывных, так и для дискретных моделей. Здесь рассмотрен алгоритм оценки для дискретной модели, поскольку его можно непосредственно применять в компьютерном управлении. Оценка состояния фактически является описанием технического процесса разностными уравнениями, в которые введен дополнительный член для корректировки оцениваемых переменных на основе измерений у

Матрица D в большинстве случаев — нулевая. Если система имеет только один датчик, тогда К является вектором, в противном случае — матрицей. При "отличной" оценке х и х совпадают и последнее слагаемое в уравнении равно нулю, так как у = С х. Оценка будет подчиняться тому же динамическому уравнению, что и истинный вектор состояния х. Поскольку х отличается от х, последнее слагаемое, т. е. разность между реальным измерением у и его оценкой С*х, используется для коррекции ошибки. Матрица К есть весовой коэффициент, определяющий качество оценки.

Нечеткие системы

Многие системы не только нелинейны и нестационарны (изменяются во времени), но и вообще плохо определены. Их нельзя смоделировать уравнениями или представить набором ясных логических правил типа "если-то-иначе". Для решения подобных задач американский ученый Лотфи А. Задех (Lotfi A . Zadeh ) разработал нечеткую логику { fuzzy logic ). Термин "нечеткая" фактически использован не совсем правильно, поскольку логика прочно базируется на математической теории.

Нечеткую логику можно рассматривать как методологию дискретного управления, имитирующую человеческое мышление, с использованием такого свойства, присущего всем физическим системам, как неточность. В традиционной логике и вычислительной технике используются детерминированные множества, т. е. всегда можно сказать, принадлежит ли элемент множеству или нет. Обычная — бинарная — логика оперирует только противоположными состояниями — "быстро/медленно", "открыто/закрыто", "горячо/холодно". В соответствии с этой логикой температуру 25 "С можно расценить как "горячо", а 24.9 °С — еще "холодно", и регулятор температуры будет реагировать соответственно.

В противоположность этому нечеткая логика работает, преобразуя жесткие двоичные переменные — "горячо/холодно", "быстро/медленно", "открыто/закрыто" — в мягкие градации с изменяемой степенью принадлежности — "тепло/прохладно", "довольно быстро/несколько медленно". Температура 20 °С может означать одновременно и "тепло", и "прохладно". Такие градации игнорируются обычной логикой, но служат краеугольным камнем нечеткой логики. Степень членства определяется доверием { confidence ) или уверенностью { certainty ) (выражается числом от 0 до 1), что конкретный элемент принадлежит нечеткому множеству.

Нечеткие системы вырабатывают свои решения на основе входной информации в форме лингвистических переменных, т. е. терминов обычного языка, например "горячо", "медленно" или "темно". Эти переменные обрабатываются правилами "если-то-иначе",и в результате формируется один или более выводов в зависимости от того, какие утверждения истинны. Вывод каждого правила взвешивается в соответствии с доверием или степенью принадлежности его входных значений.

Существует некоторая аналогия между правилами "если-то" искусственного интеллекта и нечеткой логикой, хотя искусственный интеллект есть процесс обработки символов, а нечеткая логика — нет. В искусственном интеллекте нейронная сеть есть совокупность данных и выводов в виде специальных структур. Каждой входной величине назначается относительный, дискретный весовой коэффициент. Взвешенные данные точно определенным способом формируют сеть для принятия решений. В отличие от этого в нечеткой логике весовые функции непрерывно определены на множестве значений принадлежности.

Нечеткая логика часто имеет дело с переменными, которые скорее наблюдаются, чем измеряются. Управление на основе нечеткой логики имеет еще одно существенное отличие по сравнению с традиционным. Последнее основано на математической модели системы, которая предполагает наличие детальных знаний о соответствующих переменных. Моделирование на основе нечеткой логики имеет дело с отношениями вход/выход, в которых собраны вместе многие параметры. При таком управлении замена большого диапазона значений на меньшее количество градаций принадлежности помогает сократить число переменных, которыми должен оперировать регулятор. Соответственно, требуется меньшее число правил, поскольку надо оценивать меньше параметров, и во многих случаях регулятор на базе нечеткой логики может вырабатывать решения быстрее, чем экспертная система на основе правил "если-то". На экспериментальных прототипах было показано, что нечеткая логика является хорошим инструментом при недостаточных объемах информации.

Автоматический регулятор скорости поезда служит простой иллюстрацией приложений нечеткой логики. Критерием для регулятора является оптимизация времени пути при известных ограничениях. Входными данными являются текущие скорость, ускорение и расстояние до места назначения, на основе которых регулятор управляет мощностью двигателя

Функция принадлежности присваивает измеряемым величинам лингвистические значения. В приведенном случае ускорение имеет значение "торможение" из-за крутого подъема. Скорость принадлежит к множеству "медленно" (вес 0.8) и "слишком медленно" (вес 0.2), а расстояние имеет значение "очень близко к месту назначения" с весом 0.65 и "близко" с весом 0.35

Несколько правил могут дать представление о логике управления:

1. если скорость имеет значение "слишком медленно", а ускорение — "торможение", то следует "существенно увеличить" мощность;
2. если скорость имеет значение "медленно", а ускорение — "торможение", то следует "слегка увеличить" мощность;
3. если расстояние имеет значение "близко", то следует "слегка снизить" мощность.

Какое правило должно быть выбрано? Выход также имеет степень доверия, которая зависит от степени доверия (т. е. веса) входных данных. Окончательный выбор в рассматриваемом примере — "слегка увеличить" мощность. Даже если скорость имеет значение "слишком медленно", то поезд уже близок к месту назначения.

Нет гарантии, что нечеткая логика может успешно справляться со сложными системами. Регулятор на базе нечеткой логики является практически оценкой состояния системы, которая не основана на конкретной модели. Доказать устойчивость такого регулятора очень сложно.

Динамическая система первого порядка . Рассмотрим рис. 10.3. Пусть в момент - объем воды в резервуаре , a - объем воды в резервуаре , связанном с трубой. В данный момент мы не рассматриваем резервуар , показанный пунктиром. Пусть вода может подаваться в или забираться из него по трубе ; имеются механические средства, позволяющие изменять уровень, а следовательно, и объем воды в нужным образом вне зависимости от того, что происходит в .

Если объем в первом резервуаре поддерживается на постоянном уровне, вода будет перетекать из одного резервуара в другой до тех пор, пока уровни в них не станут одинаковыми. Если теперь изменить объем , вода будет снова перетекать из одного резервуара в другой до тех пор, пока не наступит равновесие. Объем воды в , находящийся в равновесии как функция заданного объема в , описывается стационарным соотношением

. (10.1.4)

В этом случае стационарное усиление геометрически выражается как отношение заштрихованных площадей двух резервуаров. Если два уровня в момент не совпадают, различие в уровне воды между резервуарами пропорционально .

Пусть теперь, выкачивая или впуская жидкость по трубе , мы заставляем объем следовать графику, показанному на рис. 10.3. Тогда объем воды в будет изменяться в соответствии с ходом графика, показанного на том же рисунке. В общем случае функция , определяющая режим системы, называется вынуждающей функцией .

Для того чтобы связать вход и выход, заметим, что с хорошей точностью скорость потока через трубу пропорциональна разности в уровнях, т. е.

, (10.1.5)

где - константа. Дифференциальное уравнение (10.1.5) можно переписать в виде

где. Динамическую систему, описываемую таким образом при помощи дифференциального уравнения первого порядка, часто называют динамической системой первого порядка.

Рис. 10.3. Представление простой динамической системы.

Постоянная называется постоянной времени системы. Та же модель первого порядка может приближенно описывать поведение многих простых систем. Например, может быть выходной температурой воды в системе водяного отопления, а - скоростью поступления воды в систему.

Можно показать (см. например ), что решение линейного дифференциального уравнения такого типа, как (10.1.6), можно записать в виде

, (10.1.7)

где - вообще говоря, (непрерывная) функция отклика на единичный импульс. Видно, что получается из как непрерывно взвешенная сумма, точно так же, как получалось из в (10.1.2) как дискретно взвешенная сумма. Далее видно, что роль непрерывной весовой функции в непрерывном случае совершенно аналогична роли в дискретном случае. Для конкретной системы первого порядка, определенной (10.1.6),

.

Таким образом, отклик на единичный импульс затухает в этом случае по экспоненте (см. рис. 10.3).

В непрерывном случае определение выхода для произвольной вынуждающей функции, такой, как на рис. 10.3, обычно выполняется либо моделированием на аналоговом вычислительном устройстве, ибо расчетом на цифровой вычислительной машине

Рис. 10.4. Функция отклика на единичный скачок системы первого порядка.

Аналитические решения можно получить только для вынуждающих функций специального вида. Пусть, например, вначале гидравлическая система пуста, а затем внезапно достигает уровня и сохраняет это значение. Такую вынуждающую функцию, внезапно изменяющую нулевой стационарный уровень на стационарный уровень, равный единице, мы будем называть (единичным) скачком. Отклик системы на такую функцию, названный откликом на единичный скачок, можно получить, решая дифференциальное уравнение (10.1.6) с единичным скачком на входе, что дает

. (10.1.8)

Как следует из этого результата, уровень в резервуаре возрастает по экспоненте (рис. 10.4). Когда , . Это означает, что постоянная времени - это время, необходимое системе первого порядка (10.1.6) для достижения 63,2% ее заключительного равновесного уровня после подачи на вход единичного скачка.

Иногда существует начальный интервал чистого запаздывания, или холостое время, перед тем как проявится какая бы то ни было реакция на данное изменение входа. Например, если труба между и (рис. 10.3) достаточно длинна, внезапное изменение уровня в может не оказать эффекта на до тех пор, пока через трубу не прошло достаточное количество жидкости. Пусть введенное таким образом запаздывание занимает единиц времени. Тогда отклик запаздывающей системы будет описываться дифференциальным уравнением, подобным (10.1.6), но только справа вместо будет стоять , т. е.

Соответствующие функции отклика на единичный импульс и скачок имеют точно такую же форму, как в системе без запаздывания, но смещены по оси времен на расстояние .

Рис. 10.5. Функции отклика на единичный скачок совпадающих дискретной и непрерывной систем второго порядка, имеющих характеристические уравнения с действительными (кривая ) и комплексными корнями (кривая).

Динамическая система второго порядка . Рассмотрим рис. 10.3 еще раз. Вообразим, что имеется система трех резервуаров с трубой, ведущей от резервуара к резервуару , объем жидкости в котором обозначен. Пусть - временная постоянная, и - стационарное усиление дополнительной системы. Тогда и связаны дифференциальным уравнением

После подстановки в (10.1.6) мы получаем дифференциальное уравнение второго порядка , связывающее выход третьего резервуара и вход первого,

где . Для такой системы функция отклика на единичный импульс - это наложение экспонент

а функция отклика на единичный скачок имеет вид

. (10.1.12)

Непрерывная кривая на рис. 10.5 показывает отклик на скачок системы

у которой , , . Отметим, что в отличие от системы первого порядка система второго порядка имеет отклик на скачок с начальным нулевым наклоном. действительными, действительными и равными или комплексными. У перезатушенной системы функция отклика на скачок образована наложением экспонент такого типа как (10.1.12), и всегда располагается ниже асимптоты . Как и в системе первого порядка, отклик может иметь холостое время, для этого надо заменить аргумент в правой части (10.1.13) на . Многие весьма сложные динамические системы можно достаточно точно описывать такими системами второго порядка с запаздыванием.

Более сложные линейные динамические системы могут быть описаны, если допустить, что не только сами значения уровня вынуждающей функции , но также скорость ее изменения и более высокие производные влияют на поведение системы. Поэтому общая модель для описаний (непрерывных) динамических систем - это линейное дифференциальное уравнение

Введение

динамический модель математический

Динамическая модель - теоретическая конструкция (модель), описывающая изменение (динамику) состояний объекта. Динамическая модель может включать в себя описание этапов или фаз или диаграмму состояний подсистем. Часто имеет математическое выражение и используется главным образом в общественных науках (например, в социологии), имеющих дело с динамическими системами, однако современная парадигма науки способствует тому, что данная модель также имеет широкое распространение во всех без исключения науках в т.ч. в естественных и технических.

Экономико-математические модели описывают экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент). Существует два подхода к построению динамической модели:

оптимизационный (выбор оптимальной траектории экономического развития из множества возможных)

описательный, в центре которого понятие равновесной траектории (т. е. уравновешенного, сбалансированного роста).

Динамические межотраслевые модели, экономико-математические модели плановых расчётов, позволяющие определять по годам перспективного периода объёмы производства продукции, капитальных вложений (а также ввода в действие основных фондов и производственных мощностей) по отраслям материального производства в их взаимной связи. В динамических межотраслевых моделях на каждый год планового периода задаются объёмы и структура "чистого" конечного продукта (личного и общественного потребления, накопления оборотных фондов и государственных резервов, экспортно-импортного сальдо, капитальных вложений, не связанных с увеличением производства в рассматриваемом периоде), а также объём и структура основных фондов на начало периода. В динамических межотраслевых моделях, помимо коэффициента прямых затрат, присущих статическим межотраслевым моделям, вводят специальные коэффициенты, характеризующие материально-вещественную структуру капитальных вложений.

По типу используемого математического аппарата динамические межотраслевые модели делятся на балансовые и оптимальные. Балансовые динамические межотраслевые модели могут быть представлены как в форме системы линейных уравнений, так и в форме линейных дифференциальных или разностных уравнений. Балансовые динамические межотраслевые модели различают также по лагу (разрыв во времени между началом строительства и пуском в эксплуатацию построенного объекта). Для оптимальных динамических межотраслевых моделей характерны наличие определённого критерия оптимальности, замена системы линейных уравнений системой неравенств, введение специальных ограничений по трудовым и природным ресурсам.

Динамические физические и виртуальные объекты существуют объективно. Это значит, что эти объекты функционируют в соответствии с некоторыми законами, независимо от того, знает ли и понимает ли их человек или нет. Например, для управления автомобилем вовсе не обязательно знать, как работает двигатель, что в нем происходит и почему это приводит к движению автомобиля, если нажимать на газ или поворачивать руль. Но если человек предполагает не управлять автомобилем, а сконструировать систему управления им, то знание и понимание процессов динамики уже совершенно необходимо.

Динамические объекты и их линейные модели плотно исследовались и анализировались на протяжении более двух столетий многими учеными и инженерами. Результаты этих исследований и анализа и представляются ниже качественно в концентрированном виде, так, как это воспринимается автором. Прежде всего, это относится к линейным моделям динамических систем, их классификации, описанию их свойств и области состоятельности.

Кроме того, далее обсуждаются и некоторые свойства нелинейных систем. Слова, термины "динамический", "динамичный" прочно и широко вошли в различные области знаний человека, используются и в быту, как эмоциональный эпитет энергичного движения в широком смысле этого слова, синоним быстрых изменений. В предлагаемой работе термин "динамический" будет использован в его узком и непосредственном значении, означающем "силовой", т.е. динамический объект - это объект, подверженный внешнему воздействию, приводящему к движению в широком смысле этого слова.

1. Динамические модели: понятие, виды

Динамический объект - это физическое тело, техническое устройство или процесс, имеющее входы, точки возможного приложения внешних воздействий, и воспринимающие эти воздействия, и выходы, точки, значения физических величин в которых характеризуют состояние объекта. Объект способен реагировать на внешние воздействия изменением своего внутреннего состояния и выходных величин, характеризующих его состояние. Воздействие на объект, и его реакция в общем случае изменяются с течением времени, они наблюдаемы, т.е. могут быть измерены соответствующими приборами. Объект имеет внутреннюю структуру, состоящую из взаимодействующих динамических элементов.

Если вчитаться и вдуматься в приведенное выше нестрогое определение, можно увидеть, что отдельно динамический объект в "чистом" виде, как вещь в себе, не существует: для описания объекта модель должна содержать еще и 4 источника воздействий (генераторы):

среду и механизм подачи на него этих воздействий

объект должен иметь протяженность в пространств

функционировать во времени

в модели должны быть измерительные устройства.

Воздействием на объект может быть некоторая физическая величина: сила, температура, давление, электрическое напряжение и другие физические величины или совокупность нескольких величин, а реакцией, откликом объекта на воздействие, может быть движение в пространстве, например смещение или скорость, изменение температуры, силы тока и др.

Для линейных моделей динамических объектов справедлив принцип суперпозиции (наложения), т.е. реакция на совокупность воздействий равна сумме реакций на каждое из них, а масштабному изменению воздействия соответствует пропорциональное изменение реакции на него. Одно воздействие может быть приложено к нескольким объектам или нескольким элементам объекта.

Понятие динамический объект содержит и выражает причинно-следственную связь между воздействием на него и его реакцией. Например, между силой, приложенной к массивному телу, и его положением и движением, между электрическим напряжением, приложенным к элементу, и током, протекающим в нем.

В общем случае динамические объекты являются нелинейными, в том числе они могут обладать и дискретностью, например, изменять быстро структуру при достижении воздействием некоторого уровня. Но обычно большую часть времени функционирования динамические объекты непрерывны во времени и при малых сигналах они линейны. Поэтому ниже основное внимание будет уделено именно линейным непрерывным динамическим объектам.

Пример непрерывности: автомобиль, двигающийся по дороге - непрерывно функционирующий во времени объект, его положение зависит от времени непрерывно. Значительную часть времени автомобиль может рассматриваться как линейный объект, объект, функционирующий в линейном режиме. И только при авариях, столкновениях, когда, например, автомобиль разрушается, требуется описание его как нелинейного объекта.

Линейность и непрерывность во времени выходной величины объекта просто удобный частный, но важный случай, позволяющий достаточно просто рассмотреть значительное число свойств динамического объекта.

С другой стороны, если объект характеризуется процессами, протекающими в разных масштабах времени, то во многих случаях допустимо и полезно заменить наибыстрейшие процессы их дискретным во времени изменением.

Настоящая работа посвящена, прежде всего, линейным моделям динамических объектов при детерминированных воздействиях. Гладкие детерминированные воздействия произвольного вида могут быть генерированы путем дискретного, сравнительно редкого аддитивного действия на младшие производные воздействия дозированными дельта - функциями. Такие модели состоятельны при сравнительно малых воздействиях для весьма широкого класса реальных объектов. Например, именно так формируются сигналы управления в компьютерных играх, имитирующих управление автомобилем или самолетом с клавиатуры. Случайные воздействия пока остаются за рамками рассмотрения.

Состоятельность линейной модели динамического объекта определяется, в частности тем, что является ли его выходная величина достаточно гладкой, т.е. является ли она и несколько ее младших производных по времени непрерывными. Дело в том, что выходные величины реальных объектов изменяются достаточно плавно во времени. Например, самолет не может мгновенно переместиться из одной точки пространства в другую. Более того он, как и любое массивное тело, не может скачком изменить свою скорость, на это потребовалась бы бесконечная мощность. Но ускорение самолета или автомобиля может изменяться скачком.

Понятие динамический объект вовсе не всесторонне определяет физический объект. Например, описание автомобиля как динамического объекта позволяет ответить на вопросы, как быстро он разгоняется и тормозит, как плавно двигается по неровной дороге и кочкам, какие воздействия будут испытывать водитель и пассажиры машины при движении по дороге, на какую гору он может подняться и т.п. Но в такой модели безразлично, какой цвет у автомобиля, не важна его цена и др., постольку, они не влияют на разгон автомобиля. Модель должна отражать главные с точки зрения некоторого критерия или совокупности критериев свойства моделируемого объекта и пренебрегать второстепенными его свойствами. Иначе она будет чрезмерно сложной, что затруднит анализ интересующих исследователя свойств.

С дугой стороны, если исследователя интересует именно изменение во времени цвета автомобиля, вызываемое различными факторами, например солнечным светом или старением, то и для этого случая может быть составлено и решено соответствующее дифференциальное уравнение.

Реальные объекты, как и их элементы, которые также можно рассматривать как динамические объекты, не только воспринимают воздействия от некоторого источника, но и сами воздействуют на этот источник, противодействуют ему. Выходная величина объекта управления во многих случаях является входной для другого, последующего динамического объекта, которая также, в свою очередь, может влиять на режим работы объекта. Т.о. связи динамического объекта с внешним, по отношению к нему миром, двунаправленные.

Часто, при решении многих задач, рассматривается поведение динамического объекта только во времени, а его пространственные характеристики, в случаях, если они непосредственно не интересуют исследователя, не рассматриваются и не учитываются, за исключением упрощенного учета задержки сигнала, которая может быть обусловлена временем распространения воздействия в пространстве от источника к приемнику.

Динамические объекты описываются дифференциальными уравнениями (системой дифференциальных уравнений). Во многих практически важных случаях это линейное, обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) или система ОДУ. Многообразие видов динамических объектов определяет высокую значимость дифференциальных уравнений как универсального математического аппарата их описания, позволяющего проводить теоретические исследования (анализ) этих объектов и на основе такого анализа конструировать модели и строить полезные для людей системы, приборы и устройства, объяснять устройство окружающего нас мира, по крайней мере, в масштабах макромира (не микро- и не мега-).

Модель динамического объекта состоятельна, если она адекватна, соответствует реальному динамическому объекту. Это соответствие ограничивается некоторой пространственно-временной областью и диапазоном воздействий.

Модель динамического объекта реализуема, если можно построить реальный объект, поведение которого под влиянием воздействий в некоторой пространственно-временной области и при некотором классе и диапазоне входных воздействий соответствует поведению модели.

Широта классов, многообразие структур динамических объектов может вызвать предположение, что все они вместе обладают неисчислимым набором свойств. Однако попытка охватить и понять эти свойства, и принципы работы динамических объектов, во всем их многообразии вовсе не столь безнадежна.

Дело в том, что если динамические объекты адекватно описываются дифференциальными уравнениями, а это именно так, то совокупность свойств, характеризующих динамический объект любого рода, определяется совокупностью свойств характеризующих его дифференциальное уравнение. Можно утверждать что, по крайней мере, для линейных объектов таких основных свойств существует довольно ограниченное и сравнительно небольшое число, а поэтому ограничен и набор основных свойств динамических объектов. Опираясь на эти свойства и комбинируя элементы, обладающие ими, можно построить динамические объекты с самыми разнообразными характеристиками.

Итак, основные свойства динамических объектов выведены теоретически из их дифференциальных уравнений и соотнесены с поведением соответствующих реальных объектов.

Динамический объект - это объект, воспринимающий изменяющиеся во времени внешние воздействия и реагирующий на них изменением выходной величины. Объект имеет внутреннюю структуру, состоящую из взаимодействующих динамических элементов. Иерархия объектов ограничена снизу простейшими моделями и опирается на их свойства.

Воздействием на объект, как и его реакцией, являются физические, измеряемые величины, это может быть и совокупность физических величин, математически описываемая векторами.

При описании динамических объектов с помощью дифференциальных уравнений неявно предполагается, что каждый элемент динамического объекта получает и расходует столько энергии (такую мощность), сколько ему требуется для нормальной работы в соответствии с его назначением по отклику на поступающие воздействия. Часть этой энергии объект может получать от входного воздействия и это описывается дифференциальным уравнением явно, другая часть может поступать от сторонних источников и в дифференциальном уравнении не фигурировать. Такой подход существенно упрощает анализ модели, не искажая свойств элементов и всего объекта. При необходимости процесс обмена энергией с внешней средой может быть подробно описан в явной форме и это будут также дифференциальные и алгебраические уравнения.

В некоторых частных случаях источником всей энергии (мощности) для выходного сигнала объекта является входное воздействие: рычаг, разгон массивного тела силой, пассивная электрическая цепь и др.

В общем случае воздействие может рассматриваться как управляющее потоками энергии для получения необходимой мощности выходного сигнала: усилитель синусоидального сигнала, просто идеальный усилитель и др.

Динамические объекты, как и их элементы, которые также можно рассматривать как динамические объекты, не только воспринимают воздействие от его источника, но и сами воздействуют на этот источник: например в классической механике это выражается принципом, сформулированном в третьем законе Ньютона: действие равно противодействию, в электротехнике напряжение источника есть результат установления динамического равновесия между источником и нагрузкой. Т.о. связи динамического объекта с внешним, по отношению к нему миром, двунаправленные.

По существу, все элементы динамического объекта являются двунаправленными, как и сам объект по отношению к внешним объектам. Это следует из обобщения третьего закона Ньютона, сформулированного им для механики: сила противодействия тела равна силе воздействия на него другим телом и направлена навстречу ей, а в химии также формулируется в виде принципа Ле Шателье. Обобщая можно сказать: воздействие одного динамического элемента на другой встречает противодействие некоторого вида. Например, электрическая нагрузка источника напряжения противодействует ему током, изменяя значение напряжения на выходе источника. В общем случае противодействие нагрузки влияет на режим работы источника, и их поведение определяется в результате, если это возможно, переходом в некоторое динамическое равновесие.

Во многих случаях мощность источника воздействия значительно больше потребной входной мощности приемника, каковым является динамический объект. В этом случае динамический объект практически не влияет на режим работы источника (генератора) и связь может рассматриваться как однонаправленная от источника к объекту. Такая однонаправленная модель элемента, основывающаяся на рациональном физическом структурировании объекта, существенно упрощает описание и анализ системы. Собственно, многие технические объекты, хотя и далеко не все же, строятся как раз по такому принципу, в частности при проектировании систем для решения задач управления. В других случаях, например при решении задачи, когда требуется получение максимального кпд двигателя, противодействием пренебречь нельзя.

Детализируя структуру динамического объекта можно придти к элементарным, условно не упрощаемым объектам. Такие объекты описываются простейшими алгебраическими и дифференциальными уравнениями. Фактически такие элементы в свою очередь могут иметь сложную структуру, однако удобнее при моделировании воспринимать их как единое целое, свойства которого определяются этими, сравнительно простыми уравнениями, связывающими реакцию с воздействием.

1.1 Физические модели

Так называют увеличенное или уменьшенное описание объекта или системы. Отличительная характеристика физической модели состоит в том, что в некотором смысле она выглядит как моделируемая целостность.

Наиболее известным примером физической модели является копия конструируемого самолета, выполненная с полным соблюдением пропорций, скажем 1:50. На одном из этапов разработки самолета новой конструкции возникает необходимость проверить его основные аэродинамические параметры. С этой целью подготовленную копию продувают в специальной (аэродинамической) трубе, а полученные показания затем тщательно исследуют. Выгодность такого подхода совершенно очевидна. И потому все ведущие самолетостроительные компании используют физические модели подобного рода при разработке каждого нового летательного аппарата.

Часто в аэродинамическую трубу помещают уменьшенные копии многоэтажных зданий, имитируя при этом розу ветров, характерную для той местности, где предполагается их строительство. Пользуются физическими моделями и в кораблестроении.

1.2 Математические модели

Так называют модели, использующие для описания свойств и характеристик объекта или события математические символы и методы. Если некоторую проблему удается перенести на язык формул, то она сильно упрощается. Математический подход прост еще и потому, что он подчиняется вполне определенным жестким правилам, которые нельзя отменить указом или иным способом. Сложность нашей жизни как раз и состоит в том, что многое, что в ней случается, нередко свободно от условностей. Математика имеет дело с упрощенным описанием явлений. По существу, любая формула (или совокупность формул) представляет собой определенный этап в построении математической модели. Опыт показывает, что построить модель (написать уравнение) довольно легко. Трудно в этой модельной и следовательно, упрощенной форме суметь передать суть изучаемого явления.

Любой функциональный элемент реального объекта имеет свою структуру, его можно, как и весь объект, мысленно или физически разделить на взаимодействующие элементы. Элементарный динамический объект это рационально выбранный элемент реального объекта, условно считающийся неделимым, обладающий, как целое некоторым фундаментальным свойством, например инерцией, и с достаточной степенью точности описываемый простейшим алгебраическим или дифференциальным уравнением.

Важнейшее, фундаментальное свойство динамических объектов это их инерционность. Физически инерционность выражается в том, что объект не сразу, а постепенно реагирует на внешние воздействия, а в отсутствие внешнего воздействия стремится сохранить свое состояние и поведение. Математически инерция выражается в том, что выходная величина реального объекта является непрерывной во времени величиной. Более того, некоторые младшие производные выходной величины тоже должны быть непрерывными, они не могут изменяться скачком при ограниченных по мощности воздействиях, в том числе и изменяющихся скачком, ступенчато во времени.

Простейшие инерционные динамические объекты - кинедины. Это элементарные объекты, мысленно или физически вычленяемые из структуры сложного объекта и с достаточной степенью точности подчиняющиеся простейшим дифференциальным уравнениям различных порядков. Такие модели состоятельны, по крайней мере, в некоторой пространственно-временной области и в ограниченном диапазоне величин сигналов.

Математическое описание инерции динамического объекта, объекта, соответствующего некоторому дифференциальному уравнению, состоит в том, что воздействие сказывается на реакции объекта опосредовано, оно непосредственно влияет на ту или иную производную реакции по времени, или сразу на несколько из них. Это и приводит к тому, что реакция проявляется только с течением времени.

И действительно, такое описание соответствует поведению реальных объектов. Например, при мгновенной подаче некоторого, сравнительно малого, не меняющегося после подачи воздействия на элементарный объект второго порядка, например силы на инерционную массу, объект остается некоторое, пусть малое, время в том же состоянии, что и до подачи, имеет ту же скорость, что и ранее.

Но вторая производная, т.е. ускорение, прыгает скачком, пропорционально величине приложенной силы. И, поэтому, только с течением времени, а не сразу, наличие второй производной проявляется в изменении скорости, а следовательно, в последующем, и на положении тела в пространстве.

1.3 Аналоговые модели

Так называют модели, представляющие исследуемый объект аналогом, который ведет себя как реальный объект, но не выглядит как таковой.

Приведем два достаточно характерных примера.

Пример 1. График, иллюстрирующий соотношения между затраченными усилиями и результатами, является аналоговой моделью. График на рис. 1.1 показывает, как количество времени, отведенное студентом на подготовку к экзамену, влияет на его результат.

Рис. 1.1. График, иллюстрирующий соотношения между затраченными усилиями и результатами

Пример 2. Предположим, что нужно найти наиболее экономичный способ для регулярных известных поставок товаров в три города, построив для этого только один склад. Основное требование: место для склада должно быть таким, чтобы полные транспортные расходы были наименьшими (считается, что стоимость каждой перевозки равна произведению расстояния от склада до пункта назначения на общий вес перевозимых товаров и измеряется в тонна-километрах).

Наклеим карту местности на лист фанеры. Затем в месте нахождения каждого города пропилим сквозные отверстия, пропустим через них нити и привяжем к ним грузики, пропорциональные запросам товаров в этот город (рис. 1.2). Свяжем свободные концы нитей в один узел и отпустим. Под действием силы тяжести система придет в состояние равновесия. То место на листе фанеры, которое при этом займет узел, и будет соответствовать оптимальному расположению склада (рис. 1.3).

Замечание. Стоимость дорог, которые придется построить заново, мы для простоты рассуждений в расчет не принимаем.

Рис. 1.2. Карта местности на листе фанеры

Рис. 1.3. Оптимальное расположение склада

2. Построение математических моделей дискретных объектов

2.1 Модель народонаселения

Интересно, что построить математическую модель часто совсем нетрудно. Нередко для этого используются самые простые и легкообъяснимые предположения. Опишем, как это можно сделать, на одном почти реальном примере. Представим себе следующую картину. Середина XVIII в. центральная Европа, приход в глубинке, церковь, прихожане - жители окрестных деревень, приходский священник замечает, что храм стал тесноват для богослужений: возросло число прихожан. Священник размышляет: если число прихожан будет увеличиваться и в будущем, то придется строить новую церковь, для чего понадобятся средства, и немалые.

Священник понимает, что срок, за который должен быть построен храм, и его размеры во многом зависят от того, как имено будет изменяться число окрестных жителей. И он решает попытаться рассчитать это. Попробуем и мы изложить возможный ход его рассуждений, пользуясь современными обозначениями и языком.

Обозначим через х количество прихожан к концу n-го года. Их численность через год, т.е. к концу (n + 1)-го года, естественно обозначить через хn+1. Тогда изменение численности за этот год можно описать разностью

Оно происходит по двум естественным причинам - люди рождаются и умирают (для простоты будем считать, что вирус миграций эту местность тогда еще не поразил). Определить число родившихся и число умерших за год по приходским книгам особого труда не составляет. Подсчитывая число родившихся и умерших в разные годы, священник решает сопоставить полученные числа и d1,...,dk с общим числом прихожан за эти годы x1,..,xk, и замечает, что отношения x1,...,xk год от года различаются весьма мало. То же касается и отношений

Для простоты расчетов будем считать эти отношения постоянными и обозначим их через? и? соответственно. Тем самым число родившихся в n-м году оказывается равным, число умерших - ?xn, а изменение численности по естественным причинам составляет +?xn - ?xn.

В результате мы приходим к соотношению?xn=?хn - ?xn или подробнее:

xn+1=xn +?xn-?xn

Положим?=1 + ? - ?. Тогда интересующая нас формула примет вид

Модель построена.

Попробуем разобраться теперь с тем, что же получилось, т. е. проанализировать построенную модель. Возможны три случая:

1)?>1(?=?-?>0 - рождается больше, чем умирает) и численность прихожан растет год от года,

2)?=1 (?=?-?=0 - умирает столько же, сколько рождается) и численность прихожан год от года остается неизменной,

3)?<0 (?=?-?<0 - умирает больше, чем рождается) и численность прихожан неуклонно снижается.

Так как побудительным мотивом для построения модели было желание узнать, как быстро будет расти число прихожан, начнем с рассмотрения случая 1.

Случай 1. Итак, численность прихожан растет. Но как, насколько быстро? Здесь самое время кратко вспомнить поучительную историю (печальную притчу) о безвестном изобретателе шахмат. Говорят, что игра очень понравилась богатому и всесильному магарадже, который тут же решил наградить изобретателя и щедро предложил выбрать вознаграждение ему самому. Тот, как рассказывают, смахнув фигуры с шахматной доски, положил на 1-ю клетку одно пшеничное зернышко, на 2-ю - два зернышка, на 3-ю - четыре зернышка, на 4-ю - восемь зернышек (рис. 2.1) и предложил магарадже, чтобы он отдал распоряжение слугам выкладывать зерна пшеницы на другие клетки шахматной доски по предложенному закону, т. е. так: 1,2,4,8,16,…,263.

Рис. 2.1. Задача о шахматной доске и награде магараджи

Магараджу эта простая просьба почти обидела, и он согласилсявыполнить ее далеко не сразу. Но изобретатель настаивал. Магараджа приказал. И слуги тут же кинулись исполнять это "легкое"задание. Нужно ли говорить, что выполнить распоряжение магараджи им не удалось. Дело в том, что общее количество зерен пшеницына шахматной доске должно было быть равным 264 - 1, что намного превышает выращиваемое сейчас во всем мире за год. Закончим притчу совсем коротко: магараджа оказался в непривычном для себя положении - он прилюдно дал обещание и не смог его выполнить. Виновного, впрочем, тут же и нашли. Возможно, именно поэтому история и не сохранила имени изобретателя шахмат. Попробуем, однако, изобразить на графике, как быстро растет число зерен в каждой следующей клетке, для большей наглядности соединяя соседние точки (рис. 2.2).

Рис. 2.2-2.3. Экспоненциальное изменение численности

Правило, предложенное изобретателем шахмат, Xn+1=2xn является частным случаем формулы (1) при ?=2 и, так же как и она, описывает закон, следуя которому мы получаем последовательность чисел, образующих геометрическую прогрессию. При любом ?>1 картинка, иллюстрирующая изменение xn, имеет похожий вид - xn будет расти экспоненциально. В 1820 г. в Лондоне Т.Р. Мальтусом была опубликована работа "Principles of political economy considered with a view to their practical application" (в русском переводе - "Опыт о законе народонаселения..." Т. 1-2. СПб., 1868), в которой, в частности, говорилось о том, что в силу биологических особенностей людей население имеет тенденцию размножаться по закону геометрической прогрессии,

xn=1=?xn,?>1,

в то время как средства существования могут увеличиваться лишь по закону арифметической прогрессии, yn+1=yn+d, d>0. Такое различие в скорости изменения величин, непосредственно связанных с проблемами выживаемости популяции (рис. 2.3), не могло остаться незамеченным и вызвало довольно жесткую критику и сильно политизированную полемику в соответствующих кругах. Попробуем извлечь из самого факта критики полезный для нас вывод об адекватности построенной модели (1). Разумеется, при попытке упрощенного описания ситуации некоторыми обстоятельствами приходится пренебрегать, считая их несущественными. Однако единого взгляда на то, что именно существенно, а что не очень, по-видимому, нет. Можно, например, не обращать внимания на то, что начался дождик. Но согласитесь, что одно дело пробежать под накрапывающим дождем сотню метров, и совсем другое - часовая прогулка под таким дождем без зонта. Нечто аналогичное мы наблюдаем и здесь: при расчете на 3-4 года вперед формула (1) работает достаточно хорошо, но долгосрочный прогноз, основанный на ней, оказывается ошибочным.

Важный вывод. Предлагая построенную или выбранную вами модель, вы непременно должны указать пределы, в которых ею можно пользоваться, и предупредить о том, что нарушение этих ограничений может привести (и, скорее всего, приведет) к серьезным ошибкам. Коротко говоря, у каждой модели есть свой ресурс. Покупая блузку или рубашку, мы привыкли к наличию меток, на которых указаны максимально допустимая температура глажения, дозволенные виды стирки и т. п. Это, конечно, ни в коей мере не означает, что вам запрещается, взяв докрасна раскаленный утюг, пройтись им раз-другой по ткани. Такое вы сделать можете. Но вот захотите ли вы носить блузку или рубашку после такого глажения? Случай 2. Численность населения не изменяется (рис. 2.4). Случай 3. Население вымирает (рис. 2.5).

Рис. 2.4. График народонаселения при неизменяющейся численности

Рис. 2.5. График народонаселения при убывающей численности

Мы умышленно весьма подробно остановились на описании модели народонаселения, во-первых, потому, что она является одной из первых моделей подобного рода, и, во-вторых, чтобы на ее примере показать, через какие основные этапы проходит решение задачи построения математической модели.

Замечание 1. Очень часто, описывая эту модель народонаселения, привлекают ее дифференциальный вариант: x=?x (здесь х=x(t) - зависящая от времени численность популяции, х" - производная по времени, ?- постоянная величина).

Замечание 2. При больших значениях х конкурентная борьба за средства существования приводит к уменьшению ?, и эта жесткая модель должна быть заменена более мягкой моделью: x=?(x)x, в которой коэффициент ? зависит от численности населения. В простейшем случае эта зависимость описывается так:

?(x)=a-bx

где а и b - постоянные числа, а соответствующее уравнение принимает вид

x=ax-bx2

И мы приходим к более сложной, так называемой логистической модели, которая описывает динамику популяции уже достаточно хорошо. Анализ логистической кривой (рис. 2.6) весьма поучителен, и его проведение может быть любопытно читателю. Логистическая модель хорошо описывает и другие процессы, например эффективность рекламы.

Рис. 2.6. Логистическая кривая

2.2 Модель хищник - жертва

Выше рассказывалось о беспрепятственном размножении популяции. Однако в реальных обстоятельствах популяция сосуществует с другими популяциями, находясь с ними в самых разных взаимоотношениях. Здесь мы коротко рассмотрим антагонистическую пару хищник - жертва (это может быть и пара рысь - заяц и пара божья коровка - тля) и попытаемся проследить, как может изменяться со временем численность обеих взаимодействующих сторон. Популяция жертвы может существовать сама по себе, в то время как популяция хищника - только за счет жертвы. Обозначим численность популяции жертвы через х, а численность популяции хищника через у. В отсутствие хищника жертва размножается согласно уравнению x=ax, a>0, а хищник в отсутствие жертвы вымирает по закону y=-?y,?>0. Хищник съедает тем больше жертвы, чем ее больше и чем более многочислен он сам. Поэтому при наличии хищника численность жертвы меняется по закону

x=ax-?xy,?>0

Съеденное количество жертвы способствует размножению хищника, что можно записать так: y=-?y+?xy, ?>0.

Таким образом, мы получаем систему уравнений

x=ax-?xy

y=-?y+?xy

причем x?0, y?0.

Модель хищник - жертва построена.

Как и в предыдущей модели, наибольший интерес для нас представляет точка равновесия (х*,у*), где х* и у* - отличное от нуля решение системы уравнений

ax-?xy=0

Y+?xy=0

Или x(a-?y)=0, y(-?+?x)=0

Эта система получается из условия стабильности численности обеих популяций x=0, y=0

Координаты точки равновесия - она является точкой пересечения прямых

a-?y=0 (2)

?+?x=0 (3)

легко вычисляются:

, (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Решение системы уравнений

Начало координат О(0,0) лежит в положительной полуплоскости относительно горизонтальной прямой, задаваемой уравнением (2), а относительно вертикальной прямой, задаваемой уравнением (3), в отрицательной полуплоскости (рис. 2.8). Тем самым первая четверть (а нас интересует только она, так как х>0 и у>0) разбивается на четыре области, которые удобно обозначить так: 1-(+,+), 2-(-,+), 3-(-,-), 4-(+,-).

Рис. 2.8. Разбиение области решений на квадранты

Пусть начальное состояние Q(x0,y0) находится в области IV. Тогда выполнены неравенства?-?y0>0, -?+?x0<0? из которых следует, что скорости x" и у" в этой точке должны быть разных знаков, x>0, y<0 и, значит, величина х должна возрастать, а величина убывать.

Подобным же образом анализируя поведение х и у в областях 2, 3 и 4, получим в итоге картину, изображенную на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Изменение x и y по квадрантам

Тем самым начальное состояние Q приводит к периодическому колебанию численности, как жертвы, так и хищника, так что по прошествии какого-то времени система вновь возвращается в состояние Q (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Цикличность колебаний численности хищника и жертвы

Как показывают наблюдения, несмотря на свою простоту, предложенная модель качественно верно отражает колебательный характер численности в системе хищник - жертва (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Колебания систем Заяц - Рысь и Тля - Божья коровка

Реальные наблюдения. Вмешиваться в действия непонятных нам законов природы иногда довольно опасно - применение инсектицидов (если только они не уничтожают насекомых практически полностью) в конечном счете приводит к увеличению популяции тех насекомых, численность которых находится под контролем других насекомых-хищников. Случайно попавшая в Америку тля поставила под угрозу все производство цитрусовых. Вскоре туда же был завезен ее естественный враг - божья коровка, которая немедленно принялась за дело и сильно сократила популяцию тли. Чтобы ускорить процесс уничтожения, фермеры применили ДДТ, но в результате количество тли увеличилось, что, глядя на рис. 2.11, нетрудно предугадать.

2.3 Модель мобилизации

Под термином политическая, или социальная, мобилизация понимается вовлечение людей в партию или в число ее сторонников, в какое-либо общественное движение и т. п. Вследствие того что текущий уровень мобилизации тесно связан с прошлым ее уровнем, а будущая мобилизация зависит от сегодняшних успехов пропагандистской кампании, ясно, что при построении соответствующей модели необходимо учитывать временной фактор. Иными словами, нужно понимать, что искомая модель должна быть динамической.

Постановка задачи. Отразить логику изменения уровня мобилизации в данном регионе между двумя соседними моментами времени, скажем за месяц (за год, неделю, день и т. п.).

Построение модели. Примем за единицу ту часть населения, для которой мобилизация данного типа имеет смысл. Пусть Mn- доля мобилизованного населения в момент времени tn=n. Тогда доля немобилизованного населения будет равна 1-Mn (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Соотношение мобилизованного и немобилизованного населения

За месяц уровень мобилизации может измениться по двум основным причинам:

) часть населения удалось привлечь дополнительно; ясно, что эта величина тем больше, чем выше доля еще несагитированного населения на момент tn=n, и поэтому можно считать ее равной ?(1-Мn), (здесь ?>0 - коэффициент агитируемости, постоянный для данного региона);

2) часть населения убыла (по разным причинам); ясно, что это уменьшает долю сагитированного населения тем больше, чем выше была эта доля на момент tn=n, и поэтому потери, связанные с выбытием, можно считать равными (здесь?>0 - постоянный коэффициент выбытия). Подчеркнем, что числовые параметры? и? отражают пропорциональное изменение интересов, взглядов и намерений соответствующих частей населения рассматриваемого региона. Таким образом, изменение уровня мобилизации за единицу времени равно разности между долей населения, привлеченного дополнительно, и долей выбывшего сагитированного населения:

Это и есть уравнение процесса мобилизации. Модель мобилизации построена.

Последнее соотношение легко преобразуется к следующему виду:

Замечание. Вспомогательный параметр? не может быть больше 1 вследствие того, что исходные параметры? и? положительны. Полученное уравнение (4) называется линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами.

С уравнениями подобного рода можно сталкиваться в разных, по большей части простейших вариантах.

Один из них (при?=1) описывает правило, по которому каждый член последовательности, начиная со второго, получается из предыдущего путем сложения с некоторым постоянным числом: Mn+1=?+Mn, т. е. арифметрическую прогрессию.

Второй (при?=0) описывает правило, по которому каждый член последовательности, начиная со второго, получается из предыдущего путем умножения на некоторое постоянное число: Mn+1=?Mn, т. е. геометрическую прогрессию.

Предположим, что начальная доля привлеченного населения М0 известна. Тогда уравнение (4) легко решается (для определенности считаем, что). Имеем:

Применение модели.

Попробуем проанализировать возможности этой (построенной на основании простейших соображений) модели.

Начнем со случая |?|<1.

Для этого перепишем последнее соотношение в виде, где через M* обозначена следующая величина:

Замечание. Тот же результат получается, если в уравнении (4) положить Mn+1=Mn=M*.

В самом деле, тогда получим M*=?+?M*, откуда

Найденная величина M* не зависит от начального значения M0, выражается через исходные параметры? и? по формуле

а следовательно подчиняется условию 0

Для придания полученной формуле большей наглядности вновь воспользуемся методом координат.

На рис. 2.13 показаны области возможных значений вспомогательного параметра?, на рис. 2.14 - исходных параметров? и?, а на рис. 2.15-17 - соответствующие им наборы значений Мn при разных n, М0 и М* (для удобства восприятия соседние точки (n,Мn) и (n+l,Mn+1) соединены прямолинейными отрезками).

Случай?<1 проиллюстрирован на рис. 2.18.

Конечно, на этих рисунках представлена качественная картина. Но ничто не мешает взять вполне конкретные значения величин М0, ? и? и подробно рассчитать соответствующую ситуацию.

Рис. 2.13.области возможных значений? 2.14.исходные параметры? и?

Рис. 2.15 - 2.16

Рис. 2.17 2.18. Случай?<1

Например, для, имеем

,…(рис. 2.19)

Рис. 2.19. Мобилизация при,

Интересно отметить, что построенная модель, несмотря на простоту подходов и рассуждений, довольно хорошо отражает реальные процессы. Так, предложенная модель мобилизации использовалась для изучения динамики числа голосов, поданных за демократическую партию в Лейк Кантри (США) в 1920-1968 гг., и оказалось, что она достаточно хорошо описывает качественные характеристики процесса мобилизации.

2.4 Модель гонки вооружений

Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой могут оказаться две страны, для определенности назовём страны X и Y.

Обозначим через x=x(t) расходы на вооружение страны X и через y=y(t) расходы на вооружение страны Y в момент времени.

Предположение 1. Страна X вооружается, опасаясь потенциальной угрозы войны со стороны страны Y, которая в свою очередь, зная о росте затрат на вооружение страны X, также увеличивает свои расходы на вооружение. Каждая страна изменяет скорость роста (или сокращения) вооружений пропорционально уровню затрат другой. В простейшем случае это можно описать так:

где ? и ?- положительные постоянные.

Однако написанные уравнения имеют очевидный недостаток - уровень вооружения ничем не лимитируется. Поэтому правые части этих уравнений нуждаются в естественной корректировке.

Предположение 2.

Чем больше текущий уровень расходов страны на оборону, тем меньше скорость его роста. Это позволяет внести в предыдущую систему следующие изменения:

x=?y-?x

y=?x-?y

если же эта страна не угрожает существованию данной. Обозначим соответствующие претензии через a и b (а и b - положительные постоянные). В случае если постоянные a и b отрицательны, их можно назвать коэффициентами доброй воли. Основываясь на всех трех предположениях, в результате получаем следующую систему уравнений:

x=?y-?x+a

y=?x-?y+b

Модель гонки вооружений построена.

Решением полученной системы являются функции x(t) и y(t), определяемые для данных начальных условий x0?0 и y0?0 (начального состояния гонки вооружений).

Проанализируем полученную систему, предполагая, что уровни затрат обеих стран на вооружение не зависят от времени (являются стационарными). Это означает, что x=0, y=0, или по иному:

Y-?x+a=0

X-?y+b=0

Рассмотрим конкретный пример.

Пример. Пусть система гонки вооружений имеет следующий вид:

x=3y-5x+15

y=3x-4y+12

Если скорости изменения величин x и y равны нулю, то эти величины с необходимостью связаны условиями:

Каждое из этих уравнений описывает прямую на плоскости (x,y), и точка пересечения этих прямых лежит в первой четверти (рис. 2.20)

Прямая, заданная уравнением (а), разбивает плоскость, и начальная точка O(0,0) лежит в положительной полуплоскости. В рассматриваемом случае то же справедливо и для прямой, заданной уравнением (б) (рис. 2.21).

Тем самым первая четверть (а нас интересует только она, так как всегда х?0 и у?0) разбивается на четыре области, которые удобно обозначить так: I-(+,+), II-(-,+), III-(-,-), IV-(+,-).

Пусть начальное состояние (х0,у0) находится в области I. Тогда выполнены неравенства:

(а): 3у0-5x0+15>0,

(б): 3х0-4у0+12>0,

из которых следует, что скорости x" и у" в этой точке положительны: х">0, у">0 и, значит, обе величины (х и у) должны возрастать (рис. 2.22).

Рис. 2.22. возрастание x и y

Таким образом, с течением времени в области I решение приходит в точку равновесия.

Подобным же образом анализируя возможные расположения начального состояния в областях II, III и IV, получим в итоге, что стабильное состояние (баланса сил) достигается независимо от начальных уровней вооружения стран X и Y. Отличие состоит лишь в том, что если переход к стационарному состоянию из области I сопровождается одновременным увеличением уровней вооруженности, то из области III - их одновременным снижением; для областей II и IV иная ситуация - одна из сторон наращивает свое вооружение, в то время как другая разоружается.

Возможны и другие случаи (рис. 2.23).

Рис. 2.23. другие случаи

Интересно отметить, что возможности построенной модели проверялись на реальной ситуации - гонке вооружений перед первой мировой войной. Проведенные исследования показали, что, несмотря на свою простоту, эта модель достаточно достоверно описывает положение дел в Европе в 1909-1913 гг.

В завершение этого раздела процитируем высказывание Т. Саати об этой модели: "Модель представляется гораздо более убедительной, если вместо вооружений провести на ней изучение проблем угрозы, поскольку люди реагируют на абсолютный уровень враждебности, проявляемый по отношению к ним другими, и испытывают чувство тревоги в степени, пропорциональной уровню враждебности, которую они испытывают сами".

Заключение

В наше время наука уделяет все большое внимание вопросам организации и управления, это приводит к необходимости анализа сложных целенаправленных процессов под углом зрения их структуры и организации. Потребности практики вызвали к жизни специальные методы, которые удобно объединять под названием «исследование операций». Под этим термином понимается применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Целью исследования операций является выявление наилучшего способа действия при решение той или иной задачи. Главная роль при этом отводится математическому моделированию. Для построения математической модели необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений. Цель и ограничения должны быть представлены в виде функций.

В моделях исследования операций переменные, от которых зависят ограничения и целевая функция, могут быть дискретными (чаще всего целочисленными) и континуальными (непрерывными). В свою очередь, ограничения и целевая функция делятся на линейные и нелинейные. Существуют различные методы решения данных моделей, наиболее известными и эффективными из них являются методы линейного программирования, когда целевая функция и все ограничения линейные. Для решения математических моделей других типов предназначены методы динамического программирования (которые были рассмотрены в данном курсовом проекте), целочисленного программирования, нелинейного программирования, многокритериальной оптимизации и методы сетевых моделей. Практически все методы исследования операций порождают вычислительные алгоритмы, которые являются итерационными по своей природе. Это подразумевает, что задача решается последовательно (итерационно), когда на каждом шаге (итерации) получаем решение, постепенно сходящиеся к оптимальному решению.

Итерационная природа алгоритмов обычно приводит к объемным однотипным вычислениям. В этом и заключается причина того, что эти алгоритмы разрабатываются, в основном, для реализации с помощью вычислительной техники.

Построение модели опирается на значительное упрощение изучаемой ситуации и, следовательно, к получаемым на ее основе выводам нужно относиться достаточно осторожно - модель может не все. Вместе с тем даже весьма грубая на вид идеализация нередко позволяет глубже вникнуть в суть проблемы. Пробуя как-то влиять на параметры модели (выбирать их, управлять ими), мы получаем возможность подвергнуть исследуемое явление качественному анализу и сделать выводы общего характера.

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых процессов, зависящих от времени. Так как в задачах динамического программирования процессы зависят от времени, то находится ряд оптимальных решений для каждого этапа, обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом.

Используя поэтапное планирование, динамическое программирование позволяет не только упростить решение задач, но и решать те к которым нельзя применить методы математического анализа. Конечно, стоит отметить, что этот метод достаточно трудоёмкий при решении задач с большом количеством переменных.

Список используемой литературы

1.Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособ. - М.: Высшая школа, 2009 г.

.Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования. - М.: Дело и Сервис, 2009 г

.Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М.: Айрис-Пресс, 2008 г.

.Курбатов В.И., Угольницкий Г.А. Математические методы социальных технологий. - М.: Вузовская книга, 2011 г.

.Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. - СПб.: Питер, 2007 г.

.Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-Математические методы и модели. - М.: Вузовский учебник, 2008 г.

.Попов И.И., Партыка Т.Л. Математические методы. - М.: ИНФРА-М, 2007 г.

.Попова Н.В. Математические методы. - М.: Анкил, 2007 г.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

(4)

и т.д. Для каждого конкретного значения n будем получать новую динамическую систему, в заданном приближении описывающую процесс колебаний физического маятника .

Кинематическая интерпретация системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений . Применительно к таким системам сохранились представления и терминология, первоначально возникшие в механике. В рассматриваемом случае для определения динамической системы необходимо указать объект, допускающий описание состояния заданием величин x 1 , x 2 , ..., x N в некоторый момент времени t = t 0 . Величины x i могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величин x i и отвечают два разных состояния. Закон эволюции динамической системы во времени записывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

Если рассматривать величины x 1 , x 2 , ..., x N как координаты точки x в N -мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление состояния динамической системы в виде этой точки, которую называют изображающей , а чаще фазовой точкой , а пространство состояний — фазовым пространством динамической системы. Изменению состояния системы во времени отвечает движение фазовой точки вдоль некоторой линии, называемой фазовой траекторией . В фазовом пространстве системы уравнениями (5) определяется векторное поле скоростей, сопоставляющее каждой точке x выходящий из нее вектор скорости F (x ), компоненты которого даются правыми частями уравнений (5):

Динамическая система (5) может быть записана в векторной форме:

где F (x ) — вектор-функция размерности N .

Необходимо уточнить взаимосвязь понятий числа степеней свободы и размерности фазового пространства динамической системы. Под числом степеней свободы понимается наименьшее число независимых координат, необходимых для однозначного определения состояния системы. Под координатами первоначально понимались именно пространственные переменные, характеризующие взаимное расположение тел и объектов. В то же время для однозначного решения соответствующих уравнений движения необходимо помимо координат задать соответствующие начальные значения импульсов или скоростей. В связи с этим система с n степенями свободы характеризуется фазовым пространством в два раза большей размерности (N = 2n ).

Классификация динамических систем

Если динамическая система задана уравнением (7), то постулируется, что каждому x (t 0) в фазовом пространстве ставится в соответствие состояние x (t ), t > t 0 , куда за время t - t 0 переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с уравнением (7). В операторной форме (7) можно записать в виде

x (t ) = T t x (t 0), (8)

где T t — закон (оператор) эволюции. Если этот оператор применить к начальному состоянию x (t 0), то мы получим x (t ), то есть состояние в момент времени t > t 0 . Так как x (t 0) и x (t ) принадлежат одному и тому же фазовому пространству динамической системы, то математики говорят в данной ситуации: оператор T t отображает фазовое пространство системы на себя. В соответствии с этим можно называть оператор T t оператором отображения или просто отображением.

Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции: T [x (t ) + y (t )] = T x (t ) + T y (t ). Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной . Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и дискретным временем . Системы, для которых отображение x (t ) с помощью оператора T может быть определено для любых t > t 0 (непрерывно во времени), называют также потоками по аналогии со стационарным течением жидкости . Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют каскадами или системами с дискретным временем.

Способы задания оператора отображения T также могут различаться. Оператор T можно задать в виде дифференциального или интегрального преобразования, в виде матрицы или таблицы, в виде графика или функции и т.д.

Колебательные системы и их свойства

Важную группу динамических систем представляют системы, в которых возможны колебания. Колебательные системы с точки зрения их математических моделей разделяют на определенные классы. Различают линейные и нелинейные колебательные системы, сосредоточенные и распределенные, консервативные и диссипативные, автономные и неавтономные. Особый класс представляют так называемые автоколебательные системы. Основные свойства указанных систем подробно обсуждаются в работах по теории колебаний.