МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Кафедра основ радиотехники и защиты информации

КУРСОВАЯ РАБОТА

Анализ характеристик линейных цепей

И линейных преобразований сигналов

Выполнил:

Руководитель:

Илюхин Александр Алексеевич

Москва 2015

1. Цели курсовой работы. 3

2. Индивидуальное задание. 3

3.Расчеты 4

4. Программа по расчёту и построению амплитудно-частотной, фазо-частотной, переходной и импульсной характеристик цепи при заданных параметрах 10

5. Программа расчёта и построения реакция заданной цепи на заданный сигнал 11

6. Графики 13

1. Цели курсовой работы.

1. Изучить характер переходных процессов в линейных цепях.

2. Закрепить аналитические методы расчета частотных и временных характеристик линейных цепей.

3. Освоить суперпозиционный анализ сигналов.

4. Овладеть суперпозиционным методом расчета реакций линейных цепей.

5. Уяснить влияние параметров цепи на вид ее реакции.

2. Индивидуальное задание.

Вариант 27 (цепь № 7, сигнал № 3).

Рис.1.Электрическая цепь

Рис.2.Сигнал

E =2 В

t и =10 мкс

R =4 кОм

C =1000 пФ

Операторную передаточную характеристику цепи;

Комплексную частотную характеристику цепи;

Амплитудно-частотную характеристику цепи;

Фазо-частотную характеристику цепи;

Переходную характеристику цепи;

Импульсную характеристику цепи.

2. Выполнить суперпозиционный анализ сигнала.

4. Составить программу по расчету и построению амплитудно-частотной, фазочастотной, переходной и импульсной характеристик цепи при заданных ее параметрах.

5. Составить программу расчета и построения реакции заданной цепи на заданный сигнал.

6. Вычислить характеристики и реакцию цепи, указанные в п.п. 4 и 5, построить их графики.

3.Расчеты

3.1. Расчёт характеристик цепи

1. Операторная передаточная характеристика

Рис.3. Обобщённая схема цепи

Для заданной схемы:

Согласно формуле:

Для заданной схемы, изображённой на рис.1,

Где θ=RC – постоянная времени.

2. Комплексная частотная характеристика

Комплексная частотная характеристика определяется из соотношения:

3. Амплитудно-частотная характеристика(АЧХ)

4. Фазочастотная характеристика(ФЧХ)

У данной цепи:

5. Переходная характеристика

У данной цепи:

Т.к. , где x 1 и x 2 – корни уравнения x 2 + bx + c = 0 ,

Методы анализа процессов в линейных цепях (системах)

При анализе процессов необходимо определить отклик цепи на входной сигнал в виде сигнала заданной формы. Из основ теории цепей известно, что для анализа прохождения гармонических сигналов через линейные цепи используют законы Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора и другие несложные методы. Эти методы применимы и для анализа при произвольном воздействии. Однако в теории связи имеют дело с импульсными сигналами, которые более разнообразны по форме и спектральному составу и описываются большим числом параметров. Эти цепи сложны и по структуре. При анализе воздействия сигналов на такие цепи применяют спектральный и операторный методы и метод интеграла наложения.

Спектральный метод. Свойства линейных цепей (четырехполюсников) можно определить с помощью такого параметра, как частотный коэффициент передачи. Для этого необходимо рассмотреть отклик линейного четырехполюсника на входное воздействие и оценить их связь между собой.

Введем понятия комплексных амплитуд входного и выходного гармонических напряжений с угловой (круговой) частотой со:

Отношение комплексных амплитуд выходного и входного гармонических напряжений одной частоты и определяет частотный коэффициент передачи (чаще просто - коэффициент передачи) линейной цепи (линейного четырехполюсника):

Модуль коэффициента передачи К(со) = |К(со)| называют амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент ср(со) - фазочастотной характеристикой (ФЧХ) линейного четырехполюсника. Как правило, АЧХ имеет один максимум, а ФЧХ изменяется монотонно в зависимости от частоты (рис. 4.2).

В области некоторой полосы частот отклик цепи на входное воздействие начинает уменьшаться. Поэтому используют понятие полосы пропускания (рабочей полосы) - области частот, где модуль коэффициента передачи К(со) не менее 1/V2 = 0,707 своего максимального значения. Наиболее же удобен на практике нормированный модуль коэффициента передачи К/К шкс, максимальное значение которого равно 1. Значение 1/V2, по которому определяют полосу пропускания линейной цепи, введено не случайно. Дело в том,

Рис. 4.2.

а - АЧХ; б - ФЧХ что на границах полосы пропускания модуль коэффициента передачи но мощности, равный отношению выходной и входной мощностей, уменьшается в два раза. На рис. 4.2 полоса пропускания заключена в области от нижней со н до верхней со в частоты, и поэтому ее ширина Дсо 0 = со в - со,. На практике часто используют циклическую частоту /= /(2). Тогда полоса пропускания цепи

где/ и - нижняя, а/ в - верхняя граничные циклические частоты.

К вопросу о частотном коэффициенте передачи можно подойти и с другой точки зрения. Если на вход линейной цени подается гармонический сигнал единичной амплитуды, имеющий комплексную аналитическую модель вида u BX (t) = e J(0t , то сигнал на ее выходе запишется как u Bbai (t) = К(Подставляя эти выражения в формулу (4.1), после несложных преобразований запишем частотный коэффициент передачи в форме дифференциального уравнения

Согласно формуле (4.3) частотный коэффициент передачи линейной цепи, у которой связь между входным и выходным сигналами описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональную функцию переменной у со. При этом коэффициенты этой функции совпадают с коэффициентами дифференциального уравнения.

С помощью частотного коэффициента передачи К(со) можно определить сигнал на выходе линейного четырехполюсника. Пусть на входе линейного четырехполюсника с частотным коэффициентом передачи К(со) действует непрерывный сигнал произвольной формы в виде напряжения м вх (?). Применив прямое преобразование Фурье (2.29), определим спектральную плотность входного сигнала 5 вх (со). Тогда спектральная плотность сигнала на выходе линейной цепи

Проведя обратное преобразование Фурье (2.30) от спектральной плотности (4.4), запишем выходной сигнал как

Операторный метод. Наряду со спектральным применяют операторный метод, базирующийся на представлении преобразованиями Лапласа входных и выходных сигналов. Термин «операторный метод» введен О. Хевисайдом. Он предложил символический способ решения линейных дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в линейных цепях. Метод Хевисайда основан на замене оператора дифференцирования d/dt комплексным параметром р , который переводит анализ сигналов из временной области в область комплексных величин. Рассмотрим комплексный или вещественный аналоговый сигнал u(t ), определенный при t > 0 и равный нулю в момент времени t = 0.

Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплексной переменной р , выраженная интегралом

Аналитическую запись сигнала u(t) называют оригиналом , а функцию U(p) - его изображением по Лапласу (проще - изображением). Интеграл

• (4.6) внешне напоминает прямое преобразование Фурье (2.29). Однако между ними имеется принципиальное различие. В интеграл прямого преобразования Фурье (2.29) входит мнимая частотаусо, а в интеграл Лапласа
• (4.6) - комплексный оператор, который можно рассматривать как комплексную частоту р = а + усо (а - вещественная составляющая), при этом рассматривают только положительные значения времени t. За счет множителя е~ ш под интегралом в формуле (4.6) для U(p) преобразование Лапласа возможно и для неинтегрируемых функций u(t).

Использование понятия комплексной частоты в интегральном преобразовании делает его более эффективным по сравнению с преобразованием Фурье. Например, по формуле (2.29) невозможно непосредственно определить спектр функции включения а(?) = 1(0- Однако для того же сигнала непосредственно по формуле (4.6) легко отыскать его операторное изображение:

или, поскольку е~ а ‘°° = 0, получим

Из приведенного примера очевидно, что повышение эффективности преобразования (4.6) обусловлено наличием множителя е -а/ , который обеспечивает сходимость данного интеграла даже для сигналов, не удовлетворяющих условию сходимости интеграла . Наличие этого множителя позволяет интерпретировать преобразование Лапласа (4.6) как представление сигнала в виде «спектра» из затухающих колебаний е ш е,ш = = е (а+уe j (в символической форме).

Преобразование Лапласа (4.6) обладает линейными свойствами, аналогичными свойству линейности преобразования Фурье:

Из других свойств отметим более простое преобразование изображений при дифференцировании и интегрировании сигнала по сравнению с аналогичными преобразованиями Фурье. Упрощение связано не только с комплексностью оператора р , но и с тем, что оригиналы анализируют на бесконечном интервале .

По аналогии с обратным преобразованием Фурье вводят обратное интегральное преобразование Лапласа , которое осуществляют с помощью вычетов:

где а, - вещественная переменная, отражаемая на комплексной плоскости.

Решение дифференциальных уравнений операторным методом. Преобразование Лапласа позволяет решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть необходимо найти решение дифференциального уравнения (4.1). Установим ряд допущений:

• входной сигнал u BX (t) = 0 при t
• входной сигнал содержит в себе только те функции, для которых существуют преобразования Лапласа;
• начальные условия нулевые, т.е. г/ вых (0) = 0.

Введем соответствия между оригиналами входного и выходного сигналов и их изображениями по Лапласу:

Осуществив преобразование Лапласа обеих частей формулы (4.1), получим

В теории автоматических систем сомножитель перед U Bblx (p ) в формуле (4.8) обозначают через Q(p), называя собственным оператором системы, а сомножитель перед U nx (p) - через R(p) и называют оператором воздействия.

Операторный метод базируется на важнейшей характеристике, являющейся отношением изображений выходного и входного сигналов:

и называемой передаточной функцией {операторным коэффициентом передачи) линейной цепи.

Воспользовавшись уравнением (4.8), находим

Сравнение формул (4.3) и (4.9) показывает, что функция К(р ) отражает результат аналитического переноса комплексного частотного коэффициента передачи /((со) с мнимой оси jeo на всю область комплексных частотр = а + jco.

Если известна передаточная функция К(р), то выходную реакцию цепи на заданное входное воздействие u nx (t) можно определить по следующей схеме:

• записать изображение входного сигнала u BX (t) -? U BX (p)
• найти изображение выходного сигнала 0 иых (р) = K(p)U ux (p)
• вычислить выходной сигнал u ttblx (t) - 5 ? 0 вых (р).

Корни знаменателя p v p 2 > ->Р п в формуле (4.9), т.е. корни функции

называют полюсами передаточной функции К{р).

Соответственно корни числителя z v z 2 , z m функции К(р), т.е. корни функции

характеризуют как пули передаточной функции.

В реальных электрических цепях п> т.

При делении числителя на знаменатель в формуле (4.9) появляется постоянный множитель К 0 , и это уравнение принимает так называемое нуль- полюсное представление передаточной функции

Действительные значения коэффициентов а п и Ъ т дифференциального уравнения (4.16) обусловливает следующее свойство полюсов и нулей передаточной функции линейного четырехполюсника: либо все эти числа вещественные, либо образуют комплексно-сопряженные пары.

Рис. 4.3.

Очень часто используют наглядный прием отображения нулей и полюсов передаточной функции на комплексной плоскости а,усо. При этом полюса принято обозначать крестиками, а нули - кружками. Например, на рис. 4.3 кружком в начале координат показан нуль, а крестиками 1 и 2 - полюсы передаточной функции некоторой колебательной цени. Полюсы 1 и 2 отрицательны, вещественны и определяют разность двух затухающих экспонент. Комплексно-сопряженные полюсы 3 и 4 определяют колебательный характер передаточной функции К(р) с тем большим затуханием, чем левее они расположены, и с тем большей частотой затухающих колебаний, чем дальше они отходят вверх и вниз от вещественной оси а. Расположение полюсов в левой полуплоскости соответствует затухающему характеру передаточной функции. Нули передаточной функции могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости.

Динамическое представление линейных цепей. Метод интеграла наложения. Свойства линейных цепей часто проще оценить видом их отклика на воздействие элементарных сигналов. Применение нашло два вида динамического представления линейных цепей. Согласно первому из них для анализа отклика цепи в качестве элементарных сигналов служат прямоугольные импульсы длительностью Д, в пределе стремящиеся к дельта-функции. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее. При втором способе элементарными сигналами служат ступенчатые функции, возникающие в виде функций включения через равные промежутки времени А. Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени Д.

Одним из элементарных электрических сигналов, применяемых при анализе прохождения различных колебаний через линейные цепи (четырехполюсники), является дельта-функция 5(?). Другим элементарным электрическим сигналом в технике связи служит функция включения а(?).

Дельта-функция и функция включения связаны между собой аналитически. Результатом дифференцирования функции включения является дельта-функция

Соответственно

Пример 4.1

Найдем производную от произведения экспоненциального импульса и функции включения u(t) = e~ at v(t).

Решение

Для функции е~ ш в момент времени t = 0 е~ а "° = 1. Производная В результате вычислений получим следующее выражение:

Импульсная и переходная характеристики линейной цепи. Линейность и стационарность позволяют легко найти реакцию линейной системы теоретически на любой входной сигнал, зная всего одну функцию - реакцию системы на поданную на вход дельта-функцию 8(t). Эту реакцию называют импульсной характеристикой или ядром свертки линейной цепи (системы) и обозначают h(t). Различные виды реальных импульсных характеристик линейных цепей h v h 2 , h 3 показаны на рис. 4.4, а.

Рис. 4.4.

а - различные виды импульсных; б - переходная

Откликом линейной цепи на единичную функцию является переходная характеристика g(t) (рис. 4.4, б). Положим, что требуется определить выходной сигнал и вых (?) линейной цепи (линейного четырехполюсника), если известны ее импульсная характеристика h(t) и входной сигнал u BX (t). Заменим приближенно кривую входного сигнала u nx (t) ступенчатой линией в виде совокупности достаточно коротких прямоугольных импульсов, имеющих одинаковую длительность Ат (рис. 4.5, а).

Рис. 4.5.

а - входной сигнал; б - отклики на импульсы и выходной сигнал

Формирование выходного сигнала можно пояснить следующим образом. Достаточно малый «кусочек» входного сигнала длительностью Ат подается на вход анализируемой цепи. Если выбрать длительность импульсов Ат бесконечно малой, то отклик линейной цепи на первый по счету прямоугольный импульс будет приближенно равен отклику той же цепи на дельта-функцию (а это будет импульсная характеристика), умноженному на площадь (и пх (0)Ат) первого импульса, т.е. u nx (0)Axh(t) (рис. 4.5, б). Откликом линейной цепи на второй импульс с достаточной точностью является произведение г/ вх (Ax)Axh(t - Ат), где и вх (Ат)Ат - площадь этого импульса, а величина h(t - Ат) - импульсная характеристика линейной цепи, соответствующая моменту времени t = Ат. Следовательно, для некоторого произвольного момента времени t = пАх (п - число условно сформированных импульсов, приходящихся на интервал времени ) отклик линейной цепи приближенно выразится суммой (штриховая линия на рис. 4.5, б)

Если длительность импульсов Ат последовательно приближается к нулю, то малое приращение времени Ат превращается в dx, а операция суммирования трансформируется в операцию интегрирования по переменной т = kAx:

Для реальных линейных цепей всегда h(t) = 0 при t

Это фундаментальное соотношение в теории линейных цепей представляет собой интеграл наложения, или интеграл Дюамеля Напомним, что

интеграл (4.13) называют сверткой двух функций (см. гл. 2). Итак, линейная система осуществляет свертку входного сигнала со своей импульсной характеристикой, в результате чего получается выходной сигнал. Формула (4.13) имеет ясный физический смысл: линейная стационарная цепь, выполняя обработку входного сигнала, проводит операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших «в прошлом».

Техника свертки. Для вычисления свертки по выражению (4.13) функция импульсного отклика реверсируется по своей координате, т.е. строится в режиме обратного времени, и движется относительно функции входного сигнала в сторону возрастания значений L В каждый текущий момент времени значения обеих функций перемножаются, а произведение интегрируется в пределах окна импульсного отклика. Полученный результат относится к той координатной точке, против которой находится значение импульсного отклика /?(()). В теории электрических цепей применяют другую, эквивалентную форму интеграла Дюамеля:

Итак, линейная система преобразует относительно переменной t функции, входящие в формулу (4.14). При этом входной сигнал преобразуется в выходной сигнал м вых (?)> а дельта-функция 8(t - т) - в импульсную характеристику h(t - т). Функция м вх (т) не зависит от переменной t и поэтому остается без изменений. В результате получается формула, показывающая, что выходной сигнал линейной системы равен свертке входного сигнала с ее импульсной характеристикой:

Определим связь импульсной характеристики с частотным коэффициентом передачи линейной цепи. Воспользуемся комплексной формой гармонического сигнала единичной амплитуды и вх (?) = ехр(/со?). Подставив это выражение в формулу (4.14) и вынеся его за знак интеграла, находим отклик цепи:

Интеграл в скобках является комплексной функцией частоты

и представляет собой коэффициент передачи (здесь сделана формальная замена т на t).

Выражение (4.15) устанавливает чрезвычайно важный факт - частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика линейной цепи связаны прямым преобразованием Фурье. Очевидно и наличие обратного преобразования Фурье для коэффициента передачи и импульсной характеристики

с помощью которого можно легко определить импульсную характеристику цепи по ее частотному коэффициенту передачи.

Поскольку существует простая связь между 6(7т) и a(t) по формулам (4.10) и (4.11), все выводы для линейной цепи, сделанные при помощи дельта-функции, легко переносятся па функцию включения. Проведя аналогичные рассуждения и расчеты, можно показать возможность простого представления входных и выходных сигналов с помощью функции включения a(t) и переходной характеристики линейной цепи g(t). Разбив входной сигнал (рис. 4.6) на элементарные функции включения Д мст(7) (здесь А и - амплитуда элементарного скачка входного напряжения) и поступая так же, как и при выводе соотношения (4.12), получаем еще одну форму интеграла Дюамеля, позволяющую определить сигнал на выходе линейной цепи:

Рис. 4.6.

В теории линейных цепей установлена определенная связь между импульсной и переходной характеристиками. Поскольку переходная характеристика neiiHg(?) есть отклик на единичную функцию ст(/,), которая, в свою очередь, представляет собой интеграл от дельта-функции 8(7) (см. формулу (4.11)), то и между функциями h(t.) и g(t) существует интегральное соотношение

Экспериментально импульсную характеристику линейной цепи можно построить, подавая на ее вход короткий импульс единичной площади и уменьшая длительность импульса при сохранении площади до тех пор, пока сигнал на выходе перестанет изменяться. Это и будет импульсная характеристика цепи.

• Жан-Мари Дюамель (J. Duhamel, 1797-1872) - французский математик.

Линейно-параметрические цепи-радиотехнические цепи, один или несколько параметров которых изменяются во времени по заданному закону, называют параметрическими (линейными цепями с переменными параметрами). Предполагается, что изменение какого-либо параметра осуществляют электронным методом с помощью управляющего сигнала. В линейно- параметрической цепи параметры элементов не зависят от уровня сигнала, но могут независимо изменяться во времени. Реально параметрический элемент получают из нелинейного элемента, на вход которого подают сумму двух независимых сигналов. Один из них несет информацию и имеет малую амплитуду, так что в области его изменений параметры цепи практически постоянны. Вторым является управляющий сигнал большой амплитуды, который изменяет положение рабочей точки нелинейного элемента, а следовательно, его параметр.

В радиотехнике широко применяют параметрические сопротивления R(t), параметрические индуктивности L(t) и параметрические емкости C(t).

Для параметрического сопротивления R(t) управляемым параметром является дифференциальная крутизна

Примером параметрического сопротивления может служить канал МДП- транзистора, на затвор которого подано управляющее (гетеродинное) переменное напряжение u Г (t). В этом случае крутизна его сток-затворной характеристики изменяется во времени и связана с управляющим напряжением зависимостью S(t) = S. Если к МДП-транзистору подключить еще и напряжение модулированного сигнала u(t) , то его ток определится выражением

Наиболее широко параметрические сопротивления применяют для преобразования частоты сигналов. Гетеродинирование - процесс нелинейного или параметрического смешивания двух сигналов разных частот для получения колебаний третьей частоты, в результате которого происходит смещение спектра исходного сигнала.

Рис. 24. Структурная схема преобразователя частоты

Преобразователь частоты (рис.24) состоит из смесителя (СМ) - параметрического элемента (например, МДП-транзистора, варикапа и т. д.), гетеродина (Г) - вспомогательного генератора гармонических колебаний с частотой ωг, служащего для параметрического управления смесителем, и фильтра промежуточной частоты (ФПЧ) - полосового фильтра

Принцип действия преобразователя частоты рассмотрим на примере переноса спектра однотонального АМ-сигнала. Допустим, что под воздействием гетеродинного напряжения

крутизна характеристики МДП-транзистора изменяется приближенно по закону

где S 0 и S 1 - соответственно среднее значение и первая гармоническая составляющая крутизны характеристики. При поступлении на преобразующий МДП-транзистор смесителя приемника АМ-сигнала

переменная составляющая выходного тока будет определяться выражением:

Пусть в качестве промежуточной частоты параметрического преобразователя выбрана частота

Прохождение сигналов через резистивные параметрические цепи. Преобразование частоты

12.1 (О). Идеальный источник ЭДС создает напряжение (В)и = 1.5 cos 2π · l0 7 t . К зажимам источника подключен резистивный элемент с переменной во времени проводимостью (См)G (t ) = 10 -3 + 2 · 10 -4 sin 2π · l0 6 t . Найдите амплитуду токаI т , имеющего частоту 9.9 МГц.

12.2(О). Вещательный приемник длинноволнового диапазона предназначен для приема сигналов в диапазоне частот отf c min = 150 кГц доf c max = 375 кГц. Промежуточная частота приемникаf пр = 465 кГц. Определите, в каких пределах следует перестраивать частоту гетеродинаf г данного приемника.

12.3(УО). В супергетеродинном приемнике гетеродин создает гармонические колебания с частотойf г = 7.5 МГц. Промежуточная частота приемникаf пр = 465 кГц; из двух возможных частот принимаемого сигнала основному каналу приема отвечает большая, а зеркальному каналу - меньшая частота. Для подавления зеркального канала на входе преобразователя частоты включен одиночный колебательный контур, настроенный на частоту основного канала. Найдите значение добротностиQ этого контура, при которой ослабление зеркального канала составит - 25 дБ по отношению к основному каналу приема.

12.4(О). Дифференциальная крутизна резистивного параметрического элемента, входящего в преобразователь частоты, изменяется по законуS диф (t ) =S 0 +S 1 cosω г t , гдеS 0 ,S 1 - постоянные числа,ω г - угловая частота гетеродина. Считая, что промежуточная частотаω пр известна, найдите частоты сигналаω с, при которых возникает эффект на выходе преобразователя.

12.5(Р). Проходная характеристика полевого транзистора, т.е. зависимость тока стокаi c (мА) от управляющего напряжения затвор - истоки зи (В) прии зи ≥ -2 В, аппроксимирована квадратичной параболой:i с = 7.5(u зи + 2) 2 . Ко входу транзистора приложено напряжение гетеродинаи зи =U m г cosω г t . Найдите закон изменения во времени дифференциальной крутизныS диф (t ) характеристикиi с =f (и зи).

12.6(УО). Применительно к условиям задачи 12.5 выберите амплитуду напряжения гетеродинаU m г таким образом, чтобы обеспечить крутизну преобразованияS пр = 6 мА/В.

12.7(О). В преобразователе частоты использован полупроводниковый диод, ВАХ которого описана зависимостью (мА)

К диоду приложено напряжение гетеродина (В) u г = 1.2 cosω г t . Вычислите крутизну преобразованияS пр данного устройства.

12.8(УО). В диодном преобразователе частоты, который описан в задаче 12.7, к диоду приложено напряжение (В)u (t ) =U 0 + 1.2 cosω г t . Определите,

при каком напряжении смещенияU 0 < 0 крутизна преобразования составит величину 1.5 мА/В.

12.9(УО). Схема преобразователя частоты на полевом транзисторе изображена на рис. I.12.1. Колебательный контур настроен на промежуточную частотуω пр = |ω с -ω г |. Резонансное сопротивление контураR рез = 18 кОм. Ко входу преобразователя приложена сумма напряжения полезного сигнала (мкВ)u с (t ) = 50 cosω c t и напряжения гетеродина (В)u г (t ) = 0.8 cosω г t . Характеристика транзистора описана в условиях задачи 12.5. Найдите амплитудуU m пр выходного сигнала на промежуточной частоте.

Прохождение сигналов через параметрические реактивные цепи. Параметрические усилители

12.10(Р). Дифференциальная емкость параметрического диода (варактора) в окрестности рабочей точкиU 0 зависит от приложенного напряженияи следующим образом:С диф (u ) =b 0 +b 1 (u -U 0), гдеb 0 (пФ) иb 1 (пФ/В) - известные числовые коэффициенты. К варактору приложено напряжениеu =U 0 +U m cosω 0 t . Получите формулу, описывающую токi (t ) через варактор.

12.11(УО). Дифференциальная емкость варактора описана выражениемC диф (u ) =b 0 +b 1 (u -U 0) +b 2 (u -U 0) 2 . К зажимам варактора приложено напряжениеu =U 0 +U m cosω 0 t . Вычислите амплитудуI 3 третьей гармоники тока через варактор, еслиf 0 = 10 ГГц,U m =1.5 В,b 2 = 0.16 пФ/В 2 .

12.12(О). Варактор имеет параметры:b 0 = 4 пФ,b 2 = 0.25 пФ/В 2 . К варактору приложено высокочастотное напряжение с амплитудойU m = 0.4 В. Определите, во сколько раз возрастет амплитуда первой гармоники токаI 1 если величинаU m станет равной 3 В.

12.13(УО). Емкость параметрического конденсатора изменяется во времени по законуС (t ) =С 0 ехр (-t /τ) σ (t ), гдеС 0 , τ - постоянные величины. К конденсатору подключен источник линейно нарастающего напряженияu (t ) =at σ(t ). Вычислите закон изменения во времени токаi (t ) в конденсаторе.

12.14(УО). Применительно к условиям задачи 12.13 найдите момент времениt 1 , в который мгновенная мощность, потребляемая конденсатором из источника сигнала, максимальна, а также момент времениt 2 , в который максимальной оказывается мощность, отдаваемая конденсатором во внешние цепи.

12.15(Р). Одноконтурный параметрический усилитель подключен со стороны входа к источнику ЭДС (генератору) с внутренним

сопротивлениемR г = 560 Ом. Усилитель работает на резистивную нагрузку с сопротивлениемR н = 400 Ом. Найдите величину вносимой проводимостиG вн, которая обеспечивает коэффициент усиления мощностиК Р = 25 дБ.

12.16(О). Для параметрического усилителя, описанного в задаче 12.15, найдите критическую величину вносимой проводимостиG вн кр, при которой система оказывается на пороге самовозбуждения.

12.17(УО). К зажимам управляемого параметрического конденсатора приложено напряжение сигналаu (t ) =U m cos(ω c t +π/3). Емкость конденсатора изменяется во времени по законуC (t ) =C 0 " гдеφ н - начальный фазовый угол колебания накачки. Выберите наименьшее по модулю значениеφ н, которое обеспечивает нулевое значение вносимой проводимости.

12.18(О). Применительно к условиям задачи 12.17 для значений параметровС 0 = 0.3 пФ, β = 0.25 иω с = 2π · 10 9 с -1 вычислите наибольшее по модулю значение отрицательной проводимостиG вн max , а также наименьший по модулю фазовый уголсра, обеспечивающий такой режим.

12.19(Р). Двухконтурный параметрический усилитель предназначен для работы на частотеf с = 2 ГГц. Холостая частота усилителяf хол = 0.5 ГГц. Использованный в усилителе варактор изменяет свою емкость (пФ) с частотой накачкиω н по законуС (t ) = 2(1 + 0.15 cosω н t ). Источник сигнала и устройство нагрузки имеют одинаковые активные проводимостиG г =G н = 2 · 10 -3 См. Вычислите величину резонансного сопротивления холостого контураR рез.хол, при котором в усилителе возникает самовозбуждение.

И фазовыми сдвигами

. (1.3.1)

Коэффициенты - вещественные амплитуды гармоник с их знаками – можно вычислить по спектрам одиночных сигналов:

, (1.3.2)

где - запаздывание (смещение) центра сигналов относительно начала координат , равное в конкретном случае половине длительности импульсов.

Спектры одиночных прямоугольного и треугольного импульсов амплитудой и длительностью соответственно равны

; (1.3.3)

1.4. Преобразование сигналов в линейных цепях

Амплитудные и фазовые искажения в линейных цепях определяются их амплитудно-частотной (частотной) и фазочастотной (фазовой) характеристиками. Амплитуды k-х гармоник изменяются в раз, а начальные фазы смещаются на . Следовательно, на выходе линейной цепи получаем новые значения амплитуд гармоник и фазовых сдвигов: . Синтезируемый сигнал принимает вид

. (1.4.1)

Частотная и фазовая характеристики линейных цепей первого порядка

, (1.4.2)

где Т0 – постоянная времени цепи.

2. Моделирование искажений сигналов в линейных цепях

1. Установить параметры (целесообразно нормированные) прямоугольного и треугольного сигналов, расположенных в начале координат (при t=0): амплитуда А=1, период следования Т=1, длительность t в пределах (0.1….0.5)Т. При этом следует иметь ввиду, что в описании представлены формулы, а не операторы системы.

2. Ввести спектры прямоугольного и треугольного сигналов согласно (1.3.3) .

3. Задать число определяемых гармоник в пределах .

где - смещение (запаздывание) центра сигналов относительно начала координат (t=0), равное в данном случае половине длительности импульсов.

5. Построить гистограммы массивов коэффициентов и фаз .

6. Синтезировать сигнал рядом Фурье:

.

7. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи:

8. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи при равной нулю фазовой характеристики цепи с целью оценки амплитудных искажений:

.

9. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи при постоянном коэффициенте передачи (и наличии только фазовых сдвигов в цепи с целью оценки фазовых искажений:

.

10. Построить графики и сравнить исходные и синтезированные сигналы

при разных значениях числа гармоник.

отклонения) синтезированного сигнала на выходе цепи. Общая

расчетная формула для оценки погрешностей

.

12. Изменяя длительности импульсов и постоянную времени цепи изучить

зависимости искажений от сигналов от параметров цепи.

13. Повторить анализ преобразования, амплитудных и фазовых искажений

сигналов в линейной цепи второго порядка при различных значениях собственной частоты и степени затухания :

.

Контрольные вопросы

1. Ортогональные и ортонормированные системы базисных функций. Типовые системы ортогональных функций.

2. Представление сигналов ортогональными системами функций и определение коэффициентов.

3. Представление сигналов рядом и интегралом Фурье. Области применения.

4. Принцип построения спектральных диаграмм базисных функций.

5. Основные принципы анализа и синтеза сигналов.

6. Частотные и фазовые характеристики линейных цепей.

7. Оценка амплитудных и фазовых искажений сигналов в линейных цепях.

Библиографический список

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 1988. С. 38-55, 184-202.

2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. С. 16-67.

3. Гутников В.С. Фильтрация измерительных сигналов.

Л.: Энергоатомиздат, 1990.

4. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.

М.: Наука, 1978.

5. Орнатский П.П. Теоретические основы информационно-измерительной техники. Киев: Вища школа, 1983. С. 190-197.

6. Садовский Г.А. Аналитическое описание сигналов. Рязань: РРТИ,1987.

7. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.: Физматгиз, 1962. С. 9-33.

Лабораторная работа №2. Спектры модулированных сигналов

1. Теоретическая часть

1.1. Модуляция и демодуляция

Для передачи измерительной информации параметры сигнала-носителя подвергаются модуляции. Процесс управления (изменения) параметров несущего сигнала в соответствии со значением измеряемой (передаваемой, преобразуемой) величины называется модуляцией, управляющая величина - модулирующей, а сигнал-носитель - модулированным. Если модуляции подвергается только один параметр сигнала-носителя, имеет место однопараметрическая модуляция, в противном случае – многопараметрическая. Преобразователи, в которых осуществляется модуляция сигнала, называются модуляторами. Выделение модулирующей функции из модулированного сигнала – демодуляция, а преобразователи модулированного сигнала в модулирующий называются демодуляторами.

Непрерывный гармонический сигнал-носитель описывается функцией

где амплитуда, круговая (угловая) частота (циклическая частота, период), начальная фаза – постоянные параметры гармонического сигнала. Изменению (модуляции) могут подвергаться амплитуда амплитудная модуляция (АМ), частота частотная модуляция (ЧМ), фаза фазовая модуляция (ФМ).