Общей процедуры определения закона распределения реакции линейного ФУ на произвольное случайное воздействие не существует. Однако, возможен корреляционный анализ, т. е. расчет корреляционной функции реакции по заданной корреляционной функции воздействия, который удобно проводить спектральным методом по схеме, показанной на рис. 5.5.
Для вычисления энергетического спектра G Y (f ) реакции линейного ФУ с передаточной функцией H (j ω) воспользуемся его определением (4.1)
Функцию корреляции B Y (t) определим преобразованием Фурье энергетического спектра G Y (f )
Вернемся к определению закона распределения реакции линейного ФУ в отдельных частных случаях:
1. Линейное преобразование нормального СП порождает также нормальный процесс. Измениться могут только параметры его распределения.
2. Сумма нормальных СП (реакция сумматора) есть также нормальный процесс.
3. При прохождении СП с произвольным распределением через узкополосный фильтр (т.е. при ширине полосы пропускания фильтра DF существенно меньшей ширины энергетического спектра воздействия Df X ) наблюдается явление нормализации распределения реакции Y (t ). Оно заключается в том, что закон распределения реакции приближается к нормальному. Степень этого приближения тем больше, чем сильнее неравенство DF << Df X (рис. 5.6).
Объяснить это можно следующим образом. В результате прохождения СП через узкополосный фильтр происходит существенное уменьшение ширины его энергетического спектра (с Df X до DF ) и, соответственно, увеличение времени корреляции (c t X до t Y ). В результате между некоррелированными отсчетами реакции фильтра Y (k t Y ) располагается примерно Df X / DF некоррелированных отсчетов воздействия X (l t X ), каждый из которых дает вклад в формирование единственного отсчета реакции с весом, определяемым видом импульсной характеристики фильтра.
Таким образом, в некоррелированных сечениях Y (k t Y ) происходит суммирование большого числа также некоррелированных случайных величин X (l t X ) с ограниченными математическими ожиданиями и дисперсиями, что в соответствии с центральной предельной теоремой (А.М. Ляпунова) обеспечивает приближение распределения их суммы к нормальному с увеличением числа слагаемых.
5.3. Узкополосные случайные процессы
СП X (t ) с относительно узким энергетическим спектром (Df X << f c ) как и узкополосные детерминированные сигналы удобно представлять в квазигармонической форме (см. раздел 2.5)
где огибающая A (t ), фаза Y(t ) и начальная фаза j(t ) являются случайными процессами, а ω с – частота, выбираемая произвольно (обычно как средняя частота его спектра).
Для определения огибающей A (t ) и фазы Y(t ) целесообразно воспользоваться аналитическим СП
Основные моментные функции аналитического СП :
1. Математическое ожидание
2. Дисперсия
3. Функция корреляции
Аналитический СП называют стационарным, если
Рассмотрим типичную в технике связи задачу прохождения нормального СП через полосовой фильтр (ПФ), амплитудный (АД) и фазовый (ФД) детекторы (рис. 5.7). Сигнал на выходе ПФ становится узкополосным , а это означает, что его огибающая A (t ) и начальная фаза j(t ) будут медленно меняющимися функциями времени по сравнению с , где – средняя частота полосы пропускания ПФ. По определению, сигнал на выходе АД будет пропорционален огибающей входного сигнала A (t ), а на выходе ФД – его начальной фазе j(t ). Таким образом, для решения этой задачи достаточно вычислить распределение огибающей A (t ) и фазы Y(t ) (распределение начальной фазы отличается от распределения Y(t ) только математическим ожиданием ).
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Теория электрической связи. Конспект лекций - 2 часть
Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Теория электрической связи». Материал соответствует действующей учебной программе по курсу ТЭС..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Спектральный анализ случайных процессов
Спектральный анализ детерминированных сигналов x(t) предпо-лагает использование прямого преобразования Фурье
Свойства энергетических спектров случайных процессов
1. , что непосредственно следует из его определения (4.1). Из этого факта и соотноше
исследований случайных процессов
Для закрепления полученных при изучении раздела 4 знаний на базе виртуальной лаборатории можно провести экспериментальные исследования случайных процессов используя:
· о
преобразователи сигналов
В общем случае решение задачи прохождения заданного СП через конкре
через безынерционные цепи
Безынерционная цепь (безынерционный функциональный узел –БФУ) полностью описывается функциональной зависимостью y = f(x), связывающей мгновенные значения возде
Функциональное преобразование двух случайных процессов
Постановка задачи:
Заданы два случайных процесса X1(t) и X2(t) с известной совместной плотностью вероятности их значений в совпада
прохождения случайных процессов через различные ФУ
Для закрепления знаний, полученных при изучении данного раздела рекомендуется выполнить в рамках виртуальной лаборатории работу № 20 «Прохождение случайных процессов через различны
Критерий идеального наблюдателя
(критерий Котельникова)
Этот критерий требует обеспечения минимума средней вероятности ошибочного приема.
Для двоичной системы
Критерий максимального правдоподобия
Полагая, что все передаваемые сообщения равновероятны,
Критерий минимального среднего риска
(байесовский критерий)
Для учета разных последствий ошибок передачи различных сообщений следует обобщить критерий Котельникова, минимизируя сумму условных вероятно
Критерий Неймана-Пирсона
Критерий Неймана-Пирсона применяется в двоичных системах в ситуациях, когда невозможно определить априорные вероятности отдельных сообщений, а последствия ошибок разного рода неоди
на согласованных фильтрах
Сохраняя постановку задачи синтеза демодулятора из предыдущего раздела и опираясь на алгоритмы (6.13) и (6.14), попробуем заменить коррелятор (активный фильтр), вычисляющий скалярн
Свойства согласованных фильтров
1. Импульсная характеристика СФ является «зеркальным отражением» сигнала, с которым он согласован, относительно момента времени 0,5t0 (с точностью до постоянного коэффициен
Фазо-частотная характеристика СФ
отличается знаком от фазового спектра сигнала, с которым он согласован (б
Прямоугольные видеоимпульсы
Сигнал в виде прямоугольного видеоимпульса s(t) (рис. 6.8,а) и импульсная характеристика gСФ(t) согласованного с ним фильтра (рис. 6.8,б) описываются выражени
Прямоугольные радиоимпульсы
Сигнал в виде прямоугольного радиоимпульса s(t) описывается выражением
Сложные двоичные сигналы
Рассмотрим сигналы в виде n-последовательностей импульсов прямоугольной формы
Оптимальный когерентный прием при небелом шуме
Рассмотрим задачу синтеза согласованного фильтра, обеспечивающего максимальное отношение с/ш на своем выходе для случая, когда на его входе действует аддитивная смесь известного сигнала s(
оптимального когерентного приема
Для закрепления знаний, полученных при изучении разделов 6.1-6.3, целесообразно выполнить лабораторные работы № 15 «Исследование когерентных демодуляторов» (рис. 6.19, 6.20) и № 22 «Согласованная ф
помехоустойчивости основных видов цифровой модуляции
Для сравнения помехоустойчивости основных видов цифровой модуляции АМ, ЧМ (при использовании ортогональных сигналов) и ФМ достаточно для каждого из них определить эквивалентную эне
некогерентного приема в двоичной системе связи
Для определения средней вероятности ошибки оптимального некогерентного приема в двоичной системе при равных вероятностях передаваемых сообщениях P(b0) = P(b
исследований некогерентного приема
Для закрепления знаний, полученных при изучении разделов 6.6 и 6.7, целесообразно выполнить лабораторные работы № 16 «Исследование некогерентных демодуляторов» (рис. 6.40, 6.41) и
Общая задача изучения прохождения случайных сигналов через нелинейные
цепи состоит в нахождении статистических характеристик выходного сигнала по известным данным цепи и статистическим характеристикам сигнала. Эту задачу следует разбить на ряд отдельных задач по признакам, относящимся к характеристикам входного сигнала, свойствам цепи и исходным характеристикам выходного сигнала.
Нелинейные цепи представляют собой соотношение нелинейных элементов с однозначной вольт-амперной характеристикой и определяются как безынерционные.
По искомым статистическим характеристикам выходного сигнала следует различать задачи, с помощью которых должен быть найден закон распределения мгновенных значений или огибающей, и задачи, когда достаточно определить первые моменты этих законов.
Анализ исследований и публикаций. В зависимости от способов обработки сигналов от различных источников возникает необходимость проводить такие математические действия над ними как, например, деление, умножение и др. Такие математические действия над сигналами технически могут быть реализованы с помощью нелинейных безынерционных устройств. Вследствие этого задачи изучения прохождения случайных сигналов через нелинейные цепи, с помощью математических действий, далеко не всегда могут быть доведены до решения в приемлемой форме.
В общем виде принципиальное решение задачи о нелинейных безынерционных преобразованиях случайных процессов производится известным свойством инвариантности дифференциала вероятности. Однако применение этого свойства к практически интересным нелинейным преобразованиям вызывает большие трудности. Поэтому ввиду сложности вычисления плотности вероятностей часто ограничиваются нахождением более простых не менее полных статистических характеристик выходного сигнала.
Постановка задачи. Операция деления двух случайных сигналов может быть отнесена к задаче синтеза нелинейной цепи по заданному преобразованию входного сигнала, котораявключает установление вида характеристики цепи, осуществляющей данное преобразование, а затем реализация полученной характеристики. При двух входных сигналах, представляющих собой случайные процессы, например, операция умножения выполняется с помощью нелинейной детерминированной безынерционной системы, которая представлена на рис. 1. Она состоит из двух логарифматоров 1, 2 (устройства с логарифмической амплитудной характеристикой), сумматора и экспонатора 3, устройства с экспоненциальной амплитудной характеристикой. Такой подход к решению задачи основан на том, что нелинейное безынерционное преобразование случайного процесса не вносит дополнительных временных связей. То есть, если процесс до безынерционного преобразования характеризировался n-мерным распределением, то и процесс после него будет характеризироваться распределением n-го порядка.
Известно, что закон распределения вероятностей суммы двух случайных процессов с нормальными законами распределения также является нормальным. Поэтому можно считать, что сигнал на входе экспонатора имеет нормальный закон распределения плотностей вероятностей.
Полученный результат имеет столь простое решение, как исключение и имеет место только при экспоненциальном преобразовании нормального стационарного процесса.
Однако такой результат имеет сравнительно общее значение, так как часто характеристики нелинейных элементов можно аппроксимировать суммой, содержащей два – три экспоненциальных слагаемых; при таком подходе общая корреляционная функция выходного процесса будет равна сумме корреляционных функций, вычисленных для каждого экспоненциального слагаемого в отдельности.
Задачи изучения прохождения случайных сигналов через нелинейные безынерционные цепи, которые выполняют над сигналами функции математических действий, например деление или умножение двух сигналов, не всегда могут быть доведены до решения в прямой форме. Однако получение результата решения задачи определения статистических характеристик в этих случаях можно осуществить путем решения задачи синтеза нелинейных цепей по заданному преобразованию входных сигналов, в которую входит установление вида характеристик отдельных элементов цепи, осуществляющих данное преобразование сигнала. При таком подходе задача определения результирующего сигнала будет определяться на выходе каждого элемента, выполняющего заданную ему функцию.
В радиоэлектронике приходится иметь дело с различными сигналами и разными цепями, при прохождении сигналов по таким цепям возникают переходные процессы, в результате которых форма передаваемого сигнала может измениться. Большинство устройств содержит в себе совокупность линейных и нелинейных элементов, что усложняет строгий анализ прохождения сигналов. Однако имеется достаточно широкий круг задач, которые успешно можно решать линейными методами, даже если в цепи имеется нелинейный элемент. Это относится к устройствам, в которых сигналы настолько малы по амплитуде, что нелинейностью характеристик нелинейного элемента можно пренебречь, так что его также можно считать линейным.
Большинство методов анализа прохождения сигналов через линейную цепь основано на основополагающем принципе - принципе суперпозиции, при котором реакция цепи на сложное воздействие может быть определена как сумма реакций на более простые сигналы, на которые можно разложить сложное воздействие. Реакция линейной цепи на известное простое (тестовое) воздействие называется системной (т.е. зависящей только от цепи) передаточной характеристикой цепи. Сама передаточная характеристика может быть определена:
а) классическим методом, при котором цепь описывается системой линейных дифференциальных уравнений, в правой части которой записано тестовое воздействие; этим методом чаще всего определяются реакции на единичную ступенчатую функцию или дельта-функцию, так называемые переходная и импульсная характеристики цепи, являющиеся передаточными характеристиками цепи для метода наложения (или метода интеграла Дюамеля); классическим методом при достаточно несложных цепях и воздействиях может быть сразу решена задача анализа, т.е. нахождения реакции цепи на входной сигнал;
б) комплексным методом, если в качестве тестового сигнала используется гармоническое колебание; в этом случае определяется такая передаточная характеристика цепи как частотная характеристика, являющаяся основой частотного метода анализа;
в) операторным методом, при котором используется аппарат преобразования Лапласа, в результате чего определяется операторная передаточная характеристика цепи, так как операторный метод использует сигнал вида e pt , где p =s +jw , то при замене в операторной передаточной характеристике p на jw получается частотная передаточная характеристика, кроме того, как будет показано ниже, оригинал от операторной передаточной характеристики является импульсной характеристикой цепи.
Поэтому можно классифицировать методы анализа прохождения сложных сигналов на
а) частотные , применяющиеся главным образом для анализа установившихся процессов;
б) временные , использующие переходную или импульсную характеристику цепи, применяющиеся в случаях быстро меняющихся (импульсных) сигналов, когда важными являются переходные процессы в цепи.
При анализе прохождения сигналов через узкополосные избирательные цепи эти же методы можно использовать не для мгновенных значений сигнала, а для медленноменяющейся огибающей.
Рассмотрим линейную инерционную систему с известной передаточной функцией или импульсной реакцией . Пусть на вход такой системы поступает стационарный случайный процесс с заданными характеристиками: плотностью вероятности , корреляционной функцией или энергетическим спектром . Определим характеристики процесса на выходе системы: и
Наиболее просто можно найти энергетический спектр процесса на выходе системы. Действительно, отдельные реализации процесса на входе являются детерминированными функциями, и к ним применим аппарат Фурье. Пусть
усечённая реализация длительности Т случайного процесса на входе, а
Её спектральная плотность. Спектральная плотность реализации на выходе линейной системы будет равна
Энергетический спектр процесса на выходе согласно (1.3) будет определяться выражением
т.е. будет равен энергетическому спектру процесса на входе, умноженному на квадрат амплитудно-частотной характеристики системы, и не будет зависеть от фазочастотной характеристики.
Корреляционная функция процесса на выходе линейной системы может быть определена как преобразование Фурье от энергетического спектра:
Следовательно, при воздействии случайного стационарного процесса на Линейную систему на выходе получается также стационарный случайный процесс с энергетическим спектром и корреляционной функцией, определяемыми выражениями (2.3) и (2.4). Мощность процесса на выходе системы будет равна
В качестве первого примера рассмотрим прохождение белого шума со спектральной плотностью через идеальный фильтр нижних частот, для которого
Согласно (2.3) энергетический спектр процесса на выходе будет иметь равномерную в полосе частот спектральную плотность , а корреляционная функция будет определяться выражением
Мощность случайного процесса на выходе идеального фильтра нижних частот будет равна
В качестве второго примера рассмотрим прохождение белого шума через идеальный полосовой фильтр, амплитудно-частотная характеристика которого для положительных частот (рис. 1.6) определяется выражением:
Корреляционную функцию определим с помощью косинус-преобразования Фурье:
График корреляционной функции показан на рис. 1.7
Рассмотренные примеры показательны с той точки зрения, что они подтверждают установленную в § 3.3 связь между корреляционными функциями низкочастотного и узкополосного высокочастотного процессов с одинаковой формой энергетического спектра. Мощность процесса на выходе идеального полосового фильтра будет равна
Закон распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной инерционной системы отличается от закона распределения на входе, и определение его является весьма сложной задачей, за исключением двух частных случаев, на которых здесь остановимся.
Если случайный процесс воздействует на узкополосную линейную систему, полоса пропускания которой много меньше его ширины спектра, то на выходе системы имеет место явление нормализации закона распределения. Это явление заключается в том, что закон распределения на выходе узкополосной системы стремится к нормальному независимо от того, какое распределение имеет широкополосный случайный процесс на входе. Физически это можно объяснить следующим образом.
Процесс на выходе инерционной системы в некоторый момент времени представляет собой суперпозицию отдельных откликов системы на хаотические воздействия входного процесса в различные моменты вре мени. Чем уже полоса пропускания системы и шире спектр входного процесса, тем большим числом элементарных откликов образуется выходной процесс. Согласно же центральной предельной теореме теории вероятностей закон распределения процесса, представляющего собой сумму большого числа элементарных откликов, будет стремиться к нормальному.
Из приведенных рассуждений следует второй частный, но весьма важный случай. Если процесс на входе линейной системы имеет нормальное (гауссово) распределение, то он остается нормальным и на выходе системы. В этом случае изменяются только корреляционная функция и энергетический спектр процесса.
Для определения устойчивости годограф строить необязательно. Для этого достаточно проанализировать АЧХ и ФЧХ. Следовательно, третья альтернативная формулировка критерия Найквиста: если АЧХ больше единице на частотах, при которых ФЧХ равна 0 или где n € z , то система с обратной связью не устойчива, в противном случае устойчива (Рисунок 3.10).
 |
Рис. 3.9 АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы с обратной связью
4 Прохождение случайных сигналов через линейные стационарные цепи
Основными характеристиками случайного процесса является плотность вероятности мгновенных значений сигнала, корреляционная функция и спектральная плотность мощности. Отыскание плотности вероятности мгновенных значений сигнала на выходе линейной цепи по известной плотности вероятности на входе цепи и известным характеристикам цепи представляет весьма сложную задачу. Однако, если входной сигнал является гауссовым, то выходной сигнал так же всегда будет гауссовым. Это означает, что решение задачи упрощается и сводится к нахождению параметров выходного сигнала (математического ожидания и дисперсии).
Задача нахождения корреляционной функции и спектральной плотности мощности выходного сигнала значительно проще.
Обратные преобразования Фурье от спектральной плотности мощности согласно теории Винера – Хинчина:
– корреляционная функция сигнала
Обратные преобразования Фурье от коэффициента передачи по мощности:
– корреляционная функция импульсной
характеристики сигнала
Так как произведение спектров двух сигналов равно спектру свёртки этих сигналов, то можно записать:
То есть корреляционная функция сигнала на выходе линейной цепи равна свёртке корреляционной функции сигнала на входе цепи и корреляционной функции импульсной характеристики цепи.
При анализе различных систем в качестве помехи часто выступает белый шум, имеющий спектральную плотность мощности постоянную во всём диапазоне частот:
и
корреляционная функция 
Следовательно, корреляционная функция выходного сигнала равна автокорреляционной функции импульсной характеристики с коэффициентом .
5 Прохождение сигналов через нелинейные цепи
Линейные стационарные цепи не изменяют спектральный состав сигнала. Основные радиотехнические преобразования, связанные с изменением спектрального состава сигнала, осуществляется либо с помощью нелинейных цепей, либо линейных цепей с переменными параметрами.
Исследование нелинейных цепей представляет собой сложную задачу, состоящую в решении нелинейных дифференциальных уравнений. Анализ нелинейных цепей упрощается, если нелинейный элемент является безынерционным, т. е. реакция на изменение входного воздействия происходит мгновенно. Строго говоря, безынерционных элементов (БНЭ) нет, но в случае, когда время изменения входного сигнала значительно превышает время установления процесса в нелинейном элементе, элемент может считаться безынерционным. В радиотехнике в качестве нелинейных элементов чаще всего используют полупроводниковые приборы (диоды, транзисторы). Для описания таких приборов используют ВАХ, которые связывают между собой напряжения, приложенные к приборам и токи, протекающие через приборы.
