В реальных каналах связи наряду с флуктуационными гаусовскими помехами типа белого шума действуют сосредоточенные по времени (импульсные) помехи и сосредоточенные по спектру помехи.

7.4.1. Общая характеристика сосредоточенных по спектру и импульсных помех

Во многих случаях помеха состоит из отдельных импульсов, длительность которых существенно меньше длительности элемента сигнала , а спектр помехи значительно шире спектра сигнала. Такие помехи называются импульсными (рис. 7.18).

К сосредоточенным по времени (импульсным) помехам относятся помехи в виде одиночных коротких импульсов различной интенсивности и длительности, следующих через случайные, достаточно большие промежутки времени. Причинами импульсных помех являются грозовые разряды, радиостанции, работающие в импульсном режиме, линии электропередачи и другие энергоустановки, системы энергообеспечения транспорта и др.

Кроме импульсных помех, могут существовать протяженные по времени помехи, спектр которых занимает такую же полосу частот, как и сигнал, или даже более узкую. Эти помехи называют сосредоточенными по спектру (рис. 7.19).

К сосредоточенным по спектру помехам относятся помехи посторонних радиостанций, генераторов высокой частоты различного назначения (медицинские, промышленные, бытовые и др.), переходные помехи от соседних каналов многоканальных систем. Обычно это гармонические или модулированные колебания с шириной спектра меньшей или соизмеримой с шириной спектра полезного сигнала. В диапазоне декаметровых волн такие колебания являются основным видом помех.

Воздействие сосредоточенной по спектру помехи

Поскольку далеко не всякий элемент сигнала принимается в присутствии сосредоточенной помехи, то вероятность ошибки можно выразить произведением:

где – вероятность того, что на вход решающей схемы поступила сосредоточенная помеха, а – условная вероятность того, что произойдет ошибка символа при воздействии сосредоточенной помехи, которая зависит от мощности сигнала, мощности сосредоточенной помехи, вида сигнала, частоты сигнала, частоты помехи и т.д. Для различных систем связи определены аналитические зависимости условной вероятности ошибок от названных факторов, эти зависимости можно найти в специальной литературе .

Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что в любых системах связи существует некоторое отношение , называемое порогом или коэффициентом помехоустойчивости, такое, что при условная вероятность ошибки . Если же отношение выше , то условная вероятность ошибки может быть велика. Экспериментальные исследования реальных приемников ЧМ показывают, что при ошибки не возникают, а при вероятность ошибки практически равна . Коэффициент различен для разных систем связи. Так, для когерентной системы с фазовой манипуляцией , для системы с амплитудной манипуляцией . Коэффициент может быть и значительно выше единицы, если используются широкополосные сигналы, занимающие полосу частот .

Воздействие импульсной помехи

Для вероятности ошибки, вызываемой импульсной помехой, также справедливо выражение (7.9), где под следует теперь понимать вероятность того, что за время существования элемента сигнала на вход решающей схемы поступил импульс помехи, а под – условную вероятность ошибочного приема символа, при условии прихода импульса помехи. Воздействие импульсной помехи на прием дискретных сигналов тоже носит пороговый характер. Если интенсивность импульсной помехи (на входе решающей схемы) меньше некоторой величины, то она не вызывает ошибок, т. е. . При увеличении интенсивности сверх этой величины условная вероятность ошибок быстро возрастает.

Глава 13. OBPAEOTKA СИГНАЛОВ

В ПРИЕМНИКЕ

13.1. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ ПРИЕМНИКА

Условия приема . Исходя из особенностей передачи электрических сигналов по линиям электросвязи (см. ч. 3), можно считать, что в подавляющем большинстве случаев наблюдаются следующие условия приема:

1. Принятый сигнал из-за значительного ослабления линий связи (как проводных, так и радио) имеет весьма низкий уровень: 1 ... 10 мкВ в магистральной радиосвязи на метровых волнах, 10-" ...10-"4 Вт - в спутниковых каналах, - 50... - 55 дБо - ;

в канале тональной частоты кабельных линий и т. д.

2. На входе приемника, кроме полезного модулированного сигнала, всегда присутствуют помехи. Это не только внешние и внутренние шумы различного происхождения, но и сигналы посторонних -радиосредств в радиосвязи, других каналов многоканальной электросвязи, которые для заданного сигнала являются помехами. Суммарная мощность всех помех может в сотни и тысячи раз превосходить мощность полезного сигнала. Так, близко расположенный передатчик может наводить в антенне ЭДС до 0,1...05 В.

3. При организации приема всегда имеются предварительные (априорные) сведения о передаваемом сигнале. К ним относятся сведения о несущей частоте, виде модуляции, амплитуде, длительности, коде и т. д. Это весьма важное обстоятельство, так как

абсолютно неизвестный сигнал нельзя принять (как различить, чем сигнал отличается от помехи?).

Известные параметры сигнала используются в приемнике для лучшего отделения сигнала от помехи. Чем больше мы знаем о сигнале, тем совершенней могут быть методы приема. Однако сигнал, о котором заранее все знаем, никакой информации не несет.

Задача приема . В зависимости от вида и назначения системы связи при приеме сигналов возникают следующие основные задачи: 1) обнаружение сигналов, 2) различение сигналов и 3) восстановление сигналов.

При обнаружении сигналов задача сводится к получению ответа на вопрос, имеется на входе приемника сигнал или нет, точнее, имеются ли на входе сигнал плюс помеха или толькопомеха.

Это типичная задача радиолокации, она также имеет место в системах с пассивной паузой, когда при передаче элемента кодовой комбинации 0 сигнал отсутствует (пауза).

При передаче двух и более дискретных сигналов возникает задача не обнаружения, а различения сигналов . Здесь необходимо дать ответ на вопрос: какой из сигналов s>, или s 1 , или s 2 ,....., или s m имеется на входе? Ответ на этот вопрос определяется уже не свойствами каждого сигнала в отдельности, а их различием. Основное значение имеет степень отличия одного сигнала от другого. Естественно стремиться к тому, чтобы это отличие было значительным и устойчивым к воздействию помех. Этими соображениями руководствуются при выборе типа сигнала и вида модуляции.

Случай обнаружения можно рассматривать как частный случай различия двух сигналов, когда один из них тождественно равен нулю.

Задача восстановления первичного сигнала существенно отличается от задач обнаружения и различения сигналов. Она состоит в том, чтобы получить принятый первичный сигнал u пр (t),наименее отличающийся от переданного u(t), т. е. восстановить

форму переданного первичного сигнала. При этом переданный первичный сигнал и(t) заранее неизвестен, известно лишь, к какому классу он принадлежит (речевой, вещательный, телевизионный и др.) и некоторые его параметры. Задача восстановления

возникает и решается при передаче непрерывных (аналоговых) первичных сигналов и является более трудной, так как обычно от приемника требуется высокая точность восстановления.

Главные функции приемника . Условия приема требуют выполнения в приемнике следующих основных операций над принятым совместно с помехами сигналом: обработка, усиление, демодуляция. Эти главные функции приемника взаимосвязаны ме-

(жду собой и выполняются не обязательно в указанной выше последовательности.

Обработка принятого сигнала , под которой понимают процесс выделения сигнала из его смеси с помехами, является одной из важнейших функций приемника. Основная цель обработки - увеличение отношения сигнала к помехе. Только обеспечив превышение сигнала над помехой, можно его усиливать и демодулировать. Обработка сигналов обычно не сосредоточена в какой-то части приемника, а является неотрывной функцией всех его блоков и, как правило, сводится к тем или иным методам фильтрации.

Извлечение из принимаемого сигнала модулирующего первичного сигнала происходит в демодуляторе приемника . Однако неследует думать, что демодуляция всего лишь операция, обратнаямодуляции, выполняемая над пришедшим из канала модулированным сигналом. Эта простейшая обратная операция выделенияинформационного параметра переносчика осуществляется детектором.

Задача демодулятора является более широкой. В результате искажений и

воздействия помех пришедший к детектору сигнал может существенно отличаться от переданного. Для лучшего воспроизведения первичного сигнала принятый сигнал не

только детектируется, а также подвергается анализу с учетом всех априорных сведений о переданном сигнале, поэтому демодулятор, помимо детектора, содержит цепи последетекторной обработки.

Додетекторная обработка обычно осуществляется резонансными усилителями в радиоприемных устройствах различного на- значения, полосовыми фильтрами в аппаратуре многоканальной электросвязи, обеспечивающими необходимую частотную селекцию.

При приеме непрерывных первичных сигналов функцию последетекторной обработки выполняет фильтр нижних частот, дающий улучшение качества подачи детектированного сигнала к воспроизводящему устройству.

При приеме дискретных первичных сигналов в функцию приемника не входит восстановление формы переданного сигнала, поскольку она известна. В демодуляторе в результате анализа принятого сигнала должно быть принято решение, какой из стандарт

ных дискретных сигналов передавался. Это решение поступает к декодеру. Та часть демодулятора, которая осуществляет анализ параметров приходящих сигналов и принимает решение о переданном сигнале, называется решающим устройством (или решающей схемой). Для двоичных сигналов это обычно сравнивающее устройство, подключаемое к целям последетекторной обработки. Цель обработки состоит в таком преобразовании сигналов, чтобы они имели максимальное отличие от помех и друг от друга. Тогда уменьшается вероятность ошибочных решений.

Обобщенная структурная схема демодулятора, осуществляющего вышеприведенные операции над сигналами, приведена на рис. 13.1. В некоторых случаях при приеме дискретных сигналов детектор может отсутствовать. В этом случае в демодуляторе про водятся обработка и анализ дискретно-модулированных сигналов и по их различию принимается решение.

Рис. 13.1 Структурная схема обработки сигналов в демодуляторе: а – непрерывных сигналов; б – дискретных сигналов

Усиление сигналов до величин, при которых могут нормально работать детектор, решающее или воспроизводящее устройства, производится совместно с их обработкой фильтрацией. В настоящее время благодаря освоению транзисторов, микросхем, СВЧ и квантовых приборов особых трудностей в получении требуемого коэффициента усиления не возникает. Главное внимание при проектировании усилителей обращается на линейность АЧХ и ФЧХ в полосе частот сигнала, шумовые свойства и распределение усиления в канале связи.

Когерентный и некогерентный приемы . Любой модулированный сигнал при гармонической несущей характеризуется начальной фазой, которую можно учитывать или не учитывать при приеме. Если прием производится с учетом начальной фазы, то он называется когерентным; прием без учета фазы- некогерентный. Обычно сведения о начальной фазе принимаемого сигнала используются при детектировании.

Детектирование сигнала с учетом начальной фазы (когерентный прием) обеспечивает увеличение отношения сигнал-помеха на выходе детектора в 2 раза по сравнению с некогерентным приемом. Это объясняется тем, что на выходе когерентного детектора напряжение помехи пропорционально косинусу разности фаз сигнала и помехи ,. Составляющие помехи с ослабляются по косинусоидальному закону, а помехи с вообще не оказывают никакого мешающего действия на сигнал, поскольку cos() =0.

Цифро вая обработка . Развитие микроэлектроники и ЭВМ позволяет перейти от аналоговой к цифровой обработке сиг- налов, в первую очередь последетекторной. Для этого непрерыв- ный сигнал одним из способов преобразуется в цифровой (см. ф 16.2). Затем с помощью микропроцессора или специализирован- ной ЭВМ проводятся математические операции над числами. Это и есть цифровая обработка. При этом можно обеспечитывысокую ее точность и быструю адаптацию к изменяющимся внешним ус- ловиям (достаточно сменить программу действий).

Цифровая обработка.не только позволяет осуществлять традиционные операции обработки (фильтрация, интегрирование, частотное и временное разделение сигналов и др.), но и выполнять сложные, ранее трудно реализуемые методы разделения сигнала и помех. За ней будущее техники электросвязи.

13.2. ФИЛЬТРАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ

Оптимальный фильтр . Идея частотной фильтрации основана на отличии спектров полезного сигнала и помехи. При приеме непрерывных сигналов задачей приемника является восстановление формы переданного первичного сигнала. От фильтров обработки требуется не только подавление помехи (узкая полоса пропускания), но и неискаженная передача сигнала (широкая полоса пропускания). Какие же характеристики должен иметь фильтр с такими противоречивыми требованиями к нему?

Естественным является стремление разработчиков реализовать наилучший (оптимальный) фильтр. Общей оценкой качества передачи непрерывных сигналов является среднеквадратическая разность (ошибка) (1,5), поэтому оптимальным будет фильтр, минимизирующий ее.

Задача отыскания оптимального фильтра непрерывных сигналов по критерию минимума в начале 40-х годов была решена независимо выдающимися математиками нашего времени акад. А. Н. Колмогоровым и американским ученым Н.Винером. Найденный ими фильтр называют оптимальным линейным фильтром Колмогорова - Винера . Параметры фильтра определяются спектральными характеристиками сигнала и помех.

Передаточная амплитудно-частотная характеристика фильтра

(13.1)

где G s (), G n () - спектральные плотности мощности сигнала и

помехи соответственно. Фазочастотная характеристика при любых, сигналах и помехах должна быть линейной, поскольку только линейная ФЧХ обеспечивает отсутствие линейных искажений

Анализ АЧХ фильтра Колмогорова- Винер а.

В общем случае из (13.1) следует, что когда спектры сигнала и помехи полностью или частично перекрываются, коэффициент передачи оптимального фильтра уменьшается с увеличением спектра помехи. Тем самым в оптимальном фильтре создаются условия,

при которых подавление спектра помехи сопровождается возможно меньшим подавлением (искажением) спектра сигнала.

На практике в системах электросвязи при фильтрации непрерывных сигналов наиболее часто встречаются следующие случаи:

1. Спектры сигнала и помехи имеют примерно одинаковую интенсивность, но не перекрываются, т. е. для тех частот а, где спектральная плотность мощности сигнала G s () 0, помехи отсутствуют: G n () =0 и наоборот (рис. 13.2,a). Это типичный случай многоканальной электросвязи с частотным разделением каналов, радиосвязи, где помехами являются сигналы других каналов или посторонних радиостанций. Из (13.1) получим

В этом случае оптимальным оказывается идеальный полосовой (или низкочастотный) фильтр , полоса пропускания которогосовпадает с полосой, занимаемой сигналом. Физически этот результатлегко объясним: фильтр выделяет спектр сигнала и полностью подавляет спектр помехи. На выходе такого фильтра оказывается сигнал, полностью «очищенный» от помехи, что и тре-

Рис. 13.2 Амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра: а – спектры сигнала помехи не перекрываются; б – спектры сигнала и помехи перекрываются

буется для получения наилучшего качества восстановления сигнала.

2. Спектры сигнала и помехи перекрываются, но интенсивность (спектральная плотность мощности) помехи намного меньше сигнала, т. е. Такими помехами являются внутренние и внешние помехи типа белого шума в правильно спроектированных каналах связи, когда отношение сигнал-помеха много больше единицы. Тогда в знаменателе уравнения (13.1) значением G n () можно пренебречь и снова получить для Н опт () соотношение (13.2): оптимальным оказывается идеальный фильтр, описанный в п. 1.

3. Спектры сигнала и помехи перекрываются, но помеха является узкополосной по сравнению с сигналом, а ее спектральная плотность мощности намного превышает спектральную плотность мощности сигнала: Это случай воздействия на

сигнал мощных сосредоточенных помех (фон переменного тока 50 Гц, контрольные частоты в многоканальной электросвязи и др.). Из (13.1) следует, что

т. е. в таких случаях в тракт приемника, кроме идеального полосового фильтра, включается идеальный заграждающий фильтр, обеспечивающий подавление помехи в ее полосе (рис. 13.2,б).

Частотные фильтры систем связи . Из теории оптимальной фильтрации следует, что в большинстве случаев для наилучшего разделения сигнала и помехи требуются идеальные полосовые, низкочастотные или режекторные фильтры. Но из теории цепей известно, что идеальные фильтры практически нереализуемы, поэтому в системах передачи непрерывных сигналов используют фильтры с характеристиками, в той или иной степени приближающимися к идеальным. Требования к АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания обычно задаются ГОСТ на аппаратуру.

Находят применение следующие типы фильтров:

Баттерворта с максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой в полосе пропускания;

Чебышева с равновеликими пульсациями амплитуды в полосе пропускания и монотонным затуханием в полосе задерживания либо с равновеликими пульсациями в полосе задерживания и максимально плоской характеристикой в полосе пропускания;

Гаусса (Бесселя) с линейной фазо-частотной характеристикой и некоторые другие.

Традиционно в аппаратуре связи использовались и продолжают использоваться LC-фильтры. Эти фильтры достаточно дешевы, легко перестраиваются по частоте, обладают малыми собственными потерями и, соответственно, малыми собственными шумами. Это позволяет применять их во входных цепях малошумящих усилителей.

В проводных системах связи фильтры обычно реализуются в виде одного фильтра высокого порядка (так называемые полиномиальные фильтры сосредоточенной избирательности). В усилительных трактах радиоприемных устройств с невысокими требованиями к избирательности применяется так называемая распределенная избирательность, когда одноконтурные или двухконтурные фильтры помещаются в, разных каскадах. Параметры таких фильтров хуже полиномиальных, но при заданной добротности звеньев каскадная реализация позволяет получить более узкую полосу пропускания.

Кроме LC-фильтров, в настоящее время на низких и средних частотах (до единиц мегагерц) эффективно используются активные RC-фильтры, на более высоких частотах - отрезки длинных линий (см. ф 8.8).

Большие потенциальные возможности по фильтрации на частотах до десятков мегагерц открываются с применением цифровых фильтров и фильтров на основе пьезотроник и (кварцевые, пьезокерамические, электромеханические пьезофильтры и др.).

Они по некоторым параметрам, в частности по приближению АЧХ к прямоугольной, существенно превышают LC-фильтры.В конкретной аппаратуре применение тех или иных фильтроврашается на основе технико-экономического анализа.

13.3. ОБРАБОТКА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

Согласованная фильтрация . Одним из основных методов обработки дискретных сигналов является фильтрация . Цель фильтрации такая же, как и при приеме непрерывных сигналов, но требования к фильтру существенно другие. Конечно, фильтр должен подавлять помеху и чем больше, тем лучше, однако при этом допускается искажение формы сигнала . Напомним, что при приеме дискретных сигналов основной задачей приемника является обнаружение или различение сигналов. На фоне помех сигнал легче обнаружить, если он имеет импульсный характер и по амплитуде превышает помехи (рис. 13.3). Качество обнаружения сигналов будет тем лучше, чем больше отношение пиковой мощности сигнала к дисперсии (средней мощности) помехи.

Фильтр, который обеспечивает максимальное отношение сигнал-помеха на выходе, получил название оптимального согласованного фильтра. Характеристики согласованного фильтра для заданного сигнала s(t) при воздействии на него помехи типа белого шума со спектральной плотностью мощности N 0 следующие: комплексная передаточная функция

Импульсный отклик

(13.4)

отношение сигнал-помеха на выходе

(13.5)

где F" () = - функция, комплексно сопряженная со спектром сигнала; с - произвольный коэффициент пропорциональности, t 0 - момент, при котором амплитуда сигнала на выходе фильтра принимает максимальное значение (задержка в фильтре); W s - энергия сигнала.

Из (13.3) следует, что комплексная передаточная функция согласованного фильтра является величиной, комплексно сопряженной со спектром сигнала (с точностью до постоянной задержки, определяемой множителем ). Если выражение (13.3) переписать в виде двух равенств

то из них видно, что АЧХ согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром сигнала, а ФЧХ - с фазовым спектром сигнала, но имеет противоположный знак. Таким образом, передаточная функция фильтра полностью определяется спектром сигнала, «согласована» с ним. Отсюда и название - согласованный фильтр.

Фаза сигнала на выходе согласованного фильтра

При t=to (t 0) =0, т. е. в момент t 0 все гармонические составля-

Рис. 13.3 Передаточная АЧХ фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом: а – нормированный амплитудный спектр прямоугольного импульса; б – АЧХ согласованного фильтра

ющие сигнала имеют одинаковую фазу и складываются арифметически, образуя пик сигнала на выходе фильтра. Спектральные составляющие помехи на входе фильтра имеют случайную фазу, и случайный характер фаз сохранится после прохождения помехи через согласованный фильтр, поэтому результат суммирования спектральных составляющих помехи на выходе фильтра будет случайным и вероятность образования ими большого

выброса в момент t=t 0 мала. Этим физически и объясняется тот факт, что согласованный фильтр максимизирует отношение сигнал-помеха на выходе.

Пример 13.1 . Определить передаточную АЧХ фильтра, согласованного с прямоугольным видеоимпульсом длительностью t и.

Для прямоугольного видеоимпульса и в (t) амплитудный F в () спектр был

определен в примере 2.4 и построен на рис. 2.11. Принимая в (13.3) коэффициент пропорциональности c=1/F в (0), получаем, что в согласованном фильтре АЧХ Н СФ () совпадает с нормированным амплитудным спектром сигнала. Для физически существующих положительных частот эта характеристика изображена на рис. 13.4.

Отношение сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра, определяемое равенством (13.5), является максимально достижимым для линейных фильтров и не зависит от формы принимаемого сигнала, а определяется его энергией. Из этого следует, что согласованным фильтром можно выделять сигналы, средняя мощность которых намного меньше средней мощности шума. Численные подтверждения дает нижеприведенный пример.

Рис.13.4 К обнаружению импульсного сигнала

Пример 13.2. Определить отношение сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра для сложного сигнала длительностью t s =1 мс, шириной спектра

1 МГц, если отношение сигнал-шум на входе фильтра вх =Р s /Р n =0,01.

Для вычисления в sх по (13.5) необходимо знать энергию сигнала W s и

спектральную плотность мощности помехи N 0 . Из (2.26) W s =Р s t s . При определении отношения сигнал-помеха мощность помехи обычно измеряется в полосе частот сигнала и спектральная плотность мощности N 0 = (см. пример 2.7). Зная W s и N 0 , определяем

Примечание. При отношении сигнал-помеха р вых =20 прием считается уверенным.

Сигнал на выходе согласованного фильтра в предположении, что в отсутствие помех на вход фильтра подается сигнал s вх (t),по отношению к которому данный фильтр является согласованным, можно найти, например, используя интеграл Дюамеля

(13.7)

Сравнив полученную формулу с (2.21), видим, что выходной сигнал с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией автокорреляции входного сигнала, сдвинутого в сторону запаздывания на время to, т. е.

Отметим сходства и отличия оптимального фильтра Колмогорова - Винера и оптимального согласованного фильтра.

1. Оба фильтра предназначены для выделения сигнала и подавления помех, оба улучшают отношение сигнал-помеха на выходе, но критерии их работы существенно, различны: фильтр Колмогорова - Винера минимизирует среднеквадратическую разность, согласованный фильтр максимизирует отношение сигнал-помеха.

2. Искажения сигнала на выходе фильтра Колмогорова - Винера минимальны, согласованный фильтр так искажает форму сигнала, чтобы в какой-то момент 4 получить его пик сигнала. Можно сказать, что согласованный фильтр максимально искажает

форму сигнала, но целенаправленно, чтобы максимально выделить его на фоне помех.

3. Согласованный фильтр может быть реализован для детермированных конечных сигналов известной формы, фильтр Колмогорова - Винера - для случайных сигналов с известной спектральной плотностью мощности.

Квазиоптимальные фильтры . Как правило, практически реализовать согласованный фильтр затруднительно, поэтому часто для обработки простых дискретных сигналов применяют фильтры более простой конструкции, но обеспечивающие отношение сигнал-помеха на выходе, близкое к максимально достижимому при согласованной фильтрации. Эти фильтры имеют заданную форму АЧХ, а для максимизации отношения сигнала к

помехе на выходе выбирается оптимальной полоса пропускания фильтра. Такие фильтры принято называть квазиоптимальными. Теорию квазиоптимальной фильтрации разработал чл.-корр. АН СССР В. И. Сифоров.

Как показывает анализ, полоса пропускания квазиоптимальных фильтров зависит от формы сигнала и вида амплитудно-частотной характеристики. Так, для прямоугольного радиоимпульса длительностью t и, оптимальная эффективная шумовая полоса пропускания Пэфф будет равна: для идеального полосового фильтра-1,37/t и; для фильтра в виде одиночного колебательного контура - 0,4/t и; для колоколообразного фильтра - 0,72/t и. Напомним, что эффективная шумовая полоса фильтра (см. $ 2.7) вычисляется по методу равновеликого прямоугольника для квадрата модуля передаточной функции фильтра.

Наличие оптимальной полосы фильтра физически объясняется следующим: с уменьшением полосы пропускания фильтра уменьшается мощность помех на выходе, но при этом будет уменьшаться и сигнал, не достигая своего установившегося значения в силу замедления переходных процессов в фильтре. При увеличении полосы пропускания, мощность шума увеличивается пропорционально полосе, а сигнал, достигший значения, близкого к установившемуся, увеличивается незначительно.

Отношение сигнал-помеха на выходе квазиоптимальных фильтров при простых сигналах,(одиночные радио- или видеоимпульсы) уменьшается по сравнению с соответствующим согласованным фильтром на величину порядка 10 ... 20%. Необходимо отметить, что фильтры с плавной; АЧХ дают лучшие результаты, чем идеальные фильтры, поэтому при приеме дискретных сигналов не следует стремиться к применению фильтров с крутыми скатами (близкими к идеальным).

На выбор полосы пропускания квазиоптимальных фильтров накладывают ограничение также переходные (межсимвольные) помехи , которые возникают при приеме случайной последовательности дискретных сигналов. В момент принятия решения об i -м

сигнале на вход решающего устройства поступает остаточное напряжение от предыдущих сигналов, так как переходные процессы в квазиоптимальных, фильтрах сравнительно медленные. Это остаточное напряжение и образует межсимвольные помехи.

В согласованных фильтрах межсимвольные помехи отсутствуют, поскольку их импульсный отклик и, соответственно, реакция на сигнал имеют конечную длительность и переходные процессы к моменту принятия решения о следующем сигнале оканчиваются.

Многочисленные расчеты переходных процессов в различных квазиоптимальных фильтрах показывают, что у них при оптимальной полосе пропускания межсимвольные помехи недопустимо велики, поэтому приходится выбирать полосу пропускания больше оптимальной, вследствие чего отношение сигнал-помеха на выходе фильтра может существенно уменьшаться.

При приеме дискретных сигналов в виде прямоугольных импульсов основную фильтрацию часто проводят последетекторным фильтром, который называют манипуляционным. Его полоса пропускания выбирается равной 1,4/t и на уровне затухания б дБ, т. е. примерно в 4 раза шире оптимальной полосы квазиоптимального фильтра для одиночного прямоугольного видеоимпульса.

Стробирование. Стробирование сигналов является наиболее простым методом обработки. Широко применяется.на практике, и его часто называют приемом с однократным отсчетом.

При стробировании в определенный момент, на интервале длительности сигнала t s , отсчитывается текущее значение смеси сигнала и помехи, которое затем подается в решающее устройство. Так как.статистические характеристики помех мало зависят от

выбора момента регистрации, то момент стробирования (отсчета) необходимо выбирать в момент максимального значения сигнала и минимальных его искажений за счет, переходных процессов. Это обычно середина дискретного сигнала. Если стробированию предшествует согласованный фильтр, то отсчет в момент t 0 обеспечит наилучший (оптимальный) прием. При неоптимальной фильтрации до стробирования понижение помехоустойчивости значительно.

Интегральный прием . Стремление увеличить помехоустойчивость приема привело к идее принятия решения на основe не однократного, а многократного или непрерывного анализа

сигнала на интервале его длительности t s . Такой метод обработки называется интегральным и реализуется путем непрерывного интегрирования или дискретного суммирования отсчетов.,

Если на входе интегратора действует сигнал z(t) =s(t)+n(t),

то на его выходе получим величину

где первое слагаемое представляет собой сигнал, а второе - помеху на выходе интегратора. Превышение мощности сигнала над помехой на выходе интегратора

(13.8)

где - отношение сигнал-помеха и Эффективная ширина спектра помехи на входе интегратора соответственно. Интегрирование видео импульсов после детектора может быть выполнено простейшей коммутируемой RС-цепью (рис. 13.5) . Постоянную

времени этой цепи выбирают из соотношения RС 1,25t s чтобы напряжение на емкости в конце интервала интегрирования нахо-

Рис..13.5 Схема простейшего коммутируемого интегратора

дилось в пределах линейного участка переходной характеристики. В конце каждого дискретного сигнала при t=t s отсчитывается напряжение на выходе интегратора, а при

t=t s + емкость разряжается и тем самым подготавливается к приему следующего дискретного сигнала.

Межсимвольные помехи при интегральном приеме отсутствуют, а сравнивая (13.8) и (13.6), видим, что отношение сигнал-помеха на выходе интегратора в 2 раза хуже, чем при обработке дискретного сигнала согласованным фильтром.

Из перечисленных выше методов обработки дискретных сигналов в реальных системах передачи дискретных сообщений нельзя отдать предпочтение каким-то одному-двум. Все зависит от вида модуляции, требуемых качественных показателей, отношения сигнал-помеха на входе приемника и т. д. Но если требуется получить максимально высокую помехоустойчивость при неблагоприятных условиях приема (например, в сверхдальних космических линиях радиосвязи), то необходимо применять согласованную фильтрацию или методы, эквивалентные ей. При невысоких требованиях к качеству или при малых помехах на входе приемника можно ограничиться и более простыми в реализации методами обработки.

1. Вводные замечания

2. Модели сигналов и помех

Библиографический список

1. Вводные замечания

В процессе приема сигналов на вход приемного устройства поступает либо смесь сигнала и помехи, либо помеха. Оптимальное приемное устройство обнаружения на первичном этапе обработки должно наилучшим образом вынести решение о принятом сигнале, т.е. определить, присутствует или отсутствует сигнал, какой тип сигнала присутствует (на втором этапе обработки), оценить значение того или иного параметра (амплитуды, длительности, времени прихода, направление прихода и т.д.). Сформулированная задача может решаться при априорно неизвестных моделях сигналов и помех, при неизвестных (мешающих) параметрах или неизвестных распределениях сигналов и помех. Основная цель заключается в синтезе оптимальной структуры приемного устройства. Синтезированная структура чаще всего практически нереализуема, однако ее эффективность является потенциальной и дает верхнюю границу эффективности любых практически реализуемых структур.

Синтез оптимальных процедур обработки сигналов и помех может производиться с использованием различных методов оптимизации:

1. Использование корреляционной теории:

а) критерий максимума отношения сигнал/помеха;

б) критерий минимума среднеквадратической ошибки.

2. Использование теории информации для максимизации пропускной способности системы. Главное направление – построение наилучших методов кодирования.

Применение теории статистических решений.

Задача оптимизации может быть решена только при наличии критерия, который задается разработчиком системы.

Чтобы воспользоваться теорией статистических решений при синтезе оптимальных приемных устройств, необходимо иметь математические модели сигналов и помех. Эти модели должны включать описание формы сигнала (если она известна). Статистические характеристики и характер взаимодействия сигнала и помехи вплоть до n-мерных плотностей вероятностей.

Теория статистических решений имеет следующие составные части:

1) теорию проверки статистических гипотез:

а) двухальтернативные задачи обнаружения или распознавания сигналов;

б) многоальтернативные задачи при различении многих сигналов на фоне помех;

2) теорию оценки параметров, если эти параметры составляют счетное множество;

3) теорию оценки процесса, который необходимо выделить из входной смеси с минимальной ошибкой.

Постановка задачи синтеза оптимального приемного устройства и ее решение существенным образом зависят от объема априорных (доопытных) сведений о характеристиках сигналов и помех. По объему априорных данных различают задачи с полной априорной определенностью (детерминированный сигнал и помеха с полностью известными вероятностными характеристиками), с частичной априорной определенностью (имеются известные параметры сигнала и помехи) и с априорной неопределенностью (известны лишь некоторые сведения о классах сигналов и помех) . Следует заметить, что эффективность разработанных обнаружителей и измерителей параметров существенно зависит от объема априорной информации.

Следует заметить, что, если о сигналах и помехах ничего неизвестно (полностью отсутствует информация о них), то такая задача не может быть решена.

2. Модели сигналов и помех

Сигнал – это процесс, служащий для передачи информации или сообщения. Остальные процессы, воспринимаемые приемным устройством вместе с сигналом, являются помехами.

Сигналы классифицируются по объему априорных сведений:

а) детерминированные сигналы (неслучайные);

б) детерминированные по форме сигналы со случайными параметрами (квазислучайные);

в) псевдослучайные, шумоподобные сигналы (они близки по свойствам к случайным процессам, но генерируются детерминированным образом и при воспроизведении полностью повторяются);

г) случайные сигналы.

В зависимости от характера изменения во времени сигналы подразделяются на дискретные и непрерывные. Дискретные сигналы используются в цифровых устройствах, в радиолокации. Непрерывные (континуальные) – в телефонии, радиовещании, телевидении и т.д. В последнее время дискретные сигналы используются и в цифровом телевидении и радиовещании.

Каждый сигнал может быть охарактеризован по степени сложности в зависимости от величины, называемой базой сигнала: B = F∙T, где F – эффективная ширина спектра сигнала; Т – эффективная длительность сигнала. Если B » 1, то сигнал называется простым, при B >> 1 – сложным сигналом. Сложные сигналы получают либо из совокупности простых сигналов, либо с помощью модуляции. К сложным сигналам могут быть отнесены шумовые и шумоподобные сигналы. У таких сигналов , где Т – эффективная длительность сигнала (когда сигнал эквивалентен по энергии сигналу с прямоугольной формой); – интервал корреляции процесса.

В различных системах, как правило, излучают радиосигналы, отличающиеся по виду модуляции: амплитудно-модулированные, частотно-модулированные, фазомодулированные, сигналы с импульсными видами модуляции; манипулированные (по амплитуде, частоте, фазе и совмещенные) сигналы.

В радиолокации чаще всего излучается последовательность радиоимпульсов.

Упрощенная структура РЛС представлена на рис. 1, где использованы следующие обозначения: РПУ – радиопередающее устройство; РПрУ – радиоприемное устройство; АП – антенный переключатель; s0(t) – зондирующий сигнал; s(t) – отраженный сигнал; А – антенна; О – обнаруживаемый объект; V – скорость сканирования антенны. Облучение пространства производится периодическим зондирующим сигналом.

Импульс отражается от объекта обнаружения и возвращается с задержкой к антенне РЛС. Задержка определяется расстоянием между РЛС и объектом. Интенсивность отраженного сигнала зависит от эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) объекта и условий распространения радиосигнала. В РЛС одна и та же антенная система используется при передаче и приеме сигналов. Интенсивность облучения объекта зависит от формы диаграммы направленности антенны и угла между направлением на объект и направлением максимального коэффициента направленного действия. При сканировании антенной системы (механическом или электронном вращении диаграммы направленности) огибающая пачки импульсов отраженного сигнала повторяет форму диаграммы направленности (рис. 1). В режиме сопровождения объекта огибающая пачки импульсов может иметь прямоугольную форму.

При обзоре время облучения ограничено, и принимаемый сигнал представляет собой ограниченную по времени пачку радиоимпульсов. Модуляция по амплитуде импульсов в пачке определяется не только формой диаграммы направленности, но и скоростью V обзора, от нее зависит и число импульсов в пачке. Обычно огибающая пачки – детерминированная функция, поскольку вид диаграммы направленности и скорость обзора известны.

Запаздывание отраженного сигнала зависит от дальности r до объекта – , где c – скорость распространения радиоволны в пространстве. При распространении сигнал ослабляется относительно излученного в 106 – 1010 раз по напряжению. Кроме того, изменение угла между направлением максимума диаграммы направленности антенны и объектом и поворот объекта за время облучения приводит к случайным изменениям амплитуды импульсов принимаемого сигнала. За счет радиальной скорости объекта Vr изменяется и частота отраженного сигнала (доплеровский эффект), при этом приращение частоты несущего колебания . Изменяются параметры сигнала в канале связи и во входных трактах приемной системы.

При отражении сигнала от объекта происходит изменение поляризации падающей волны. Эти изменения зависят от формы объекта и могут быть использованы при распознавании объектов.

Построить модель сигнала, которая учитывала бы все эти влияния и изменения сложно, поэтому учитывают только часть рассмотренных изменений.

Основные модели сигналов

а) Детерминированный сигнал:

Все параметры сигнала: амплитуда А, закон ее изменения во времени S0(t), частота w0 и закон изменения начальной фазы во времени известны, т.е. огибающая S(t) и фаза являются детерминированными функциями времени.

б) Одиночный сигнал со случайной амплитудой и фазой

где А, j, t – случайные параметры.

Случайные параметры задаются плотностями вероятности. Распределение амплитуд А чаще всего полагают релеевским

,

где s2 – дисперсия флюктуаций амплитуды.

Начальная фаза j и задержка t распределены равномерно, т.е.

где Т – период зондирования, определяемый максимальной однозначной дальностью действия РЛС.

Функции s0(t) и – детерминированные.

Для движущихся объектов локации к несущей частоте w0 добавляется доплеровский сдвиг , где – случайная величина, знак которой зависит от направления перемещения объекта в радиальном направлении относительно РЛС.

в) Нефлюктуирующая пачка радиоимпульсов

где ; функция H2(t) – функция, обусловленная формой диаграммы направленности (рис. 2б); Т0 – период следования импульсов в пачке; К = const.

г) Флюктуирующая пачка импульсов:

– дружно-флюктуирующая пачка – амплитуды радиоимпульсов в пачке неизменны, но изменяются независимо от пачки к пачке, что соответствует медленному изменению ЭПР отражающего объекта во времени или изменению параметров канала распространения электромагнитной волны и т.д. (рис. 2);

– быстро-флюктуирующая пачка – амплитуды радиоимпульсов изменяются в пачке от импульса к импульсу независимо (рис. 3).

В зависимости от характера изменения начальной фазы колебаний от импульса к импульсу в пачке различают когерентные и некогерентные пачки радиоимпульсов. Когерентная пачка может быть образована путем вырезания импульсов из непрерывного стабильного гармонического колебания. Начальные фазы в этом случае или одинаковы во всех радиоимпульсах пачки, или изменяются по известному закону. Некогерентная пачка состоит из радиоимпульсов с независимо-изменяющейся начальной фазой.

Помехи разделяются на естественные (неорганизованные) и искусственные (организованные), внутренние и внешние.

По способу образования помехи могут быть пассивными и активными. Естественные пассивные помехи создаются отражениями от местных предметов (в радиолокации) и земной поверхности, растительности и т.д.; отражениями от метеорных следов и атмосферных неоднородностей (в радиосвязи на УКВ).

Активные помехи имеют самостоятельный источник, в то время как пассивные помехи обусловлены излучением зондирующего сигнала. По характеру изменения во времени помехи бывают флюктуационные (гладкие) и импульсные.

В качестве помех могут быть случайные, шумоподобные или детерминированные процессы. Из всех помех наибольшее воздействие на подавляемую РЛС оказывает белый (широкополосный) шум с нормальным распределением, поскольку он имеет наибольшую информационную емкость.

Чаще всего в качестве моделей помех используется их описание с помощью статистических характеристик. Наиболее полной характеристикой является n-мерная плотность вероятности. Однако в некоторых частных, но очень важных случаях помеха может быть охарактеризована одномерной или двумерной плотностями вероятности.

Сигналы и помехи могут быть представлены в виде некоторых множеств в частотно-временной системе координат (рис. 4).

Каждый сигнал или помехи занимают по осям w и t определенные отрезки, зависящие от полосы частот Dw и длительности t. Чем больше Dw и t, тем эффективнее помеха с точки зрения подавления сигнала. Наилучшей помехой является белый шум, который заполняет всю плоскость w, t, и обладает наибольшими дезинформационными свойствами. Если шум узкополосный, то он занимает ограниченную площадь, поскольку имеет неравномерную спектральную плотность мощности. От такой помехи можно избавиться, перестроив несущую частоту w0 сигнала.

Для пространственно-временных сигналов и помех используются дополнительные координаты: угол места и азимут. И тогда источники помех могут быть точечными по угловым координатам или распределенные в конкретных секторах.

Геометрическое представление сигналов и помех связано с введением многомерного пространства выборок и широко используется в теории сигналов . Пусть имеется реализация x(t) случайного процесса X(t). В соответствии с теоремой Котельникова эта реализация может быть представлена в виде дискретных отсчетов xi = x(iDt). Число этих отсчетов (единичных измерений) – N, совместно они образуют выборку X размером N – , i – номер измерения в выборке X. Если представим n-мерное пространство, в котором на каждой оси координат отложим соответствующие по номеру измерения, то вся выборка будет соответствовать точке этого пространства или вектору, конец которого лежит в этой точке. Длина вектора в данном пространстве может быть представлена так:

.

Эта величина называется нормой вектора в эвклидовом пространстве. В пространстве Хемминга норма выражается иначе:

Если и , то в пределе переходим к бесконечному пространству , в котором норма определяется так

.

Для реальных процессов и имеет размерность величины x.

Все указанные пространства линейны, и для них определены операции сложения элементов множества и умножения элемента на число. Причем обе эти операции удовлетворяют условиям коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Среди линейных пространств можно выделить метрические пространства, для которых существует метрика , т.е. норма разности векторов, которая больше или равна нулю. Метрика (расстояние) обладает следующими свойствами:

а) ; б) ; в) ,

где x, y, z – элементы пространства.

Для эвклидова конечно-мерного пространства –

,

для непрерывного пространства аналогично

.

Важным является понятие скалярного произведения. Оно характеризует собой проекцию одного вектора на другой и определяется в так:

,

т.е. сумма произведений одноименных проекций векторов на оси координат. В непрерывном пространстве : , причем скалярное произведение всегда не больше произведения норм векторов (неравенство Шварца).

Угол между векторами определяется так

.

Если определить норму через скалярное произведение, то говорят, что норма порождена скалярным произведением, а пространство, отвечающее такому произведению, называется гильбертовым.

Введем понятие случайного вектора. Случайный вектор – это такой вектор, координаты которого есть случайные величины. Этот вектор в пространстве выборок не занимает какого-либо фиксированного положения. Его конец может оказаться в той или иной области пространства с известной вероятностью, которую можно подсчитать, зная совместное распределение случайных величин . Конец вектора можно представить себе не как определенную точку, а как облако, переменная плотность которого выражает вероятность нахождения конца вектора в данном элементе объема пространства. Геометрически это облако отображается гиперсферой в n-мерном пространстве (рис. 5).

Элементарный объем в пространстве выборок . Вероятность попадания конца вектора в этот объем будет равна

где – плотность вероятности случайного процесса X(t).

Если гиперсфера имеет размеры W, то попаданию точки в эту гиперсферу соответствует вероятность

где – проекции гиперсферы W на оси координат системы.

Это выражением может быть записано в векторной форме

.

Если распределены по нормальному закону с одинаковой дисперсией каждой их независимых компонент, то вероятность попасть в элементарный объем пространства выборок равна

,

где – расстояние от начала системы координат до элемента .

В данном случае облако имеет сферическую форму. При различных дисперсиях облако вытягивается вдоль тех осей, которым соответствуют единичные измерения с большей дисперсией.

Если даны два случайных процесса x и h, то косинус угла между их векторами соответствует нормированному коэффициенту взаимной корреляции. Геометрически он характеризует проекцию единичных векторов одного на другой. Если x = h, то – линейная зависимость, если же они перпендикулярны, то – показывает полное отсутствие коррелированности. В этом случае векторы ортогональны, а процессы некоррелированы.

Для нормальных процессов некоррелированность означает и независимость, поскольку для них иной случайной зависимости, кроме линейной, не существует. Доказывается такое утверждение подстановкой коэффициента корреляции, равного нулю, в двумерную нормальную плотность вероятности. В результате такой подстановки плотность вероятности преобразуется к произведению одномерных плотностей вероятности, что является необходимым и достаточным условием статистической независимости двух случайных величин, входящих в систему.

3. Вероятностные характеристики случайных процессов

1. Наиболее полными вероятностными характеристиками случайных процессов (СП) являются различные виды распределений вероятностей мгновенных значений, среди которых основное применение получили интегральная функция распределения вероятностей и плотность вероятности.

Для ансамбля реализаций СП (рис. 6) одномерная интегральная функция распределения определяется как вероятность того, что мгновенные значения реализаций не превысят некоторый фиксированный уровень x в момент времени t.

Аналогично определяется n-мерная интегральная функция распределения как вероятность совместного выполнения неравенств:

Виды одномерной интегральной функции распределения для различных процессов показаны на рис. 8.

В отличие от интегральных функций распределения случайных величин, эта характеристика СП в общем случае (для нестационарных СП) зависит от времени.

Так же как и для случайных величин, (положительная определенность), при x2 > x1 (интегральная функция является неубывающей), (ограниченность).

Хотя интегральная функция распределения вероятности определена и для непрерывных, и для дискретных процессов, большее распространение получила плотность вероятности, определенная только для непрерывных СП.

Одномерная плотность вероятности определяется как производная от интегральной функции по аргументу x:

.

Для n-мерной плотности в соответствии с (1) имеем:

Из представления производной в виде предела отношения конечных приращений можно сделать вывод, что плотность вероятности характеризует относительную частоту пребывания мгновенных значений в элементарном интервале Dx.

На рис. 7 приведены графики плотности вероятности для реализаций различной формы.

Аналогичное рассмотрение n-мерной плотности вероятности позволяет интерпретировать ее как вероятность того, что значение функции находятся в пределах n коридоров Dx или, иначе, что реализация примет заданную форму (рис. 8).

Свойства плотности вероятности:

– положительная определенность – ;

– свойство симметрии – значения плотности вероятности не меняются при перестановке аргументов;

– свойство нормировки ;

– свойство согласованности (число интегралов в правой части равно n – m)

– плотность вероятности меньшего порядка вычисляется путем интегрирования по «лишним» аргументам;

– размерность плотности вероятности обратна размерности случайной величины.

Наиболее широко в радиотехнике используются следующие распределения.

1. Нормальной (гауссово) распределение (рис. 9):

,

где m – математическое ожидание; s – среднеквадратическое отклонение (СКО).

Для нормального распределения характерна симметрия относительно математического ожидания и большие значения случайной величины встречаются значительно реже малых:

.

2. Равномерное распределение (рис. 10):

Экспоненциальное распределение (рис. 11):

4. Распределение Рэлея (распределение огибающей узкополосного нормального СП):

2. Распределения вероятностей, хотя и является наиболее употребимыми в теории характеристиками, не всегда доступны для экспериментального определения и во многих случаях слишком громоздки в теоретических исследованиях. Более простыми являются числовые характеристики СП, определяемые как некоторые функционалы от плотности вероятности. Наиболее широко из них используются моментные функции, определяемые как среднее значение различных степенных преобразований СП.

Начальные одномерные моменты определяются в виде

. (3)

Особое значение имеют первый начальный момент – математическое ожидание и второй начальный момент

.

сигнал случайный помеха прием

Физический смысл этих характеристик: среднее значение и средняя мощность СП, выделяемая на сопротивлении в 1 Ом, соответственно (если СП есть напряжение, стационарное по постоянной составляющей и мощности). Второй начальный момент характеризует степень разбросанности случайной величины относительно начала координат. Размерность математического ожидания совпадает с размерностью величины x (для x в виде напряжения – вольты), а размерность m2 – с размерностью квадрата величины x.

В случае стационарных СП моменты не зависят от времени, для нестационарных могут быть функциями времени (в зависимости от типа не-стационарности), что поясняется рис. 13.

Центральные моменты определяются аналогично начальным моментам, но для центрированного процесса :

. (4)

Поэтому всегда .

Второй центральный момент – дисперсия СП – определяется в виде

и характеризует степень разбросанности значений относительно математического ожидания или, иначе, среднюю мощность переменной составляющей процесса, выделяемой на сопротивлении в 1 Ом. Очевидна связь между начальными и центральными моментами:

, в частности .

Отметим, что третий центральный момент (p = 3 в (4)) характеризует асимметрию распределения вероятностей (для симметричных плотностей вероятности ), а четвертый (p = 4) – степень остроты вершины плотности вероятности.

Рассмотрим пример вычисления одномерных моментов распределения.

ПРИМЕР 1. Процесс с треугольной симметричной плотностью вероятности виден на экране осциллографа в виде шумовой дорожки с размахом от -2 до +4 В. При выключенной развертке яркость вертикальной линии в центре экрана равномерна. Оценить математическое ожидание и дисперсию процесса.

Решение примера 1. Сведения о форме распределения и его границах позволяет записать аналитическое выражение для плотности вероятности (рис. 14).

При этом максимальное значение плотности вероятности fm, достигаемое при x=1 В, определяется из условия нормировки, т.е. равенства площади треугольника единице:

,

Такое симметричное треугольное распределение называют также законом Симпсона.

В соответствии с определениями математическое ожидание и дисперсия равны

.

Однако удобнее вычислить вначале второй начальный момент

тогда = 6 В2.

Смешанные начальные моменты определяются соотношением

Смешанные центральные моменты определяются аналогично, но с заменой x в формуле (5) на центрированное значение .

Ввиду того, что значения x в смешанных моментах определяются в различные моменты времени, появляется возможность оценки статистической взаимозависимости значений процессов, разделенных заданными интервалами. Наиболее важным является простейший из смешанных моментов, отображающий линейную статистическую взаимозависимость и называется корреляционной и ковариационной функцией:

Как видно из определения, размерность корреляционной функции определяется размерностью квадрата величины x (для напряжения – В2).

Для стационарного СП корреляционная функция зависит только от разности :

.

Следует заметить, что при t = 0 максимальное значение K(0) = s2.

На рис. 15 приведены примеры реализаций процессов с разными корреляционными функциями.

Кроме функционалов на основе степенных функций (моментов) возможны и другие типы функционалов в качестве статистических характеристик СП. Важнейшим среди них является функционал, основанный на экспоненциальном преобразовании и называемый характеристической функцией

. (7)

Нетрудно заметить, что данное выражение представляет преобразование Фурье от плотности вероятности, отличающееся от обычного лишь знаком в показателе экспоненты.

Поэтому можно записать и обратное преобразование, позволяющее по характеристической функции восстановить плотность вероятности:

.

Соответственно для n-мерного случая имеем

Основные свойства характеристической функции состоят в следующем:

– свойство нормировки ;

– свойство симметрии ;

– свойство согласованности

– определение характеристической функции суммы независимых случайных величин

Как видно из анализа перечисленных свойств, различные преобразования характеристической функции проще плотности вероятности. Простая связь также между характеристической функцией и моментами плотности вероятности.

Пользуясь определением характеристической функции (7), продифференцируем ее k раз по аргументу u:

.

Можно заметить, что операция дифференцирования намного проще, операция интегрирования при определении моментов плотности вероятности.

ПРИМЕР 2. Может ли существовать процесс с характеристической функцией прямоугольной формы?

Решение примера 2. На рис. 16 представлена характеристическая функция прямоугольной формы (а) и соответствующая ей плотность вероятности (б).

Так как характеристическая функция является преобразованием Фурье от плотности вероятности, то ее обратное преобразование Фурье должно обладать всеми свойствами плотности вероятности. В данном случае

График плотности вероятности представлен на рис. 16б.

Как видно из выражения для f(x) и рисунка, полученная плотность вероятности не удовлетворяет условию положительной определенности (), следовательно, процесс с заданной характеристической функцией не может существовать.

4. Энергетические характеристики случайных процессов

К энергетическим характеристикам СП относят корреляционную функцию, спектральную плотность мощности и непосредственно связанные с ними параметры СП.

В разделе 2 было дано определение корреляционных функций как смешанных центральных моментов второго порядка соответственно автокорреляционной и взаимнокорреляционной функций, т.е.

.

Основные свойства автокорреляционной функции:

– свойство симметрии , для стационарных процессов – четность ;

– свойство ограниченности , для стационарных процессов ;

– свойство неограниченного убывания с ростом аргумента (для эргодических процессов) ;

– свойство положительной определенности интеграла

;

– размерность соответствует квадрату размерности случайного процесса.

Это свойство следует из определения спектральной плотности мощности (для случайных напряжений и тока через сопротивление 1 Ом), которое будет приведено ниже.

Для взаимнокорреляционной функции аналогично можно записать:

; ;

; .

Ввиду ограниченности корреляционной функции частот используют нормированные корреляционные функции

; ,

причем ; .

Для более компактного описания свойств случайного процесса вводят понятие интервала корреляции, определяющего интервал времени, на котором существует связь между значениями процесса.

Основные определения интервала корреляции:

– интегральный (для положительно определенных корреляционных функций) . Геометрически он характеризует ширину основания прямоугольника, равновеликого по площади функции k(t) при t > 0 (рис. 17а);

– абсолютный интервал корреляции (в отличие от предыдущего может использоваться для знакопеременных функций ) (рис. 17б);

– квадратичный интервал корреляции ;

– максимальный интервал корреляции (на уровне a) (рис. 18)

.

Обычно уровень a выбирается исходя из рассматриваемой задачи и имеет значения 1/e; 0,1; 9,05; 0,01 и т.д.

Последнее определение не является более произвольным, чем предыдущие, так как выбор конкретного вида функционала протяженности произволен и определяется удобством математического решения конкретной задачи. Практически этот интервал корреляции используется в радиоизмерениях для определения интервала, вне которого случайные величины в сечениях случайного процесса можно считать некоррелированными. Достоверность такого предположения определяется выбором уровня a.

Большое значение в статистической радиотехнике имеют спектральные характеристики СП. При этом используются различные интегральные преобразования процесса вида

.

При исследовании линейных систем с постоянными параметрами особое значение имеет ядро преобразования вида , так как отклик линейных систем на гармоническое воздействие также является гармоническим.

Преобразование Фурье от k-й реализации СП дает также случайную функцию частоты, зависящую от номера реализации:

.

В условиях реального наблюдения можно получить лишь текущий спектр реализации за интервал наблюдения T

.

Приведенные выражения в существенной степени формальны, так как для многих СП условия применимости преобразования Фурье не выполняются, и интеграл не сходится к какому-либо определенному пределу.

Определим квадрат модуля спектральной плотности k-й реализации

Предполагая процесс стационарным и центрированным, заменяя и производя статистическое усреднение по множеству реализаций, определим:

.

Разделив обе части полученного равенства на T и беря предел , получим

.

Поясним физический смысл этой характеристики. Учитывая теорему Релея

,

определим ; ;

;

; .

Таким образом, спектральная плотность мощности или энергетический спектр – это усредненная по всем реализациям функция распределения мощности по частотам.

Следовательно, спектральная плотность мощности и корреляционная функция связаны преобразованием Фурье (теорема Винера – Хинчина):

(9)

Полагая t = 0, получим

.

Учитывая свойство четности корреляционной функции, запишем

,

.

В полученных формулах G(w) определялась для положительных значений круговой частоты w, причем G(w) = G(–w). В отличие от такого «двухстороннего» математического спектра, введем односторонний физический спектр:

Тогда формулы теоремы Винера – Хинчина примут вид:

(10)

Часто используется нормированная спектральная плотность мощности

.

Из определения G(w) следуют методы его экспериментального определения (рис. 19). А именно: измеряется квадратичным прибором среднеквадратическое отклонение процесса в узкой полосе (с помощью полосового фильтры с прямоугольной АЧХ), возводится в квадрат, а затем делится на эту полосу Dfэ (полоса такая, что S(f0) » const в пределах Dfэ) (рис. 20).

Рис. 19 Рис. 20

Для одиночного колебательного контура , где Q – добротность контура, следовательно

.

Спектральная плотность мощности не отражает фазовой структуры сигнала. Две совершенно разные зависимости могут иметь одинаковую спектральную плотность мощности.

Поскольку G(w) и K(t) связаны преобразованием Фурье, для них справедливы основные теоремы о спектрах.

Ширина спектра определяется так же, как и интервал корреляции.

Эффективная (или неудачное название – энергетическая) ширина спектра

.

Определяют также ширину спектра на уровне a: .

Рассмотрим связь интервала корреляции и ширины спектра.

Так как , а , то

. (11)

Таким образом, произведение – порядка единицы.

Различают широкополосные и узкополосные процессы (рис. 22а и б).

Для узкополосных процессов . Поскольку для узкополосных случайных процессов значение спектральной плотности мощности при нулевой частоте всегда равно нулю (или очень близко к нему), то корреляционная функция является всегда знакопеременной и ее площадь равна нулю (из теоремы Винера – Хинчина).

Один из широко распространенных в теории широкополосных процессов – белый шум с равномерным спектром . Его корреляционная функция равна

.

Противоположный случай – узкополосный процесс – квазидетерминированный СП с дискретным спектром

где x1, x2 – случайные величины, не зависящие от t, .

Функция X(t) представляет собой гармоническое колебание со случайной амплитудой и фазой , распределение которого не зависит от времени. Этот процесс будет стационарным лишь при и при . Тогда зависит только от t, причем x1 и x2 некоррелированы.

В этом случае ;

. (рис. 23)

Для стационарных СП X(t) и Y(t) вводят также взаимную спектральную плотность мощности

;

; ;

; .

Взаимная спектральная плотность мощности двух процессов комплексная, если взаимная корреляционная функция нечетная, действительная часть такой спектральной плотности четная, а мнимая – нечетная функция: .

Для суммы стационарных и стационарно-связанных процессов существует соотношение

.

5. Узкополосные случайные процессы

Важность этих процессов для статистической радиотехники требуют более подробного их рассмотрения.

Для более подробного анализа определим огибающую и фазу узкополосного случайного процесса (УСП). Часто огибающую определяют по формуле

, (12)

где – сопряженный с по Гильберту процесс. Применяя преобразование Гильберта к исходному выражению для УСП, получаем . Точность выражения иногда может вызывать сомнение, поскольку только для гармонических колебаний равенство (12) несомненно. Определим, насколько параметры УСП влияют на точность этой формулы.

Используя известные соотношения для комплексной амплитуды аналитического сигнала , получим

И . (13)

Применяя преобразование Гильберта к исходному выражению для УСП и используя составляющие (13) комплексной огибающей, можно записать

Разложим функции и в подынтегральных выражениях в ряд Тейлора в окрестности точки x=t и почленно проинтегрируем. Получим

где Q(t) – остаточное слагаемое, характеризующее отброшенную часть суммы. Подставив в выражение (14) и , получим

Из формулы (15) видно, что если можно пренебречь функцией Q(t), то сопряженный по Гильберту УСП имеет такую же огибающую, что и исходный УСП.

Из таблиц определенных интегралов известно:

С учетом этих выражений формулу для Q(t) можно записать:

Считаем, что полоса огибающей равна , поэтому вторые производные по своим значениям не превосходят . Поэтому можно полагать, что

.

Следовательно:

.

Отсюда видно, что для УСП функции u(t) и u1(t) имеют одинаковую огибающую с погрешностью, зависящей от отношения ширины спектра к его средней частоте. Для узкополосных случайных процессов обязательным является выражение , следовательно, огибающая удовлетворяет требованиям, которые к ней предъявляются в соответствии с определением УСП, т.е. является касательной в точках, соответствующих максимальным значениям УСП (или вблизи от них), и имеет общие значения с ним в точках касания. Степень «близости» точки касания к максимальному значению зависит от того же отношения .

Фаза однозначно определяется известными соотношениями для представления комплексного числа в показательной форме.

Графически УСП можно представить в виде вектора, вращающегося с угловой скоростью , длина вектора медленно меняется во времени так же, как и фазовый угол . Исходный УСП является проекцией вектора на горизонтальную ось. Если всю систему координат заставить вращаться с той же угловой скоростью, но в противоположном направлении, то та же проекция будет огибающей .

Если исходный УСП является нормальным, то и также являются нормальными случайными процессами. Если УСП u(t) нормален, стационарен, имеет нулевое среднее значение и функцию корреляции , то и также имеют нулевые средние значения и корреляционную функцию . В то же время и взаимно некоррелированы, а так как они нормальны, то и взаимно независимы. Сомножитель является огибающей корреляционной функции .

Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса. Плотности вероятности огибающей и фазы УСП можно получить, совершая преобразования, которые были использованы для их получения. Эти преобразования показывают, что огибающая и фаза являются независимыми. СВ как в совпадающие, так и в несовпадающие моменты времени. Одномерная плотность вероятности огибающей (в один момент времени) подчиняется закону Рэлея, а плотность вероятности фазы равномерна в пределах от до .

Сложные преобразования показывают, что центрированная корреляционная функция огибающей приближенно равна квадрату огибающей корреляционной функции исходного УСП. Спектральная плотность мощности огибающей имеет два слагаемых: дельта-функцию, соответствующую постоянной составляющей огибающей, и спектральную плотность флюктуационной составляющей, которая является преобразованием Фурье от квадрата огибающей корреляционной функции исходного УСП.

Если СП является суммой узкополосного нормального процесса и синусоиды со случайной начальной фазой, то мгновенные значения синусоиды распределены по закону арксинуса, сумма – по бимодальному закону, соответствующему свертке нормального закона и закона арксинуса. После применения тех же преобразований, что и для узкополосного нормального СП, получим для огибающей распределение Райса

,

где , А0 – амплитуда синусоидального сигнала; – среднеквадратическое отклонение шума.

При распределение Райса переходит в распределение Рэлея.

При больших отношениях , т.е. при А0 >> 1 (отношение сигнал/шум), распределение Райса может быть аппроксимировано нормальным распределением с математическим ожиданием, равным А0.

6. Временные характеристики случайных процессов

Во многих случаях, особенно при экспериментальных исследованиях, вместо ансамбля есть лишь одна реализация. Тогда усреднение производится по времени и при некоторых условиях дает результаты, близкие к усреднению по множеству.

Простейший вариант усреднения состоит в определении среднего арифметического значения. Выделим в отрезке реализации СП длительностью T n дискретных отсчетов с интервалом между ними Dt,

Среднее арифметическое значение определим известным образом:

Умножим числитель и знаменатель этого выражения на Dt:

.

При Dt ® 0 и n ® ¥ сумма перейдет в интеграл, описывающий временное усреднение реализации (обозначается чертой сверху или в данном пособии: ) или функции от нее:

. (16)

В общем виде можно записать операцию (16) с помощью оператора временного усреднения ST:

.

Для того чтобы результат не зависел от длительности отрезка T, возьмем предел при T ® ¥:

.

При экспериментальных исследованиях выполнение условия T ® ¥ невозможно, но достаточно выполнения условия .

Часто начало реализации и начало времени интегрирования не совпадают, поэтому оператор правильнее записать в виде оператора текущего среднего:

. (17)

Используется также симметричная форма этого оператора:

. (18)

Частотные характеристики операторов (4.17) и (4.18) равны соответственно:

, ,

т.е. отличаются лишь фазовым множителем .

Практически часто используется оператор экспоненциального сглаживания, реализуемый с помощью интегрирующей RC-цепи в форме

и имеющий характеристику

.

Производя временное усреднение некоторой функции g, лежащей в основе какой-либо вероятностной характеристики, получим соответствующую временную характеристику. В частности, дисперсия, полученная временным усреднением, равна

;

Временная корреляционная функция –

.

Аналогами распределений вероятностей являются величины относительного времени пребывания реализации ниже некоторого уровня и в интервале уровней (рис. 25).

Аналог интегральной функции распределения вероятностей – относительное время пребывания реализации ниже некоторого уровня (рис. 25а):

; .

Аналог плотности вероятности – относительное время пребывания реализации в интервале Dx на уровне x (рис. 25б):

;

.

Процессы, для которых временные характеристики сходятся в некотором смысле к вероятностным при T ® ¥, называются эргодическими. Различают два вида сходимости.

Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине x, если для любого e > 0

.

Сходимость с вероятностью 1 (или почти всюду) определяется следующим образом:

.

Сходимость в среднем определяется из условия:

,

в частности, сходимость в среднеквадратическом –

.

Из сходимости почти всюду следует сходимость по вероятности, а из сходимости в среднеквадратическом также следует сходимость по вероятности.

Часто имеет место не эргодичность процесса, а эргодичность по отношению к математическому ожиданию, корреляционной функции или иной вероятностной характеристике.

7. Особенности нестационарных случайных процессов

Нестационарные СП, в отличие от стационарных, составляют столь широкий класс, что в нем трудно выделить свойства, относящиеся ко всему классу. Одним из таких свойств, лежащих в основе определения нестационарности, является зависимость вероятностных характеристик этих процессов от времени.

В частности,

,

.

Пример процесса, существенно нестационарного по математическому ожиданию, приведен на рис. 26а, по дисперсии – на рис. 26б.

Нестационарность по математическому ожиданию хорошо описывается моделью аддитивного нестационарного процесса:

X(t) = Y(t) + j(t),

где Y(t) – стационарный СП; j(t) – детерминированная функция.

Нестационарность по дисперсии описывается моделью мультипликативного нестационарного процесса: X(t) = Y(t)·j(t).

Простейшие примеры нестационарности по моментным функциям в более общем виде описываются зависимостями вероятностных распределений от времени.

Более сложным является отображение нестационарности в рамках многомерных (и даже двумерных) вероятностных характеристик. Наиболее широко используются корреляционные и спектральные характеристики. Поскольку корреляционная функция нестационарного СП зависит от двух моментов времени, спектр нестационарного процесса не может быть определен столь однозначно, как в стационарном случае. Существует несколько определений спектра нестационарных процессов:

а) двойной по частоте спектр или биспектр:

. (19)

В случае стационарного процесса и соотношение (19) переходит в теорему Винера – Хинчина. Биспектр (19) трудно физически интерпретировать и использовать при анализе цепей, хотя он отображает всю информацию о частотных свойствах процесса;

б) мгновенный частотно-временной спектр.

Заменим в переменные следующим образом: , t = t1 – t2 и выполним преобразование Фурье от корреляционной функции по аргументу t:

. (20)

Мгновенный спектр (20) зависит как от частоты, так и от времени и при медленной нестационарности имеет наглядную физическую интерпретацию как изменение «обычной» спектральной плотности мощности во времени (рис. 27);

в) усредненная спектральная плотность мощности

,

где .

Этот спектр не отображает динамики процесса, но дает представление о среднем распределении дисперсии процесса по частоте;

г) аппаратурный спектр определяется как среднее значение дисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра с импульсной реакцией h(t):

Этот спектр допускает аппаратурное определение, но использование его в теории достаточно трудоемко.

Решение примера Рассмотрим пример нестационарного СП, имеющего плотность вероятности, выраженную функцией

где ; a0 = 1 1/В; k = 2 1/Вс.

Необходимо найти математическое ожидание процесса и нарисовать ориентировочно возможный вид реализации процесса.

Для решения задачи прежде всего определим незаданную функцию А(t) из условия нормировки:

Отсюда A(t) = a(t).

Поскольку процесс нестационарный, его математическое ожидание может зависеть от времени и в данном случае равно

Учитывая известное значение определенного интеграла

при

где – гамма-функция, , получим

.

Возможный вид реализаций процесса, не противоречащий виду распределения, приведен на рис. 28.

На рис. 28 штриховой линией показано изменение математического ожидания процесса.

8. Классификация случайных процессов

Классификация в любой науке служит для упорядочения объектов исследования, а значит, и используемых методов анализа и синтеза. В ряде случаев удачная, логически оправданная и естественная классификация процесса помогает вскрыть новые закономерности (например, периодическая система Менделеева, классификация звезд на основе диаграммы Герцшпрунга – Рассела в астрономии и т.д.).

Классификация производится по каким-либо признакам. Наиболее существенными признаками для СП являются зависимости их вероятностных характеристик от времени и номера реализации.

Обозначим через q(l) произвольную вероятностную характеристику;

– оператор усреднения по множеству;

– оператор усреднения по времени.

Если одновременно используется усреднение и по множеству, и по времени, то получаемая при этом оценка вероятностной характеристики (l) имеет такой вид:

,

где l – аргумент вероятностной характеристики (частота в спектральной плотности мощности; интервал в корреляционной функции).

Истинное значение оценки вероятностной характеристики получается с помощью предельного перехода при неограниченном возрастании числа реализаций N и их длительностей T, т.е.

.

Характеристику, полученную усреднением и по множеству, и по времени, будем называть средней вероятностной характеристикой. Если же усреднение производится только по множеству, то получается t – текущая вероятностная характеристика:

только по времени – k-текущая вероятностная характеристика:

В зависимости от видов получаемых характеристик СП можно классифицировать таким образом:

– (k, l) = (l) – однородный процесс, т.е. получаемая характеристика не зависит от номера реализации;

– (t, l) = (l) – стационарный процесс, т.е. получаемая характеристика не зависит от начала отсчета времени;

– (t, l) = (k, l) = (l) – эргодический случайный процесс.

Схематично процессы могут быть представлены в виде множеств, изображенных на рис. 29.

Приведенная укрупненная классификация, конечно, не является исчерпывающей, поэтому используется классификация по многим другим признакам.

По виду областей существования и значений случайной функции СП делятся на непрерывные (непрерывные области существования и значений – рис. 30а), дискретные (непрерывное множество значений аргумента и дискретное множество значений – рис. 30б), непрерывные случайные последовательности (дискретная область существования и непрерывная область значений – рис. 30в) и дискретные случайные последовательности (дискретная функция дискретного аргумента – рис. 30г).

По виду распределений вероятностей различают процессы с конечной и бесконечной областями значений, с симметричной и несимметричной плотностью вероятности, гауссовы (нормальные) и негауссовы.

По корреляционной связи значений различают коррелированные и некоррелированные СП, по виду спектра – широкополосные и узкополосные СП, по характеру временной связи – периодические, непериодические и почти периодические.

По виду нестационарности процессы делятся на аддитивные, мультипликативные, стационарные на интервале (квазистационарные), со стационарными приращениями, периодически нестационарные, с быстрой и медленной нестационарностью и т.д.

Выбор признаков классификации определяется характером решаемой задачи.

Рассмотрим пример классификации СП.

Решение примера 4. Охарактеризовать процесс X(t) в отношении стационарности, однородности и эргодичности, если процесс представлен моделью:

где А – случайная амплитуда с рэлеевским распределением; – случайная величина с равномерным распределением на интервале [–p, p]; 0 = const.

Выборочные реализации процесса X(t) представлены на рис. 31.

Из рис. 31 и аналитического представления квазидетерминированного процесса X(t) очевидно, что его вероятностные характеристики (например, математическое ожидание, дисперсия, плотность вероятности и т.д.) не зависят от времени, т.е. процесс является стационарным. В то же время каждая из реализаций характеризуется своей дисперсией, поэтому процесс неоднороден и не является эргодическим, т.е. его характеристики нельзя оценить по одной реализации.

ПРИМЕР 5. По заданной графически функции распределения стационарного случайного колебания (рис. 32) определить плотность вероятности и изобразить возможный вид реализации этого процесса.

Решение примера 5. Плотность вероятности связана с функцией распределения через производную, поэтому на первом участке u от -6 до -3 В производная, характеризующая тангенс угла наклона к оси u равна 0,4/3 = 0,13 1/В. При u = 1 В имеет скачок на 0,3, поэтому в плотности вероятности есть d-функция с площадью, равной величине скачка. На участке от 3 до 7 В также имеет постоянный наклон, равный 0,3/6 = 0,05 1/В. Полученная плотность вероятности представлена на рис. 3 Для проверки вычислений необходимо найти площадь, ограниченную плотностью вероятности (условие нормировки): .

mu = == –0,325 В.

Второй начальный момент – m2u = 48,9 В2.

Дисперсия – = 48,5 – 0,105625 » 48,4 В2.

Реализация длительностью Т, судя по виду плотности вероятности на разных интервалах времени, должна иметь горизонтальные участки на уровне +1 В, суммарная длительность которых должна составлять Т/ На участках от -6 до -3 В и от +1 до +7 В в реализации имеются наклонные прямые линии со случайным наклоном, что соответствует неизменным значениям плотности вероятности. На первом участке мгновенные значения реализации находятся 0,4Т, а на втором – 0,3Т.

Возможный вид реализации представлен на рис. 34.

ПРИМЕР 6. На рис. 35 представлена реализация случайного процесса. Изобразить приближенно плотность вероятности и функцию распределения. Рассчитать (также приближенно) математическое ожидание, среднеквадратическое значение (СКЗ) и среднеквадратическое отклонение (СКО).

Решение примера 6. Для определения плотности вероятности необходимо в соответствии с ее определением рассчитать вероятности следующих событий:

Соответствия мгновенных значений уровню -10 мА (вероятность р1);

Нахождения мгновенных значений реализации в интервале от -10 до -4 мА (вероятность р2);

Соответствия мгновенных значений уровню -4 мА (вероятность р3);

Нахождения мгновенных значений реализации в интервале от -4 до + 8 мА (вероятность р4);

Соответствия мгновенных значений уровню + мА В (вероятность р5);

Нахождения мгновенных значений реализации в интервале от +8 до +10 мА (вероятность р6).

Для нахождения перечисленных вероятностей необходимо посчитать интервал времени, в течение которого происходили эти события, а затем поделить найденные интервалы на длительность реализации, составляющую 25 мс (см. рис. 35). В результате получим частоты событий (оценку вероятностей). Результаты расчетов представлены в табл. 1.

Таблица 1

Вероятность
вероятности

Для расчета значений плотности вероятности в интервалах (-10, -4) мА, (-4, + 8) мА и (+8, +12) мА необходимо полученные вероятности разделить на соответствующие интервалы, предполагая на этих участках постоянную плотность вероятности, так как мгновенные значения в их пределах меняются по линейному закону (рис. 35). Результаты расчетов представлены на рис. 36.

Математическое ожидание равно:

мА

(в предположении стационарности заданного реализацией СП по математическому ожиданию).

Второй начальный момент –

m2i = 36,08 мА2

(в предположении стационарности заданного реализацией СП по второму начальному моменту).

Дисперсия –

= 36,08 – 0,1024 » 35,98 мА2

(в предположении стационарности заданного реализацией СП по дисперсии).

Следовательно, СКЗ = » 6,01 мА; СКО = » 6,0 мА.

Библиографический список

1. Гоноровский, И.С. Радиотехнические цепи и сигналы [Текст] / И.С. Гоноровский. – М. : Радио и связь, 2006. – 608 с.

1. Манжос, В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информа-ции на фоне помех [Текст] / Я.Д. Ширман, В.Н. Манжос. – М. : Радио и связь, 2011. – 416 с.

2. Жовинский, В.Н. Инженерный экспресс-анализ случайных процессов [Текст] / А.Н. Жовинский, В.Н. Жовинский. – М. : Энергия, 2009. – 112 с.

3. Царьков, Н.М. Многоканальные радиолокационные измерители [Текст] / Н.М. Царьков. – М. : Сов. радио, 2010. – 192 с.

2. Математические основы современной радиоэлектроники [Текст] / И.А. Большаков [и др.]. – М. : Сов. радио, 2009. – 208 с.

3. Федосов, В.П. Статистическая радиотехника [Текст] : конспект лекций / В.П. Федосов, В.П. Рыжов. – Таганрог: Изд-во ТРТИ, 2008. – 76 с.

4. Фомичев, К.И. Моноимпульсная радиолокация [Текст] / А.И. Леонов, К.И. Фомичев. – М. : Сов. радио, 2010. – 370 с.

5. Гнеденко, Б.Н. Курс теории вероятности [Текст] / Б.Н. Гнеденко. – М. : Физматгиз, 2011. – 203 с.

3.3. Основные свойства преобразования Фурье:

1) Линейность.

4) Теорема запаздывания.

10) Спектры мощности.

4. Сигналы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова

4.1. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова

Спектр периодической последовательности дельта-импульсов в соответствии с формулой для u(t) имеет следующий вид:

4.2. Спектр дискретизированного сигнала

4.3. Спектр дискретизированного сигнала при дискретизации импульсами конечной длительности (сигнал амплитудно-импульсной модуляции или аим сигнал)

4.4. Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов

4.5. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов

5. Случайные процессы

5.1. Характеристики случайных процессов

Функция распределения вероятностей сп (фрв).

Двумерная фрв.

Функция плотности вероятностей случайного процесса (фпв)

Стационарность.

Эргодичность.

5.2. Нормальный случайный процесс (гауссов процесс)

5.3. Фпв и фрв для гармонического колебания со случайной начальной фазой

5.4. Фпв для суммы нормального случайного процесса и гармонического колебания со случайной начальной фазой

5.5. Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса

5.6. Флуктуационный шум

6. Комплексное представление сигналов и помех

6.1. Понятие аналитического сигнала

6.2. Огибающая, мгновенная фаза и мгновенная частота узкополосного случайного процесса

7. Корреляционная функция детерминированных сигналов

7.1. Автокорреляция вещественного сигнала

Свойства автокорреляционной функции вещественного сигнала:

7.2. Автокорреляция дискретного сигнала

7.3. Связь корреляционной функции с энергетическим спектром

7.4. Практическое применение корреляционной функции

II. Методы формирования и преобразования сигналов

8. Модуляция сигналов

8.1. Общие положения

8.2. Амплитудная модуляция гармонического колебания

8.3. Балансная и однополосная модуляция гармонической несущей

9. Методы угловой модуляции

9.1. Принципы частотной и фазовой (угловой) модуляции

9.2. Спектр сигналов угловой модуляции

9.3. Формирование и детектирование сигналов амплитудной и однополосной амплитудной модуляции

9.4. Формирование и детектирование сигналов угловой модуляции

10. Манипуляция сигналов

10.1. Временные и спектральные характеристики амплитудно- манипулированных сигналов

10.2. Временные и спектральные характеристики частотно-манипулированных сигналов

10.3. Фазовая (относительно-фазовая) манипуляция сигналов

III. Алгоритмы цифровой обработки сигналов

11. Основы цифровой обработки сигналов

11.1. Общие понятия о цифровой обработке

11.2. Квантование сигнала

11.3. Кодирование сигнала

11.4. Декодирование сигнала

12. Обработка дискретных сигналов

12.1. Алгоритмы дискретного и быстрого преобразований Фурье

12.2. Стационарные линейные дискретные цепи

12.3. Цепи с конечной импульсной характеристикой (ких-цепи)

12.4. Рекурсивные цепи

12.5. Устойчивость лис-цепей

13. Цифровые фильтры

13.1. Методы синтеза ких-фильтров

13.2. Синтез бих-фильтров на основе аналого-цифровой трансформации

IV. Каналы связи

14. Каналы связи

14.1. Модели непрерывных каналов

14.2. Модели дискретных каналов

V. Теория передачи и кодирования сообщений

15. Теория передачи информации

15.1. Количество информации переданной по дискретному каналу

15.2. Пропускная способность дискретного канала

15.3. Пропускная способность симметричного дискретного канала без памяти

15.4. Методы сжатия дискретных сообщений

15.4.1. Условия существования оптимального неравномерного кода

15.4.2. Показатели эффективности сжатия

15.5. Количество информации, переданной по непрерывному каналу

15.6. Пропускная способность непрерывного канала

16. Теория кодирования сообщений

Классификация помехоустойчивых кодов

16.1. Коды с обнаружением ошибок

16.1.1. Код с проверкой на четность.

16.1.2. Код с постоянным весом.

16.1.3. Корреляционный код (Код с удвоением).

16.1.4. Инверсный код.

16.2. Корректирующие коды

16.2.1. Код Хэмминга

16.2.2. Циклические коды

16.2.3. Коды Рида-Соломона

V. Помехоустойчивость

17. Помехоустойчивость систем передачи дискретных сообщений

17.1. Основные понятия и термины

17.2. Бинарная задача проверки простых гипотез

17.3. Приём полностью известного сигнала (когерентный приём)

17.4. Согласованная фильтрация

17.5. Потенциальная помехоустойчивость когерентного приёма

17.6. Некогерентный приём

17.7. Потенциальная помехоустойчивость некогерентного приёма

18. Помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообщений

18.1. Оптимальное оценивание сигнала

18.2. Оптимальная фильтрация случайного сигнала

18.3. Потенциальной помехоустойчивости передачи непрерывных сообщений

19. Адаптивные устройства подавления помех

19.1. Основы адаптивного подавления помех

19.2. Подавление стационарных помех

19.3. Адаптивный режекторный фильтр

19.4. Адаптивный высокочастотный фильтр

19.5. Подавление периодической помехи с помощью адаптивного устройства предсказания

19.6. Адаптивный следящий фильтр

19.7. Адаптивный накопитель

VI. Многоканальная связь и распределение информации

20. Многоканальная связь и распределение информации

20.1. Частотное разделение каналов

20.2. Временное разделение каналов

20.3. Кодовое разделение каналов

20.4. Синхронизация в спи с многостанционным доступом

20.5. Коммутация в сетях связи

VII. Эффективность систем связи

21. Оценка эффективности и оптимизация параметров телекоммуникационных систем (ткс)

21.1. Критерии эффективности

21.2. Эффективность аналоговых и цифровых систем

21.3. Выбор сигналов и помехоустойчивых кодов

22. Оценка эффективности радиотехнической системы связи

22. 1. Тактико-технические параметры радиотехнической системы связи

22.2. Оценка отношения сигнал/помеха на входе радиоприемники радиотехнической системы связи

22.3. Оптимальная фильтрация непрерывных сигналов

22.4. Количество информации при приёме дискретных сигналов радиотехнической системы связи

22.5. Количество информации при оптимальном приёме непрерывных сигналов

22.6. Выигрыш в отношении сигнал/помеха

22.7. Пропускная способность каналов радиотехнической системы связи

VIII. Теоретико-информационная концепция криптозащиты сообщений в телекоммуникационных системах

23. Основы криптозащиты сообщений в системах связи

23.1. Основные понятия криптографии

23.2. Метод замены

23.3. Методы шифрования на основе датчика псевдослучайных чисел

23.4. Методы перемешивания

23.5. Криптосистемы с открытым ключом

13.6. Цифровая подпись

Заключение

Список сокращений

Основные обозначения

Литература

Теория электрической связи

I. Сообщения, сигналы и помехи, их математические модели

1. Общие сведения о системах электрической связи

1.1. Информация, сообщения, сигналы и помехи

Системы связи предназначены для передачи информации. Информация передается посредством сообщений. Таким образом, сообщение – форма представления информации.

Примерами сообщений могут служить текст телеграммы, фраза в телефонном разговоре, последовательность цифр при передаче данных, изображение в системе фототелеграфии, последовательность изображений (кадров) в системе телевидения и т.п. Сообщение представляет собой совокупность знаков (символов).

Например, текст телеграммы состоит из букв, цифр, пробелов и специальных знаков, а телеграфное сообщение, готовое для передачи по каналу связи, – из канальных символов (например, из «точек», «тире» и пауз при использовании «азбуки Морзе»).

В системе черно-белого телевидения сообщением является последовательность кадров, каждый из которых, в свою очередь, представляет собой последовательность значений яркости, упорядоченных согласно схеме телевизионной развертки. В телефонии сообщение – непрерывная последовательность значений напряжения (тока), отображающая изменение во времени звукового давления на мембрану микрофона.

Из приведенных примеров становится ясно, что сообщения могут быть дискретными (состоящими из символов, принадлежащих конечному множеству – алфавиту) или непрерывными (континуальными, аналоговыми), описываемыми функциями непрерывного времени.

Для передачи сообщения необходим материальный носитель, называемый сигналом. Сигналом может быть свет костра, удар барабана, звук речи или свистка, предмет, находящийся в условленном месте, взмах флажка или шпаги и т.п.

В радиотехнике и электрической связи используются электрические сигналы, которые благодаря простоте их генерирования и преобразования наилучшим образом приспособлены для передачи больших объемов данных на большие расстояния. Заметим, что в современных каналах связи и устройствах хранения данных электрические сигналы зачастую преобразуются в оптические или магнитные, но, как правило, предполагается их обратное преобразование.

Естественной формой представления сигнала считается его описание некоторой функцией времени (зависимой переменной чаще всего является напряжение или ток).

В современных системах связи используются разнообразные сигналы с различными свойствами. Эти сигналы могут быть классифицированы, хотя любая классификация достаточна условна. На рис. 1.1. представлена классификация, в основу которой положен принцип математического описания сигналов, используемый для теоретического изучения и проведения расчетов.

Математическое описание и представление сигналов позволяет создать математическую модель сигнала.

Если математическая модель позволяет точно описать сигнал, то такой сигнал называется детерминированным. В случае невозможности точного описания сигнала в любые моменты времени, сигнал называется случайным.

Высокочастотное модулированное колебание называется радиосигналом.

Сигнал без высокочастотного заполнения является видеосигналом.

Если сигнал может быть описан функцией s (t ) = s (t + T ), где T – период, он называется периодическим.

Рис. 1.1. Классификация сигналов

При невозможности такого представления, сигнал является непериодическим.

Сигнал, описывающий во времени непрерывно изменяющийся процесс, называется аналоговым. Сигнал конечной длительности является импульсным.

Иногда удобно передавать только значения непрерывного сигнала (отсчеты или выборки), взятые в отдельные моменты времени. Такой квантованный по времени сигнал называется дискретным. Если же передавать не сами выборки в виде коротких импульсов, а их числовые значения, то сначала необходимо эти значения получить. Эта процедура в технике связи называется квантованием по уровню. Таким образом, сигнал, квантованный по времени и уровню, называется цифровым.

Интересно отметить, что детерминированные сигналы не несут в себе никакой информации. Однако с их помощью возможно передавать информацию, если случайным будет расположение сигналов на временной оси. Например, телеграфный сигнал состоит из семи импульсов прямоугольной формы с заданными параметрами рис. 1.3, г. Первый (стартовый) и последний (стоповый) импульсы обозначают начало и конец посылки. Информационное содержание посылки зависит от передаваемой в данный момент буквы алфавита и представляет соответствующую этой букве комбинацию токовых и безтоковых посылок.

На рис. 1.2. представлена другая возможная классификация сигналов.

Рис. 1.2. Классификация сигналов

По виду передаваемых сообщений сигналы, например, можно разделить на радиовещательные, телевизионные, телеграфные и т. д.

По полосе частот сигналы обычно подразделяются на узкополосные и широкополосные.

Для широкополосных сигналов ΔF /F ср >> 1, где

ΔF = F max - F min – абсолютная ширина спектра сигнала,

F ср = (F max + F min)/2 – средняя частота спектра сигнала,

F max – максимальная частота в спектре сигнала,

F min – минимальная частота в спектре сигнала.

Для узкополосных сигналов ΔF /F ср < 1.

Сигналы так же делятся на сложные и простые в зависимости от величины базы сигнала В (произведение длительности сигнала на ширину полосы его спектра).

Для сложных сигналов В > 1,

где ΔF ∙ΔТ – база сигнала, ΔF – абсолютная ширина спектра сигнала, ΔТ – длительность сигнала.

Для простых сигналов В = 1.

По виду модуляции сигналы различаются по признаку того параметра, который изменяется по закону передаваемого сообщения. Так как любое гармоническое колебание характеризуется амплитудой, частотой и мгновенной фазой, то и радиосигналы бывают с амплитудной модуляцией (АМ), с частотной (ЧМ) и фазовой модуляцией (ФМ). В настоящее время в системах связи используется большое разнообразие сигналов со сложными видами модуляции, например, с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ), Кодово-импульсной модуляцией (КИМ), широтно-импульсной модуляцией (ШИМ). К настоящему времени разработан не один десяток сложных видов модуляции и, естественно, большое количество соответствующих сигналов с различными характеристиками.

На рис. 1.3 приведены осциллограммы различных, широко применяемых в системах связи, сигналов.

На этом рисунке изображены следующие сигналы: а – периодический импульсный, б – непрерывный (аналоговый) радиосигнал с АМ, в – дискретный, г – случайный, д – цифровой кодированный, е – цифровой с АМ, ж – цифровой с ЧМ, з – цифровой с ФМ, и – цифровой с фазовой манипуляцией.

Необходимо также отметить, что жесткой классификации к реальным сигналам применить невозможно. Например, сигнал (рис. 1.3, а) можно классифицировать как детерминированный периодический импульсный видеосигнал, а сигнал (рис. 1.3, з) как случайный цифровой радиосигнал с ЧМ.

Рис. 1.3. Осциллограммы сигналов, применяемых в системах связи

Кроме перечисленных, используются и другие признаки классификации сигналов, например, иногда различают информационные и управляющие сигналы (колебания) и т. д. Некоторые из перечисленных типов сигналов будут в дальнейшем рассмотрены подробнее.

В теории электрической связи принято рассматривать сигнал как «объект транспортировки». С этой точки зрения сигнал можно описать тремя «габаритными характеристиками», подобными длине, ширине и высоте груза, перевозимого, скажем, по железной дороге. Первая из таких характеристик – длительность сигнала T с, измеряемая в секундах (с). Любой сигнал можно представить суммой (суперпозицией) гармонических колебаний с определенными частотами, поэтому вторая «габаритная характеристика» – ширина спектра, или полоса частот сигнала ΔF с, равная разности наивысшей и низшей частот его гармонических составляющих и измеряемая в герцах (Гц). Третьей «габаритной» характеристикой служит динамический диапазон, измеряемый в децибелах (дБ) и определяемый формулой

D c = 20lg(Х max / Х min),

где Х max и Х min – соответственно максимальное и минимальное возможные значения сигнала (напряжения или тока). Произведение этих трех величин называется объемом сигнала:

V c =T c ΔF c D c

Полезные сигналы отличаются от мешающих тем, что полезные сигналы служат для передачи сообщений, в то время как мешающие являются причиной их искажения (потери информации).

Часто полезный сигнал называют просто сигналом, а мешающий – помехой. Сигналы и помехи, рассматриваемые в совокупности, будем называть колебаниями.

Помехи могут быть естественными и преднамеренными (искусственными), шумовыми (флюктуационными) и импульсными, активными и пассивными и т.д.

Необходимо отметить, что одно и то же колебание может быть полезным сигналом по отношению, например, к одной системе связи или радиолокации и помехой – по отношению к другой.

Стоит также отметить, что все помехи, как и все сигналы, являются случайными (если помеха детерминированна, то её можно исключить из наблюдаемого колебания и таким образом избавиться от её вредного воздействия на сообщение).

На рис. 1.4 приведены примеры случайного сигнала и случайной (шумовой) помехи.

Рис. 1.4. Случайный (речевой) сигнал (а) и случайная помеха (шум) (б)

По способу взаимодействия с сигналом помехи подразделяются на аддитивные (от английского add – складывать), мультипликативные (от английского multiply – умножать) и смешанные (сюда относятся все взаимодействия, не сводимые к аддитивному или мультипликативному).

3. Модулированные сигналы. Теория передачи сигналов

3. Модулированные сигналы

3.1. Аналитическое представление модулированных колебаний

Модулированные сигналы различаются по виду переносчика (несущей) и по его модулированным параметрам. В качестве переносчиков в настоящее время широко используются гармонические колебания, периодическая последовательность импульсов и узкополосный случайный процесс. Каждый из этих переносчиков характеризуется определенным числом параметров. Параметры, изменяющиеся во времени под действием передаваемого сообщения, называются информационными, так как в их изменениях заложена передаваемая информация. Параметры, которые остаются неизменными, являются постоянными признаками сигнала; они могут быть использованы на приеме для отличения сигнала от помех. Во многих случаях модулированный сигнал можно представить как произведение двух функций

где - функция, представляющая несущее колебание (переносчик), а - модуляционная функция, выражающая воздействие передаваемого сообщения u (t ) на несущую f (t ). Когда для представления несущей выбирается аналитический сигнал (2.98), то для каждой модуляционной функции M (t ) существует комплексный модулированный сигнал s (t ). При аналитическом представлении сигнала его действительная и мнимая части соответствуют реально существующему модулированному сигналу, а его модуль определяет огибающую. В случае, когда несущей является гармоническое колебание , модуляционная функция выражает воздействие видеосигнала u (t ) на амплитуду (частоту или фазу) несущей.

Спектр модулированного колебания (3.1) согласно теореме о спектре произведения определяется сверткой

(3.2)

Отсюда следует, что процесс модуляции приводит к сложному преобразованию спектра сигнала. Если несущая представляет собой узкополосное колебание, то модуляция приводит к расширению спектра и переносу его в область около несущей частоты (рис. 3.1 а). Если несущая - чистая синусоида, то имеет место простое смещение спектра (рис. 3.1 б). Если несущая записывается в форме аналитического сигнала, спектр которого существует только для положительных частот, то частотное преобразование относится только к положительным частотам, как показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Смещение спектра при модуляции: общий случай аналитической несущей (а), случай гармонической несущей (б)

3.2. Основные виды аналоговой модуляции

К основным видам аналоговой модуляции относятся амплитудная модуляция (AM), фазовая модуляция (ФМ) и частотная модуляция (ЧМ). Разновидностями AM являются балансная (БМ) и однополосная (ОМ) модуляции.

Непосредственная передача. Наиболее простым сигналом для передачи непрерывного сообщения u (t ) является сигнал, пропорциональный u (t ):

s (t )= Au (t ), (3.3)

где А - некоторая постоянная. Такой сигнал соответствует форме (3.1), если в ней положить f (t )= A и М [ u (t )]= u (t ). Примером такой непосредственной передачи сообщений является обычная телефонная связь по проводам.

Амплитудная модуляция. Для этого вида модуляции: f (t )=,

где т - коэффициент модуляции.

Модулированный сигнал запишется

Это выражение даёт представление реального AM сигнала

Спектр сигнала в общем случае определяется как преобразование Фурье от s (t ):

Учитывая, что и

где - спектр передаваемого сообщения. Отсюда видно, что при AM происходит перенос спектра сообщения на частоту (рис. 3.16). Ширина спектра сигнала F при AM в два раза шире спектра сообщения Fm :

u (t )=,

Из этого выражения следует, что амплитуда модулированного сигнала изменяется от до , а мощность сигнала соответственно от до

Где мощность несущего колебания. Средняя мощность AM сигнала равна:

При m=l и Pcp =1,5 PH ; отношение средней мощности к максимальной равно 0,375. "Эти соотношения указывают на существенный недостаток амплитудной модуляции - плохое использование мощности передатчика.

Балансная модуляция (БМ). Кроме обычной AM применяется передача AM без несущей - балансная модуляция. Для этого вида модуляции:

f (t )=, (3.7)

Спектр сигнала при БМ

Здесь имеются только две боковые полосы - несущая отсутствует.

При однополосной модуляции (ОМ) передается только одна боковая полоса. Для этого вида модуляции при передаче верхней боковой полосы:

f (t )=, (3.10)

Спектр сигнала ОМ

(3.12)

Действительно, если разложить функции u (t ) и (t ) в ряд Фурье:

и учесть, что cosx; и sinx являются парой преобразования Гильберта, по получим

Такое представление является аналитическим для всех >0. Замена модуляционной функции [ u (t )] на сопряженную ей *[ u (t )]= u (t )- i (t ) дает форму сигнала s (t ), соответствующую нижней боковой полосе.

Системы БМ и ОМ позволяют сократить бесполезный расход энергии на составляющую несущей частоты, а при ОМ дополнительно вдвое сократить ширину спектра передаваемого сигнала. Однако реализация указанных преимуществ требует более сложной аппаратуры.

Угловая модуляция. В случае угловой модуляции (ЧМ и ФМ) модуляционная функция имеет вид

При синусоидальной несущей f (t )= модулированный сигнал будет иметь следующее выражение:

Реальный сигнал

Это обычное представление сигнала с угловой модуляцией. Согласно (3.15) полная фаза высокочастотного колебания равна:

(3.16)

а мгновенная частота колебания изменяется по закону производной от , т. е.

(3.17)

Наоборот, при изменении частоты по закону ω(t ) (3.17) фаза колебания ψ(t) будет изменяться по закону интеграла от ω(t ):

(3.18)

В случае фазовой модуляции . Тогда на основании (3.15) и (3.16) имеем:

(З.19) (3.20)

При частотной модуляции по закону передаваемого сообщения изменяется частота несущего колебания

(3.21)

где- амплитуда частотного отклонения (девиация частоты). Полная фаза колебания при этом будет равна:

Тогда выражение ЧМ сигнала запишется в виде

При модуляции одним тоном, когда и (t )= cosΩt , выражения сигнала при ФМ и ЧМ по форме имеют одинаковый вид:

где т - индекс модуляции: при ФМ при ЧМ

Для определения спектра сигнала заменим в (3.24) косинус суммы двух углов по известным формулам из тригонометрии

Здесь для упрощения записи мы положим =0. Из теории бесселевых функций известны следующие соотношения:

где - бесселева функция первого рода k - г o порядка от аргумента т. После подстановки (3.26) и (3.27) в (3.25) получаем

Таким образом, оказывается, что даже при синусоидальных ЧМ и ФМ получается теоретически безграничный спектр. Он состоит из несущей ω0 и двух боковых полос . Амплитуда несущей А010(т) при ЧМ и ФМ. в отличие от AM, зависит от модулирующего колебания. При некоторых значениях т она может быть вообще равна нулю (т =2, 3; 5,4). Амплитуда боковых частот равна . Однако практически ширина спектра ЧМ и ФМ сигналов ограничена.

Рис. 3.2. Спектр сигнала с угловой модуляцией

На рис. 3.2 приведен спектр сигнала с угловой модуляцией одним тоном при m=5. Как видим, амплитуды боковых частот быстро убывают с увеличением номера гармоники k . При k > m составляющие спектра малы и ими можно пренебречь. Практически ширина спектра сигнала при угловой модуляции равна F=2(m+l)Fm, где F т = частота модулирующего колебания.

Различие между ЧМ и ФМ проявляется только при изменении частоты модуляции Ω. При ЧМ т=, поэтому при m >>1 полоса практически не зависит от Fm . При ФМ b

при m>>1 ширина спектра будет равна F =2 ΔφfmFm т. е. она зависит от модулирующей частоты Fm . В этом и состоит различие в спектрах ЧМ и ФМ.

В случае малого индекса модуляции спектр ЧМ и ФМ сигналов, так же как и в случае AM, имеет только три составляющие:

Это непосредственно следует из (3.28), если учесть, что при m << l sin (msinΩt ) msinΩt , а cos (msinΩt ) 1.

Сравнение (3.6) и (3.29) показывает, что различие спектров сигналов при AM и угловой модуляции заключается только в сдвиге фазы колебания нижней боковой частоты на 180° относительно его положения при AM. Это различие существенно и иллюстрируется векторными диаграммами, изображенными на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Векторные диаграммы: AM сигнала (а), ЧМ сигнала (ш<1) (б)

Однополосная угловая модуляция. Если функция - аналитическая:

то сигнал

также является аналитической функцией при . Он не содержит отрицательных частот, хотя и имеет бесконечный спектр в области положительных частот:

Выражение (3.30) определяет новый модулированный сигнал. Этот сигнал представляет собой вариант сигнала однополосной угловой модуляции. Для доказательства этого рассмотрим случай частотной модуляции одним тоном u (t ) = sinΩt . Для этого случая функция φ(t ) и ее преобразование Гильберта принимают вид:

Где индекс модуляции. Модулирующая функция при этом преобразуется к виду

, а модулированный сигнал

Отсюда видно, что спектр модулированного сигнала состоит из одной боковой полосы частот. Сигнал однополосной ЧМ можно получить из обычного ФМ сигнала путем преобразования Гильберта (например, посредством фазового сдвига на ) и модуляции амплитуды по экспоненциальному закону. Тогда ограничение такого сигнала в приемнике восстановит нижнюю боковую полосу частот и позволит применить для детектирования обычный дискриминатор.

3.3. Сигналы при дискретной модуляции

При дискретной модуляции закодированное сообщение u (t ), представляющее собой последовательность кодовых символов {}, преобразовывается в последовательность элементов сигнала {} . Последние отличаются от кодовых символов лишь электрическим представлением. В частном случае дискретная модуляция состоит в воздействии кодовых символов {а i } на переносчик f (t ). Такая дискретная модуляция аналогична непрерывной.

Посредством модуляции один из параметров переносчика изменяется по закону, определяемому кодом. При непосредственной передаче переносчиком может быть постоянный ток, изменяющимися параметрами которого являются величина и направление. Обычно же в качестве переносчика, как и при непрерывной модуляции, используется переменный ток (гармоническое колебание). В этом случае можно получить амплитудную (AM), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ) модуляции. Дискретную модуляцию часто называют манипуляцией, а устройство, осуществляющее дискретную модуляцию (дискретный модулятор), называют манипулятором или генератором сигналов.

На рис. 3.4 приведены графики сигналов при различных видах манипуляции. При AM символу 1 соответствует передача несущего колебания в течение времени (посылка), символу 0 - отсутствие колебания (пауза). При ЧМ передача несущего колебания с частотой соответствует символу 1, а передача колебания соответствует 0. При ФМ меняется фаза несущей на 180° при каждом переходе от 1 к 0 и от 0 к 1.

Рис. 3.4. Сигналы при различных видах дискретной модуляции

Наконец, в настоящее время применяется относительная фазовая модуляция (ОФМ). В отличие от ФМ, в системе ОФМ фаза несущего колебания изменяется на 180° при передаче символов 1 и остается неизменной при передаче символов 0.

При ОФМ манипуляция каждой данной посылки осуществляется относительно предыдущей. Очевидно, таким способом можно манипулировать (изменять) любой параметр несущего колебания: при изменении частоты получим относительную частотную манипуляцию (ОЧМ), при изменении амплитуды относительную амплитудную манипуляцию (ОАМ). Дельта-модуляция, о которой мы упоминали в § 1.6, также является одним из видов относительной манипуляции.

Рассмотрим спектры сигналов при некоторых видах дискретной модуляции. Будем полагать, что модуляция производится двоичным сообщением u (t ), представляющим собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов с периодом .

Амплитудная манипуляция. Сигнал AM можно записать в виде

где периодическая функция u (t ) на интервале равна:

(3.33)

Представим u (t ) рядом Фурье

(3.34)

Тогда сигнал AM запишется в виде

(3.35)

Рис. 3.5. Спектр сигнала при амплитудной манипуляции

Спектр сигнала AM, построенный по ф-лам (3.35), показан на рис. 3.5. Он состоит из несущего колебания с амплитудой и двух боковых полос, спектральные составляющие которых имеют амплитуды

(3.36)

Огибающая спектра дискретного сигнала AM выражается формулой

(3.37)

т. е. представляет собой смещенный на частоту спектр одиночного импульсного сигнала u (t ).

Фазовая манипуляция. Сигнал ФМ можно записать в виде

Периодическая функция, определяющая закон изменения фазы на интервале , выражается формулой

(3.39)

Подстановка (3.39) в выражение (3.38) дает

Представим u (t ) рядом Фурье

Тогда сигнал ФМ запишется в виде

(3.40)

Рис. 3.6. Спектры сигналов при фазовой манипуляции

Спектр сигнала ФМ для различных значений девиаций фазы , построенной на основании ф-лы (3.40), показан на рис. 3.6. Он состоит из несущего колебания и двух боковых полос. Амплитуда несущего колебания зависит от : и при =- обращается в 0. Амплитуды спектральных составляющихв боковых полосах также зависят от . При увеличении от 0 до , как видно из рис. 3.6, амплитуда несущего колебания убывает до нуля, а амплитуды боковых частот увеличиваются.

Когда =- вся энергия сигнала ФМ содержится только в боковых полосах. Так же, как и при AM, огибающая дискретного спектра боковых частот представляет собой смещенный на частоту спектр одиночного импульсного сигнала u (t ), умноженный нa sin:

(3.41)

Аналогично определяется спектр сигнала при частотной манипуляция.

3.4. Сигналы при импульсной модуляции

В системах связи с импульсной модуляцией переносчиком Информации служит периодическая последовательность импульсов одинаковой формы

(3.42)

где U (t ) - нормированная функция, характеризующая форму импульса; A 0 - амплитуда импульса; - начало переднего фронта k -го импульса ; - период следования импульсов; - начало отсчета последовательности; - длительность k -го импульса, отсчитываемая на некотором заданном уровне.

3.7. Сигналы при различных видах импульсной модуляции

При модуляции один из параметров последовательности изменяется в соответствии с передаваемым сообщением (рис. 3.7). Так, при амплитудно-импульсной модуляции (АИМ) изменяется амплитуда импульса А:

(3.43)

Рис. 3.8. Параметры периодической последовательности прямоугольных импульсов

При широтно-импульсной модуляции (ШИМ) изменяется длительность импульса

(3.44)

где - максимальное отклонение фронта импульсов в одну сторону.

При фазовой импульсной модуляции (ФИМ) изменяется сдвиг

импульсов относительно тактовых точек .

При частотно-импульсной модуляции (ЧИМ) в соответствии с

передаваемым сообщением изменяется частота следования импульсов.

Так же, как и при ФИМ, импульсы сдвигаются относительно тактовых точек, но в другой закономерности. Различие между ФИМ и ЧИМ аналогично различию между ФМ и ЧМ синусоидального переносчика.

Периодическую последовательность прямоугольных импульсов

(рис. 3.8) можно записать в следующем виде:

Такую последовательность импульсов можно представить рядом Фурье. В соответствии с выражениями (2.67) и (2.68) имеем

,где ,

В нашем случае

(3.47)

(3.48)

где

Спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов приведен на рис. 3.9. Амплитуды спектральных компонент определяются значениями модуля спектральной плотности || (3.47) на гармониках частоты повторения . Форма огибающей частотного спектра периодической последовательности определяется формой отдельного импульса. С увеличением периода повторения интервал частот между соседними спектральными компонентами сокращается, их число растет, а амплитуда каждой компоненты уменьшается при сохранении постоянного соотношения между ними. При неограниченном увеличении периодическая последовательность вырождается в одиночный импульс, а линейчатый спектр становится сплошным.

Рис. 3.9. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Спектр периодической последовательности радиоимпульсов получается из спектра последовательности видеоимпульсов переносом шкалы частот на несущую частоту и дополнением полученного спектра его зеркальным отображением.

При модуляции параметры, входящие в выражения (3.46) и (3.48), являются функциями времени:. Модулированная последовательность будет представлять теперь уже непериодическую функцию, деформированную относительно исходной:

или согласно (3.48)

Полученная формула определяет частотный спектр деформированной последовательности импульсов. Для получения спектров сигналов при различных видах модуляции в ф-лу (3.50) необходимо подставить соответствующее выражение модулированного параметра.

Для примера найдем спектр при АИМ. При модуляции одним тоном u (t )= sinΩ (t ) и A = A 0 (1+ msinΩt ); остальные параметры последовательности неизменны:

После подстановки этих значений в (3.50) и несложных тригонометрических преобразований для частотного спектра АИМ сигнала получаем

На рис. 3.10 приведен график спектра АИМ сигнала. Сравнение его с рис. 3.9 показывает, что при АИМ модулируется по амплитуде каждая составляющая спектра немодулированной последовательности импульсов как изолированная «несущая». В спектре содержится низкочастотное модулирующее сообщение u (t ) с частотой Ω, следовательно, демодуляция при АИМ может быть осуществлена с помощью фильтра нижних частот, пропускающего низкочастотное колебание u (t ).

Аналогично определяется спектр и для других видов импульсной модуляции. Для вычисления спектра при ФИМ в (3.50) необходимо подставить выражение (3.45), определяющее изменение положения импульса в соответствии с передаваемым сообщением, а при ШИМ - выражение (3.44), определяющее изменение длительности импульса.

При импульсно-кодовой модуляции (ИКМ) передача отдельных значений сигнала сводится к передаче определенных групп импульсов. Эти группы передаются друг за другом через относительно большие промежутки времени по сравнению с длительностью отдельных импульсов. Каждая кодовая группа импульсов представляет собой регулярный непериодический сигнал, спектр которого может быть вычислен на основании преобразований Фурье обычным образом.

Рис. 3.10. Спектр АИМ сигнала

Ширина спектра последовательности импульсов практически не зависит от частоты повторения и определяется, главным образом, шириной спектра одного импульса. При наличии модуляции любого вида спектр расширяется незначительно за счет боковых частот крайних составляющих спектра немодулированных импульсов. Поэтому рабочая полоса частот, занимаемая импульсными сигналами, практически не зависит от вида модуляции и определяется длительностью и формой импульса.

3.5. Энергетический спектр модулированных сигналов

До сих пор мы рассматривали модуляцию несущего колебания детерминированным процессом u (t ), который отображает определенное сообщение или отдельную его реализацию. Совокупность же возможных сообщений представляет собой некоторый случайный процесс. Так, при передаче речи или музыки статистические свойства передаваемых сообщений очень близки к свойствам нормального случайного процесса. Важнейшими характеристиками колебания, модулированного случайным процессом, являются функция корреляции и энергетический спектр.

Следует подчеркнуть, что модулированный сигнал является нестационарным случайным процессом даже тогда, когда модулирующие процессы (сообщения) стационарны. Энергетический спектр нестационарного случайного процесса определяется посредством двукратного усреднения - по множеству и по времени. Сначала определяется усредненная по времени корреляционная функция, а затем обратным преобразованием Фурье - искомый энергетический спектр.

Рассмотрим случай, когда передаваемое сообщение u (t ) представляет собой стационарный процесс с u (t )=0, а переносчик - гармоническое колебание .

При амплитудной модуляции

s (t ) = А0 cos ω 0 t ,

где m - среднеквадратическое значение коэффициента модуляции. Функция корреляции модулированного сигнала

где Bu (t ) - функция корреляции передаваемого сообщения u (t ). Как видим, функция B (t , τ) зависит от времени, что указывает на нестационарность модулированного сигнала. После усреднения по времени получаем

Применяя к В (τ) преобразование Фурье (2.84), находим энергетический спектр сигнала при AM

Таким образом, спектр модулированного по амплитуде гармонического колебания случайным процессом состоит из несущего колебания с частотой и смещенного на спектра передаваемого сообщения u (t ).

Сигнал при угловой модуляции (ЧМ и ФМ) можно записать в общем виде

s (t ) = А0 cos ,

При ФМ , а при ЧМ.Здесь и - среднеквадратические значения девиации соответственно фазы и частоты.

Функция корреляции модулированного сигнала

При усреднении по времени первое слагаемое обращается в нуль. Второе слагаемое не зависит от времени t поэтому

Обозначим разность и по известной формуле представим косинус суммы двух углов в виде

Средние по множеству значения косинуса и синуса можно найти, если известен закон распределения вероятностей сообщения u (t ). Если u (t ) подчиняется нормальному закону, то , являющееся линейным преобразованием от u (t ), также будет иметь нормальное распределение с нулевым средним значением и дисперсией . Легко убедиться, что в этом случае:

Таким образом, усредненная по времени функция корреляции сигнала при угловой модуляции

(3.54)

Дисперсию процесса можно выразить через функцию корреляции или энергетический спектр сообщения u (t ). Действительно.

где - функция корреляции процесса . При , поэтому ; при ЧМ , где , поэтому . Далее можно определить энергетический спектр модулированного сигнала путем преобразования Фурье (2.81) от функции (3.54).

3.6. Модуляция шумовой несущей

В качестве переносчика можно использовать не только периодические колебания, но и узкополосный случайный процесс. Такие переносчики также находят практическое применение. Например, в оптических системах связи, в которых используется некогерентное излучение, сигнал, по существу, представляет собой узкополосный гауссов шум.

Согласно (2.36) узкополосный случайный процесс можно представить как квазигармоническое колебание

с медленно изменяющимися огибающей и фазой . При амплитудной модуляции в соответствии с передаваемым сообщением изменяется огибающая U (t ), при фазовой модуляции - фаза и при частотной - мгновенная частота .

Рассмотрим амплитудную модуляцию шумовой несущей. Выражение для модулированной несущей в этом случае можно записать в виде

y (t ) = f (t ), (3.57)

где f (t ) - переносчик, u (t ) - модулирующая функция (видеосигнал), m - коэффициент модуляции.

Предполагается, что модулирующий процесс u (t ) также представляет собой стационарный нормальный процесс со средним значением, равным нулю u (t ) = 0. Процессы f (t ) и u (t ) независимы. При этих ограничениях функция корреляции модулированной по амплитуде шумовой несущей будет

Теперь находим энергетический спектр

Первый интеграл дает энергетический спектр шумовой несущей . Для второго интеграла на основании теоремы о спектре произведения имеем

Окончательно спектр модулированной несущей будет равен:

Таким образом, спектр модулированной по амплитуде шумовой несущей получается суперпозицией спектра несущей и свертки этого спектра со спектром передаваемого сообщения, сдвинутого в область высоких частот на величину .Аналогично определяются функция корреляции и энергетический спектр при ФМ и ЧМ.

Применение «шумовых» сигналов позволяет ослабить влияние замираний в каналах с многолучевым распространением радиоволн. Поясним это на простейшем примере. Пусть на вход приемника поступают сигналы двух лучей и сдвигом на τ . время т. Мощность результирующего сигнала, определяемая за достаточно большое время Т,

где - функция корреляции сигнала, Р0 - его средняя мощность. Функция корреляции шума быстро убывает с увеличением т и тем быстрее, чем шире его спектр. Следовательно, при достаточно большой ширине спектра можно считать 0 и , т. е. средняя мощность принятого сигнала, несмотря на замирания, остается примерно постоянной.

3.7. Шумоподобные сигналы

Применение в качестве переносчика реализаций реального шума связано с определенными трудностями, которые возникают при формировании и приеме таких сигналов. Поэтому на практике нашли применение шумоподобные сигналы. Эти сигналы не являются случайными. Они формируются по определенному алгоритму. Однако их статистические свойства близки к свойствам шума: энергетический спектр почти равномерный, а функция корреляции имеет узкий основной пик и небольшие боковые выбросы. Шумоподобные и шумовые сигналы относятся к типу широкополосных сигналов (TF >>1).

В настоящее время известны методы формирования шумоподобных сигналов, которые при большой базе 2TF позволяют независимо воспроизводить их на приемном и передающем концах и отвечают требованиям синхронизации этих сигналов.

Широкое применение находят дискретные сигналы, которые строятся следующим образом. Информационная посылка длительностью Т разбивается на N бинарных элементов длительностью (рис. 3.11). Такое разбиение позволяет получить сигнал длительностью Т с полосой - и значением базы 2 TF . Последовательности бинарных элементов образуют коды, которые выбираются так, чтобы обеспечить заданные свойства сигнала. С помощью модуляции или гетеродинирования формируется высокочастотный сигнал, который передается по каналу. Часто при этом используется модуляция фазы на два положения: 0 и π

Функция корреляции дискретных сигналов при достаточно большом значении числа элементов N имеет главный максимум, сосредоточенный в области , и боковые лепестки, имеющие сравнительно малый уровень (рис. 3.11). Эта функция сильно напоминает функцию автокорреляции отрезка шума с полосой F . Отсюда и произошло название шумоподобные сигналы.

В системах связи, в которых используются шумоподобные (составные) сигналы, каждый элемент сообщения передается не одним, а несколькими элементами сигнала, несущими (повторяющими) одну и ту же информацию. Число N может достигать нескольких сотен и даже тысяч. Как будет показано в дальнейшем, это позволяет реализовать накопление сигнала, обеспечивающее высокую помехоустойчивость даже в том случае, когда уровень сигнала ниже уровня помех.

Рис. 3.11. Принцип построения сложного широкополосного сигнала

Обширный класс дискретных сигналов строится на основе линейных рекуррентных последовательностей. Эти сигналы имеют хорошие корреляционные свойства и сравнительно несложную практическую реализацию. Структура сигналов имеет случайный характер, хотя способ их формирования вполне регулярен. Непрерывные ФМ сигналы, построенные на основе рекуррентных последовательностей, могут иметь почти идеальную автокорреляционную функцию.

Среди линейных рекуррентных последовательностей особое место занимают псевдослучайные М -последовательности Хаффмена. Они представляют собой совокупность N периодически повторяющихся символов , каждый из которых может принимать одно из двух значений: +1 или -1. Это значение определяется взятым с противоположным знаком произведением значений двух или большего числа (но всегда четного) предыдущих сигналов

и . Почти каждому целому числу п соответствует несколько чисел k , при которых по правилу (3.60) образуется последовательность.

Из выражения (3.63) следует, что число N является максимальным периодом бесконечной последовательности Хаффмена. Могут образоваться также последовательности меньшего периода. Максимальное число различных последовательностей максимального периода для любого п равно:

(3.64)

где - функция Эйлера.

Бинарные псевдослучайные последовательности Хаффмена обладают рядом замечательных свойств. Нормированная функция автокорреляции в непрерывном режиме работы имеет главный максимум, равный единице, и одинаковые по величине боковые лепестки, равные . Функция взаимной корреляции для различных последовательностей равна -1/М. В импульсном режиме работы уровень боковых лепестков не превышает величины . Различные последовательности при заданном п отличаются как порядком чередования символов +1 и -1, так и максимальным значением боковых лепестков. При этом можно указать последовательность, у которой максимальный уровень боковых лепестков будет наименьшим среди возможных последовательностей для заданного п. Генерирование псевдослучайных последовательностей Хаффмена сравнительно просто осуществляется с помощью регистров сдвига.

Кроме сигналов Хаффмена, практическое применение находят и другие виды дискретных сигналов. Можно указать сигналы ПэлиПлоткина, последовательность символов Лежандра, коды Баркера, многофазные коды Фрэнка . Возможны, наконец, различные варианты составных сигналов.

В радиолокации широко применяются сигналы с линейным изменением частоты внутри импульса (ЛЧМ). Объясняется это тем,. что сигналы ЛЧМ имеют хорошие корреляционные свойства и прием их легко может быть осуществлен с помощью согласованных фильтров.

Шумоподобный сигнал может подвергаться всем известным способам модуляции. При амплитудной модуляции изменяются амплитуды всех его элементов. При частотной модуляции варианты сигнала отличаются средней частотой, при фазовой - разностью фаз между элементами двух посылок.

Специфическим видом модуляции, свойственным только широкополосным системам связи, является структурная модуляция или модуляция по форме сигнала. В этом случае в качестве вариантов сигнала используются колебания, построенные из одинаковых элементов, но с разным взаимным расположением этих элементов. Например, двоичную передачу можно осуществить с помощью сигналов вида:

Аналогично строятся многопозиционные широкополосные системы со структурной модуляцией. В этом случае используется ансамбль шумополобных сигналов . При этом, конечно, различие между этими сигналами должно быть достаточным для их разделения на приеме. С этой точки зрения большой интерес представляют противоположные и ортогональные сигналы.

Вопросы для повторения

1. Изобразите векторные диаграммы AM и ЧМ сигналов.

2. Определите среднюю мощность AM сигнала.

3. При каком виде модуляции ширина спектра сигнала минимальна? Чему она равна? Чему равна ширина спектра ЧМ сигнала?

4. Перечислите основные виды дискретной модуляции. Поясните принцип ОФМ.

5. Докажите, что при спектр сигнала при фазовой манипуляции ничем не отличается от спектра сигнала при балансной модуляции.

6. Назовите основные виды импульсной модуляций. Поясните их принцип.

7. Чем в основном определяется ширина спектра сигнала при импульсной модуляции?

8. Поясните принцип модуляции шумовой несущей.

9. Изобразите графически смещение спектра при шумовой и гармонической несущих.

10. Поясните принцип построения дискретных шумоподобных сигналов. Приведите примеры.

11. Является ли дискретная псевдослучайная последовательность случайным процессом? В чем ее сходство с шумом?

12. Как осуществляется модуляция шумоподобных сигналов?