Метод ветвей и границ описание. Метод ветвей и границ целочисленного программирования. Основные понятия

Одна из самых известных и важных задач транспортной логистики (и класса задач оптимизации в целом) – задача коммивояжера (англ. «Travelling salesman problem», TSP ). Также встречается название «задача о бродячем торговце ». Суть задачи сводится к поиску оптимального, то есть кратчайшего пути проходящего через некие пункты по одному разу. Например, задача коммивояжера может применяться для нахождения самого выгодного маршрута, позволяющего объехать определенные города со своим товаром по одному разу и вернуться в исходную точку. Мерой выгодности маршрута будет минимальное время, проведенное в пути, минимальные расходы на дорогу или, в простейшем случае, минимальная длина пути.

Кто и когда впервые начал исследовать задачу коммивояжера неизвестно, но одним из первых предложил решение подобной проблемы выдающийся математик XIX в. – Уильям Гамильтон. Здесь мы рассмотрим замкнутый вариант задачи (т.е. такой, когда в итоге мы возвращаемся в исходную точку) и ее решение методом ветвей и границ .

Общий план решения задачи коммивояжера

Для решения задачи коммивояжера методом ветвей и границ необходимо выполнить следующий алгоритм (последовательность действий):

1. Построение матрицы с исходными данными.
2. Нахождение минимума по строкам.
3. Редукция строк.
4. Нахождение минимума по столбцам.
5. Редукция столбцов.
6. Вычисление оценок нулевых клеток.
7. Редукция матрицы.
8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9.
9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута.

Более подробно эти этапы решения задачи о бродячем торговце раскрыты ниже.

Подробная методика решения задачи коммивояжера

В целях лучшего понимания задачи будем оперировать не понятиями графа, его вершин и т.д., а понятиями простыми и максимально приближенными к реальности: вершины графа будут называться «города», ребра их соединяющие – «дороги».

Итак, методика решения задачи коммивояжера:

1. Построение матрицы с исходными данными

Сначала необходимо длины дорог соединяющих города представить в виде следующей таблицы:

В нашем примере у нас 4 города и в таблице указано расстояние от каждого города к 3-м другим, в зависимости от направления движения (т.к. некоторые ж/д пути могут быть с односторонним движением и т.д.).

Расстояние от города к этому же городу обозначено буквой M. Также используется знак бесконечности. Это сделано для того, чтобы данный отрезок путь был условно принят за бесконечно длинный. Тогда не будет смысла выбрать движение от 1-ого города к 1-му, от 2-ого ко 2-му, и т.п. в качестве отрезка маршрута.

2. Нахождение минимума по строкам

Находим минимальное значение в каждой строке (di ) и выписываем его в отдельный столбец.

3. Редукция строк

Производим редукцию строк – из каждого элемента в строке вычитаем соответствующее значение найденного минимума (di).

В итоге в каждой строке будет хотя бы одна нулевая клетка .

4. Нахождение минимума по столбцам

5. Редукция столбцов

Вычитаем из каждого элемента матрицы соответствующее ему dj.

В итоге в каждом столбце будет хотя бы одна нулевая клетка .

6. Вычисление оценок нулевых клеток

Для каждой нулевой клетки получившейся преобразованной матрицы находим «оценку ». Ею будет сумма минимального элемента по строке и минимального элемента по столбцу, в которых размещена данная нулевая клетка. Сама она при этом не учитывается. Найденные ранее di и dj не учитываются. Полученную оценку записываем рядом с нулем, в скобках.

И так по всем нулевым клеткам:

7. Редукция матрицы

Выбираем нулевую клетку с наибольшей оценкой. Заменяем ее на «М ». Мы нашли один из отрезков пути. Выписываем его (от какого города к какому движемся, в нашем примере от 4-ого к 2-му).

Ту строку и тот столбец, где образовалось две «М» полностью вычеркиваем. В клетку, соответствующую обратному пути , ставим еще одну букву «М» (т.к. мы уже не будем возвращаться обратно).

8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9

Если мы еще не нашли все отрезки пути, то возвращаемся ко 2 -му пункту и вновь ищем минимумы по строкам и столбцам, проводим их редукцию, считаем оценки нулевых клеток и т.д.

Если все отрезки пути найдены (или найдены еще не все отрезки, но оставшаяся часть пути очевидна) – переходим к пункту 9 .

9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута

Найдя все отрезки пути, остается только соединить их между собой и рассчитать общую длину пути (стоимость поездки по этому маршруту, затраченное время и т.д.). Длины дорог соединяющих города берем из самой первой таблицы с исходными данными.

В нашем примере маршрут получился следующий: 4 → 2 → 3 → 1 → 4 .

Общая длина пути: L = 30 .

Практическое применение задачи коммивояжера

Применение задачи коммивояжера на практике довольно обширно. В частности ее можно использовать для поиска кратчайшего маршрута при гастролях эстрадной группы по городам, нахождения последовательности технологических операций обеспечивающей наименьшее время выполнения всего производственного цикла и пр.

Решение задачи коммивояжера онлайн

Галяутдинов Р.Р.

© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на

Метод ветвей и границ относится к комбинаторным методам решения целочисленных задач и применим как к полностью, так и к частично целочисленным задачам.

Суть метода ветвей и границ – в направленном частичном переборе допустимых решений. Будем рассматривать . Вначале она решается без ограничений на целочисленность. При этом находится верхняя граница F(x), так как целочисленное решение не может улучшить значение функции цели.

Далее в методе ветвей и границ область допустимых значений переменных (ОДЗП) разбивается на ряд непересекающихся областей (ветвление), в каждой из которых оценивается экстремальное значение функции. Если целое решение не найдено, ветвление продолжается.

Ветвление производится последовательным введением дополнительных ограничений. Пусть x k – целочисленная переменная, значение которой в оптимальном решении получилось дробным. Интервал [β k ] ≤ x k ≤ [β k ]+1 не содержит целочисленных компонентов решения. Поэтому допустимое целое значение x k должно удовлетворять одному из неравенств x k ≥[β k ]+1 или x k ≤[β k ]. Это и есть дополнительные ограничения. Введение их в методе ветвей и границ на каждом шаге порождает две не связанные между собой подзадачи. Каждая подзадача решается как задача линейного программирования с исходной целевой функцией. После конечного числа шагов будет найдено целочисленное оптимальное решение.

Применение метода ветвей и границ рассмотрим на конкретном примере.

Пример 1. Методом ветвей и границ F(x) = 2x 1 + 3x 2 при ограничениях

3x 1 +4x 2 ≤24

2x 1 +5x 2 ≤22

x 1,2 ≥0 - целые

1-й шаг метода ветвей и границ. с отброшенными условиями целочисленности с помощью симплекс-метода (табл. 1 – 3).

По данным табл. 3 запишем оптимальное нецелое решение

Таблица 1 - симплекс-таблица для задачи ЛП

Таблица 2 - симплекс-таблица для задачи ЛП

Таблица 3 - симплекс-таблица для задачи ЛП

Графическая интерпретация задачи приведена на рис. 1. Здесь ОДЗП представлена четырехугольником ABCD, а координаты вершины С совпадают с x * 1 и x * 2 . Обе переменные в оптимальном решении являются нецелыми, поэтому любая из них может быть выбрана в качестве переменной, инициирующей процесс ветвления.

Пусть это будет x 2 . Выбор x 2 порождает две подзадачи (2 и 3), одна из них получается путем добавления ограничения x 2 ≥3 к исходной задаче, а другая – путем добавления ограничения x 2 ≤2. При этом ОДЗП разбивается на две заштрихованные области (рис. 1), а полоса значений 2 < x 2 < 3 исключается из рассмотрения. Однако множество допустимых целочисленных решений сохраняется, порожденные подзадачи содержат все целочисленные решения исходной задачи.

Рисунок 1 - графическая интерпритация решения примера методом ветвей и границ

2-й шаг метода ветвей и границ. Осуществляется выбор одной из обозначенных ранее подзадач. Не существует точных методов определения, какой из подзадач отдать предпочтение. Случайный выбор приводит к разным последовательностям подзадач и, следовательно, к различным количествам итераций, обеспечивающих получение оптимального решения.

Пусть вначале решается подзадача 3 с дополнительным ограничением x 2 ≤2 или x 2 + x 5 = 2 . Из табл. 3 для переменной x 2 справедливо следующее выражение -2/7x 3 +3/7x 4 +x 2 =18/7 или x 2 =18/7+2/7x 3 -3/7x 4 , тогда 2/7x 3 -3/7x 4 +x 5 =-4/7 . Включаем ограничение в табл. 3, при этом получим новую таблицу (табл. 4).

Осуществляя оптимизацию решения, переходим к табл. 5, которой соответствует решение

Переменная x 1 нецелая, поэтому ветвление необходимо продолжить; при этом возникают подзадачи 4 и 5 с ограничениями x 1 ≤5 и x 1 ≥6 соответственно. Полоса значений 5 < x 1 < 6 исключается из рассмотрения.

Таблица 5 - симплекс-таблица для задачи ЛП

3-й шаг метода ветвей и границ. Решаются подзадачи 4 и 5. Из рис. 1 видно, что оптимальное целочисленное решение подзадачи 4 достигается в вершине К с координатами x * 1 =5, x * 2 =2, однако это не означает, что найден оптимум исходной задачи. Причиной такого вывода являются еще не решенные подзадачи 3 и 5, которые также могут дать целочисленные решения. Найденное целочисленное решение F = 16 определяет нижнюю границу значений целевой функции, т.е. меньше этого значения оно быть не должно.

Подзадача 5 предполагает введение дополнительного ограничения x 1 ≥6 в подзадачу 3 . Графическое решение на рис. 1 определяет вершину L с координатами x * 1 =6, x * 2 =3/2 , в которой достигается оптимальное решение подзадачи 5: F max = 16.5 . Дальнейшее ветвление в этом направлении осуществлять нецелесообразно, так как большего, чем 16, целого значения функции цели получить невозможно. Ветвление подзадачи 5 в лучшем случае приведёт к другому целочисленному решению, в котором F = 16.

4-й шаг метода ветвей и границ. Исследуется подзадача 2 с ограничением x 2 ≥3, находится её оптимальное решение, которое соответствует вершине М (рис. 1) с координатами x * 1 =3.5, x * 2 =3. Значение функции цели при этом F max =16, которое не превышает найденного ранее решения. Таким образом, поиск вдоль ветви x 2 ≥3 следует прекратить.

Отметим, что алгоритм метода ветвей и границ является наиболее надёжным средством решения целочисленных задач, он положен в основу большинства прикладных программ для ПЭВМ, используемых для этих целей.

Для решения задач линейного программирования имеется широкий набор разнообразных машинных программ, которые избавляют от трудоёмкого процесса вычислений вручную. Однако интерпретация информации, выведенной на печать, невозможна без чёткого представления о том, почему и как работает .

Рассмотрим следующую задачу целочисленного линейного программирования. Максимизировать при ограничениях

На рис.1 пространство допустимых решений задачи целочисленного линейного программирования представлено точками. Соответствующая начальная задача линейного программирования (обозначим ее ЛП0) получается путем отбрасывания условия целочисленности. Ее оптимальным решением будет =3.75, =1.25, z=23.75.

Рис.1.

Так как оптимальное решение задачи ЛП0 не удовлетворяет условия целочисленности, метод ветвей и границ изменяет пространство решений задачи линейного программирования так, что в конечном счете получается оптимальное решение задачи целочисленного линейного программирования. Для этого сначала выбирается одна из целочисленных переменных, значение которой в оптимальном решении задачи ЛП0 не является целочисленным. Например, выбирая (=3.75), замечаем, что область 3 ? ?4 пространства допустимых решений задачи ЛП0 не содержит целочисленных значений переменной и, следовательно, может быть исключена из рассмотрения, как бесперспективная. Это эквивалентно замене исходной задачи ЛП0 двумя новыми задачами линейного программирования ЛП1 и ЛП2, которые определяются следующим образом:

Пространство допустимых решений ЛП1 = пространство допустимых решений ЛП0 + (), пространство допустимых решений ЛП2 = пространство допустимых решений ЛП0 + ().

На рис.2 изображены пространства допустимы решений задач ЛП1 И ЛП2 . Оба пространства содержат все допустимые решения исходной задачи ЦЛП. Это обозначает, что задачи ЛП1 и ЛП2 «не потеряют» решения начальной задачи ЛП0.

Рис.2.

Если продолжим разумно исключать из рассмотрения области, не содержащие целочисленных решений (такие, как), путем введения надлежащих ограничений, то в конечном счете получим задачу линейного программирования, оптимальное решение которой удовлетворяет требованиям целочисленности. Другими словами, будем решать задачу ЦЛП путем решения последовательности непрерывных задач линейного программирования.

Новые ограничения и взаимоисключаемы, так что задачи ЛП1 и ЛП2 необходимо рассматривать как независимые задачи линейного программирования, что и показано на Рис.3. Дихотомизация задач ЛП - основа концепции ветвления в методе ветвей и границ. В этом случае называется переменной ветвления.

Рис.3.

Оптимальное решение задачи ЦЛП находятся в пространстве допустимых решений либо в ЛП1, либо в ЛП2. Следовательно, обе подзадачи должны быть решены. Выбираем сначала задачу ЛП1 (выбор произволен), имеющую дополнительное ограничение?3.

Максимизировать при ограничениях

Оптимальным решением задачи ЛП1 является, и. Оптимальное решение задачи ЛП1 удовлетворяет требованию целочисленности переменных и. В этом случае говорят что задача прозондирована. Это означает, что задача ЛП1 не должна больше зондироваться, так как она не может содержать лучшего решения задачи ЦЛП.

Мы не можем в этой ситуации оценить качество целочисленного решения, полученного из рассмотрения задачи ЛП1, ибо решение задачи ЛП2 может привести к лучшему целочисленному решению (с большим решением в целевой функции z). Пока мы можем лишь сказать, что значение является нижней границей оптимального (максимального) значения целевой функции исходной задачи ЦЛП. Это значит, что любая нерассмотренная подзадача, которая не может привести к целочисленному решению с большим значением целевой функции, должна быть исключена, как бесперспективная. Если же нерассмотренная подзадача может привести к лучшему целочисленному решению, то нижняя граница должна быть надлежащим образом изменена.

При значении нижней границы исследуем ЛП2. Так как в задачи ЛП0 оптимальное значение целевой функции равно 23.75 и вес ее коэффициенты являются целыми числами, то невозможно получить целочисленное решение задачи ЛП2, которое будет лучше имеющегося. В результате мы отбрасываем подзадачу ЛП2 и считаем ее прозондированной.

Реализация метода ветвей и границ завершена, так как обе подзадачи ЛП1 и ЛП2 прозондированы. Следовательно, мы заключаем, что оптимальным решением задачи ЦЛП является решение, соответствующей нижней границе, а именно, и.

Если бы мы выбрали в качестве ветвлении переменную то ветвления и скорость нахождения оптимального решения были бы другими Рис.4.

Рис.4. Дерево ветвлений решений

Впервые метод ветвей и границ был предложен в 1960 г. в работе Лэнд и Дойг применительно к задаче целочисленного линейного программирования. Однако эта работа не оказала заметного непосредственного влияния на развитие дискретного программирования. Фактически «второе рождение» метода ветвей и границ связано с работой Литтла, Мурти, Суини и Кэрел , посвященной задаче коммивояжера; в этой же работе было впервые предложено и общепринятое теперь название метода «метод ветвей и границ». Начиная с этого момента появляется весьма большое число работ, посвященных методу ветвей и границ и различным его модификациям. Столь большой успех (да еще применительно к «классически трудной» задаче о коммивояжере) объясняется тем, что Литтл, Мурти, Суини и Кэрел первыми обратили внимание на широту возможностей метода ветвей и границ, отметили важность использования специфики задачи и сами весьма удачно этой спецификой воспользовались.

В § 1 настоящей главы излагается общая идея метода ветвей и границ; в § 2 - алгоритм Лэнд и Дойг для задачи целочисленного линейного программирования, в § 3 - метод Литтла и др. авторов для задачи коммивояжера.

§ 1. Идея метода ветвей и границ

1.1. Рассмотрим задачу дискретного программирования в следующей общей форме.

Минимизировать

при условии

Здесь G - некоторое конечное множество.

1.2. В основе метода ветвей и границ лежат следующие построения, позволяющие в ряде случаев существенно уменьшить объем перебора.

I. Вычисление нижней границы (оценки).

Часто удается найти нижнюю границу (оценку) целевой функции на множестве планов (или на некотором его подмножестве т. е. такое число что для имеет место

(соответственно для имеет место Разбиение на подмножества (ветвление). Реализация метода связана с постепенным разбиением множества планов на дерево подмножеств (ветвлением). Ветвление происходит по следующей многошаговой схеме.

0-й шаг. Имеется множество Некоторым способом оно разбивается на конечное число (обычно не пересекающихся) подмножестве шаг Имеются множества , еще не подвергавгпиеся ветвлению. По некоторому правилу (указанному ниже) среди них выбирается множество и разбивается на конечное число подмножеств:

Еще не подвергавшиеся разбиению множества

заново обозначаются через

Несколько шагов такого процесса последовательного разбиения схематически изображены на рис. 10.1.1.

III. Пересчет оценок. Если множество то, очевидно,

Поэтому, разбивая в процессе решения некоторое множество на подмножества

В конкретных ситуациях часто оказывается возможным добиться улучшения оценки, т. е. получить хотя бы для некоторых строгое неравенство

IV. Вычисление планов. Для конкретных задач могут быть указаны различные способы нахождения планов в последовательно разветвляемых подмножествах. Любой такой способ существенно опирается на специфику задачи.

V. Признак оптимальности. Пусть

и план X принадлежит некоторому подмножеству Если при этом

то X - оптимальный план задачи (1.1) - (1.2).

Доказательство непосредственно следует из определения оценки.

Обычно этот признак применяется на некотором этапе ветвления (т. е., говоря формально, при ; см. п. II).

VI. Оценка точности приближенного решения. Пусть

Если X - некоторый план исходной задачи (т. е. ), то

Доказательство и здесь сразу следует из определения оценки.

Очевидно, что если разность невелика (т. е. не превышает некоторого выбранного для данной задачи числа), то X можно принять за приближенное решение, за оценку точности приближения.

1.3. Изложим формальную схему метода ветвей и границ.

0-й шаг. Вычисляем оценку . Если при этом удается найти такой план X, что

то X - оптимальный план.

Если оптимальный план не найден, то по некоторому способу разбиваем множество на конечное число подмножеств

и переходим к шагу.

1-й шаг. Вычисляем оценки Если при этом удается найти такой план X, что для некоторого и

то X - оптимальный план.

Если же оптимальный план не найден, то выбираем «наиболее перспективное» для дальнейшего разбиения множество по следующему правилу:

Разбиваем множество на несколько (обычно не пересекающихся) подмножеств.

Общее описание

Общая идея метода может быть описана на примере поиска минимума функции на множестве допустимых значений переменной . Функция и переменная могут быть произвольной природы. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ).

Процедура ветвления состоит в разбиении множества допустимых значений переменной на подобласти (подмножества) меньших размеров. Процедуру можно рекурсивно применять к подобластям. Полученные подобласти образуют дерево , называемое деревом поиска или деревом ветвей и границ . Узлами этого дерева являются построенные подобласти (подмножества множества значений переменной ).

Процедура нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для решения задачи на подобласти допустимых значений переменной .

В основе метода ветвей и границ лежит следующая идея: если нижняя граница значений функции на подобласти дерева поиска больше, чем верхняя граница на какой-либо ранее просмотренной подобласти , то может быть исключена из дальнейшего рассмотрения (правило отсева ). Обычно, минимальную из полученных верхних оценок записывают в глобальную переменную ; любой узел дерева поиска, нижняя граница которого больше значения , может быть исключен из дальнейшего рассмотрения.

Если нижняя граница для узла дерева совпадает с верхней границей, то это значение является минимумом функции и достигается на соответствующей подобласти.

Применение

Метод используется для решения некоторых NP-полных задач, таких как:

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Метод ветвей и границ" в других словарях:

метод ветвей и границ - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва] Тематики электротехника, основные понятия EN branch and bound method … Справочник технического переводчика

метод - метод: Метод косвенного измерения влажности веществ, основанный на зависимости диэлектрической проницаемости этих веществ от их влажности. Источник: РМГ 75 2004: Государственная система обеспечения еди … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Оптимальный маршрут коммивояжёра через 15 крупнейших городов Германии. Указанный маршрут является самым коротким из всех возможных 43 589 145 600. Задача коммивояжёра (англ. Travelling salesman problem, TSP) (коммивояжёр … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Перебор. Полный перебор (или метод «грубой силы», англ. brute force) метод решения математических задач. Относится к классу методов поиска решения исчерпыванием всевозможных… … Википедия

Пример задачи о ранце: необходимо разместить ящики в рюкзак при условии на вместимость рюкзака 15 кг, так чтобы суммарная полезность предметов в рюкзаке была максимальной. Задача о ранце (рюкзаке) (англ. … Википедия

Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия

Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия

Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

Книги

• Разработка программного средства для поиска оптимального портфеля оптовых закупок торгового предприятия , А. В. Мищенко. В рамках настоящей работы разработано программное средство для решения задачи поиска оптимального портфеля оптовых закупок предприятия розничной торговли. При этом использован метод ветвей и…