Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.
Определение: Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.
Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t . Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.
Различные виды уравнения прямой
Общее уравнение прямой.
Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат
А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу
А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ¹ х 2 и х = х 1 , еслих 1 = х 2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим
xcosj + ysinj - p = 0 –
нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Угол между прямыми на плоскости.
Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 .
Две прямые перпендикулярны, если k 1 = -1/k 2 .
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А 1 = lА, В 1 = lВ. Если еще и С 1 = lС, то прямые совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.
Расстояние от точки до прямой.
Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
Лекция 5
Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Предел функции в точке.
0 a - D a a + D x
Рисунок 1. Предел функции в точке.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что
0 < ïx - aï < D
верно неравенство ïf(x) - Aï< e.
То же определение может быть записано в другом виде:
Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Запись предела функции в точке:
Определение .
Если f(x) ® A 1 при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.
Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.
Пределы А 1 и А 2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).
Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии на плоскости .
Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Oxy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии (рис.1).
В общем случае уравнение линии может быть записано в виде F(x,y)=0 или y=f(x).
Пример. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек А(-4;2), B(-2;-6).
Решение. Если M(x;y) – произвольная точка искомой линии (рис.2), то имеем AM=BM или
После преобразований получим
Очевидно, что это уравнение прямой MD – перпендикуляра, восстановленного из середины отрезка AB .
Из всех линий на плоскости особое значение имеет прямая линия . Она является графиком линейной функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике линейных экономико-математических моделях.
Различные виды уравнения прямой:
1)с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b :
y = kx + b ,
где – угол между прямой и положительным направлением оси ОХ (рис. 3).
Особые случаи:
– прямая проходит через начало координат (рис.4):
– биссектриса первого и третьего, второго и четвертого координатных углов:
y=+x, y=-x;
– прямая параллельна оси ОХ и сама ось ОХ (рис. 5):
y=b, y=0;
– прямая параллельна оси OY и сама ось ОY (рис. 6):
x=a, x=0;
2) проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом) k через данную точку (рис. 7):
Если в приведенном уравнении k – произвольное число, то уравнение определяет пучок прямых , проходящих через точку , кроме прямой , параллельной оси Oy.
Пример А(3,-2) :
а) под углом к оси ОХ;
б) параллельно оси OY.
Решение .
а) , y-(-2)=-1(x-3) или y=-x+1;
б) х=3.
3) проходящей через две данные точки (рис. 8):
Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-5,4), В(3,-2).
Решение . ,
4) уравнение прямой в отрезках (рис.9):
где a, b – отрезки, отсекаемые на осях соответственно Ox и Oy.
Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2,-1) , если эта прямая отсекает от положительной полуоси Oy отрезок, вдвое больший, чем от положительной полуоси Ox (рис. 10).
Решение . По условию b=2a , тогда . Подставим координаты точки А(2,-1):
Откуда a=1,5.
Окончательно получим:
Или y=-2x+3.
5) общее уравнение прямой:
Ax+By+C=0,
где a и b не равны одновременно нулю.
Некоторые важные характеристики прямых :
1) расстояние d от точки до прямой:
2) угол между прямыми и соответственно:
3) условие параллельности прямых:
или .
4) условие перпендикулярности прямых:
или .
Пример 1 . Составить уравнение двух прямых, проходящих через точку А(5,1) , одна из которых параллельна прямой 3x+2y-7=0 , а другая перпендикулярна той же прямой. Найти расстояние между параллельными прямыми.
Решение . Рисунок 11.
1) уравнение параллельной прямой Ax+By+C=0 :
из условия параллельности ;
взяв коэффициент пропорциональности, равный 1, получим А=3, В=2;
т.о. 3x+2y+C=0;
значение С найдем, подставив координаты т. А(5,1),
3*5+2*1+С=0, откуда С=-17;
уравнение параллельной прямой – 3x+2y-17=0.
2) уравнение перпендикулярной прямой из условия перпендикулярности будет иметь вид 2x-3y+C=0;
подставив координаты т. А(5,1) , получим 2*5-3*1+С=0 , откуда С=-7;
уравнение перпендикулярной прямой – 2x-3y-7=0.
3) расстояние между параллельными прямыми можно найти как расстояние от т. А(5,1) до дано прямой 3x+2y-7=0:
Пример 2 . Даны уравнения сторон треугольника:
3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).
Составить уравнение биссектрисы угла АВС .
Решение . Вначале найдем координаты вершины В треугольника:
Откуда x=-8, y=0, т.е. В(-8,0) (рис. 12).
По свойству биссектрисы расстояния от каждой точки M(x,y) , биссектрисы BD до сторон АВ и ВС равны, т.е.
Получаем два уравнения
x+7y+8=0, 7x-y+56=0.
Из рисунка 12 угловой коэффициент искомой прямой отрицательный (угол с Ох тупой), следовательно, нам подходит первое уравнение x+7y+8=0 или y=-1/7x-8/7.
Пусть распределение тока вдоль длины антенны является постоянным:
Реальные антенны, (например, волноводно-щелевые) или печатные антенные решетки часто имеют именно такое токовое распределение. Вычислим диаграмму направленности такой антенны:
Теперь построим нормированную ДН:
(4.1.)
Рис. 4.3 Диаграмма направленности линейной антенны с равномерным токовым распределением
В этой диаграмме направленности можно выделить следующие участки:
1) Главный лепесток – участок диаграммы направленности, где поле максимально.
2) Боковые лепестки.
На следующем рисунке представлена
диаграмма направленности в полярной
системе координат, в которой
имеет более наглядный вид (рис.4.4).
Рис. 4.4 Диаграмма направленности линейной антенны с равномерным токовым распределением в полярной системе координат
Количественной оценкой направленности
антенны принято считать ширину главного
лепестка антенны, которая определяется
либо по уровню -3 дБ от максимума либо
по нулевым точкам. Определим ширину
главного лепестка по уровню нулей. Здесь
приближенно можно считать, что для
остронаправленных антенн:
.
Условие равенства нулю множителя системы
можно приближенно записать таким
образом:
Учитывая, что
,
последнее условие можно переписать
таким образом:
Для больших значений электрической длины антенны (для малых значений полуширины главного лепестка антенны), с учетом того, что синус малого аргумента приближенно равен значению аргумента, последнее соотношение можно переписать в виде:
Откуда окончательно получим соотношение, связывающее ширину главного лепестка и размер антенны в долях длины волны:
Из последнего соотношения следует важный вывод: для синфазной линейной антенны при фиксированной длине волны увеличение длины антенны приводит к сужению диаграммы направленности.
Оценим уровень боковых лепестков в данной антенне. Из соотношения (4.1) можно получить условие углового положения первого (максимального) бокового лепестка:
(-13 дБ)
Оказывается, что в этом случае уровень боковых лепестков не зависит от длины антенны и частоты, а определяется только видом амплитудного распределения тока. Для уменьшения УБЛ следует отказаться от принятого вида амплитудного распределения (от равномерного распределения), а перейти к распределению, спадающему к краям антенны.
5. Линейная антенная решетка
5.1. Вывод выражения для дн лар
Выражение 4.2. позволяет легко перейти от поля линейной непрерывной антенной системы к полю дискретной антенной решетки. Для этого достаточно задать распределение тока под знаком интеграла в виде решетчатой функции (совокупности дельта-функций) с весами, соответствующими амплитудам возбуждения элементов и соответствующими координатами. В этом случае результатом является диаграмма направленности антенной решетки как дискретное преобразование Фурье. Магистрантам предоставлется реализовать этот подход самостоятельно в качестве упражнения.
6. Синтез афр по заданной дн.
6.1. Исторический обзор, особенности задач синтеза антенн.
Часто, для обеспечения правильной работы радиотехнических систем, к антенным устройствам, которые являются их составной частью, предъявляются особые требования. Поэтому проектирование антенн, обладающих заданными характеристиками, является одной из важнейших задач.
В основном требования предъявляются к диаграмме направленности (ДН) антенного устройства и носят весьма разнообразный характер: может требоваться конкретная форма главного лепестка ДН (например, виде сектора и косеканса), определенный уровень боковых лепестков, провал в заданном направлении или в заданном интервале углов. Раздел теории антенн, посвященный решению данных задач, получил название теории синтеза антенн.
В большинстве случаев точное решение задачи синтеза не найдено и речь может идти о приближенных методах. Подобные задачи исследуются достаточно давно и найдено немало методов и приемов. К методам решения задач синтеза антенн также предъявляются определенные требования: к быстродействию; устойчивости, т.е. малой чувствительности к незначительным изменениям параметров (частоты, размеров антенн и т.п.); практической реализуемости. В рассмотрены наиболее простые методы: парциальных диаграмм и интеграла Фурье. Первый метод основан на аналогии преобразования Фурье и связи амплитудно-фазового распределения с ДН, в основе второго лежит разложение ДН ряд по базисным функциям (парциальным ДН). Зачастую, решения, полученные этими методами, трудно применить на практике (антенны обладают плохим КИП, труднореализуемое амплитудно-фазовое распределение (АФР), решение является неустойчивым). В и рассмотрены методы, позволяющие учитывать ограничения на АФР и избегать т.н. «эффекта сверхнаправленности» .
Отдельно стоит выделить задачи смешанного синтеза , важнейшей из которых является задача фазового синтеза , т.е нахождение фазового распределения при заданном амплитудном, приводящего к требуемой ДН. Актуальность задач фазового синтеза объяснятся большим применением фазированных антенных решеток (ФАР). Методы, позволяющие решить такие задачи, описаны в , и .
В идеале луч, направляемый антенной на спутник, должен иметь форму острого карандаша. К сожалению, поскольку длина волн в данном случае мала по сравнению с апертурой (диаметром) антенны, фиксированная фокальная точка в действительности не является точной. Это вызывает небольшое расхождение главного луча и некоторое нежелательное улавливание внеосевых сигналов. Результирующая полярная диаграмма состоит из узкого луча, называемого главным лепестком и серии боковых лепестков меньшей амплитуды.
Типовая диаграмма направленности параболического
рефлектора в полярной системе координат
Поскольку полярную диаграмму часто трудно интерпретировать, предпочтение отдается форме представления в прямоугольной системе координат. Нормированная теоретическая характеристика сигнала для равномерно облучаемой антенны диаметром 65 см на частоте 11 ГГц представлена на рисунке:
На самом деле факторы, перечисленные выше, будут способствовать внесению неровностей в данную характеристику, но общая картина показанной зависимости останется неизменной.
Фоновый шум поступает на антенную систему в основном через боковые лепестки, поэтому необходимо, чтобы они были как можно меньше по отношению к амплитуде главного лепестка. Равномерно облучаемая антенна теоретически создает первый и самый большой из этих боковых лепестков на уровне около -17,6 дБ ниже максимального значения главного лепестка.
На практике облучение редко бывает равномерным. Точность распределения облучения зависит от типа установленного облучателя. Это приводит нас к понятию эффективной площади или эффективности антенной системы. Другими словами, наибольшая часть мощности сигнала собирается с центральной части зеркала и уменьшается по направлению к внешним краям антенны. Поэтому слабый раскрыв рефлектора антенны может служить защитой от фонового шума.
Неполное (недостаточное) облучение зеркала уменьшает уровень первого бокового лепестка до значения менее -20 дБ, снижая таким образом воздействие фонового шума. На первый взгляд, это решение кажется идеальным, но оно приводит к некоторым нежелательным последствиям - уменьшению коэффициента усиления антенны и соответствующему увеличению ширины луча (главного лепестка). Основной характеристикой диаграммы направленности антенны является ее ширина по уровню половинной мощности, которая рассчитывается как,ширина главного лепестка диаграммы на уровне -3 дБ. Уравнения, которые применяются для вычисления ширины диаграммы направленности на любом заданном уровне главного лепестка, достаточно сложны и трудоемки для выполнения. Однако такие параметры, как ширина главного лепестка на уровне -3 дБ, амплитуда первого бокового лепестка и расположение первого нуля (провала в диаграмме направленности), зависящего от установленного способа облучения, могут быть легко рассчитаны при помощи выражений, приведенных ниже в таблице. Косинусное распределение близко к среднему, и если способ принятого облучения неизвестен, то оно может быть использовано в качестве первого приближения при расчете ширины диаграммы направленности на уровне -3 дБ.
- Уровень боковых лепестков (УБЛ) (англ. side lobe level, SLL) диаграммы направленности (ДН) антенны - относительный (нормированный к максимуму ДН) уровень излучения антенны в направлении боковых лепестков. Как правило, УБЛ выражается в децибелах, реже определяют УБЛ «по мощности» или «по полю».
ДН реальной (конечных размеров) антенны - осциллирующая функция, в которой выделяют глобальный максимум, являющийся центром главного лепестка ДН, а также прочие локальные максимумы ДН и соответствующие им так называемые боковые лепестки ДН. Термин боковой следует понимать как побочный, а не буквально (лепесток, направленный «вбок»). Лепестки ДН нумеруют по порядку начиная с главного, которому присваивают номер ноль. Дифракционный (интерференционный) лепесток ДН, возникающий в разреженной антенной решетке, боковым не считается. Минимумы ДН, разделяющие лепестки ДН, называют нулями (уровень излучения в направлениях нулей ДН может быть сколь угодно малым, однако в реальности излучение всегда присутствует). Область бокового излучения разбивают на подобласти: область ближних боковых лепестков (прилегающую к главному лепестку ДН), промежуточную область и область задних боковых лепестков (вся задняя полусфера).
Под УБЛ понимают относительный уровень наибольшего бокового лепестка ДН. Как правило, наибольшим по величине является первый (прилегающий к главному) боковой лепесток.Для антенн с высокой направленностью используют также средний уровень бокового излучения (нормированная к своему максимуму ДН усредняется в секторе углов бокового излучения) и уровень дальних боковых лепестков (относительный уровень наибольшего бокового лепестка в области задних боковых лепестков).
Для антенн продольного излучения для оценки уровня излучения в направлении «назад» (в направлении, противоположном направлению главного лепестка ДН) используется параметр относительный уровень заднего излучения (от англ. front/back, F/B - отношение вперед/назад), и при оценке УБЛ это излучение не учитывается. Также для оценки уровня излучения в направлении «вбок» (в направлении, перпендикулярном главному лепестку ДН) используется параметр относительный бокового излучения (от англ. front/side, F/S - отношение вперед/вбок).
УБЛ, как и ширина главного лепестка ДН, являются параметрами, определяющими разрешающую способность и помехозащищённость радиотехнических систем. Поэтому в технических заданиях на разработку антенн этим параметрам уделяется большое значение. Ширину луча и УБЛ контролируют как при вводе антенны в эксплуатацию, так и в процессе эксплуатации.
Связанные понятия
Фотонный кристалл - твердотельная структура с периодически изменяющейся диэлектрической проницаемостью либо неоднородностью, период которой сравним с длиной волны света.
Волоко́нная брэ́гговская решётка (ВБР) - распределённый брэгговский отражатель (разновидность дифракционной решетки), сформированный в светонесущей сердцевине оптического волокна. ВБР обладают узким спектром отражения, используются в волоконных лазерах, волоконно-оптических датчиках, для стабилизации и изменения длины волны лазеров и лазерных диодов и т. д.
