Изложение методов расчета и анализа электрических цепей, как правило, сводится к нахождению токов ветвей при известных значениях ЭДС и сопротивлений.

Рассматриваемые здесь методы расчета и анализа электрических цепей постоянного тока пригодны и для цепей переменного тока.

2.1 Метод эквивалентных сопротивлений

(метод свертывания и развертывания цепи).

Этот метод применяется только для электрических цепей содержащих один источник питания. Для расчета, отдельные участки схемы, содержащие последовательные или параллельные ветви, упрощают, заменяя их эквивалентными сопротивлениями. Таким образом, цепь свертывается до одного эквивалентного сопротивления цепи подключенного к источнику питания.

Затем определяется ток ветви, содержащий ЭДС, и схема разворачивается в обратном порядке. При этом вычисляются падения напряжений участков и токи ветвей. Так, например, на схеме 2.1 А Сопротивления R 3 и R 4 включены последовательно. Эти два сопротивления можно заменить одним, эквивалентным

R 3,4 = R 3 + R 4

После такой замены получается более простая схема(Рис.2.1Б ).

Здесь следует обратить внимание на возможные ошибки в определении способа соединений сопротивлений. Например сопротивления R 1 и R 3 нельзя считать соединенными последовательно, также как сопротивления R 2 и R 4 нельзя считать соединенными параллельно, т. к. это не соответствует основным признакам последовательного и параллельного соединения.

Рис 2.1 К расчету электрической цепи методом

Эквивалентных сопротивлений.

Между сопротивлениями R 1 и R 2 , в точке В , имеется ответвление с током I 2 .поэтому ток I 1 Не будет равен току I 3 , таким образом сопротивления R 1 и R 3 нельзя считать включенными последовательно. Сопротивления R 2 и R 4 с одной стороны присоединены к общей точке D , а с другой стороны — к разным точкам В и С. Следовательно, напряжение, приложенное к сопротивлению R 2 и R 4 Нельзя считать включенными параллельно.

После замены сопротивлений R 3 и R 4 эквивалентным сопротивлением R 3,4 и упрощением схемы (Рис. 2.1 Б ), более наглядно видно, что сопротивления R 2 и R 3,4 соединены параллельно и их можно заменить одним эквивалентным, исходя из того, что при параллельном соединении ветвей общая проводимость равна сумме проводимостей ветвей:

GBD = G 2 + G 3,4 , Или = + Откуда

RBD =

И получить еще более простую схему (Рис 2.1,В ). В ней сопротивления R 1 , RBD , R 5 соединены последовательно. Заменив эти сопротивления одним, эквивалентным сопротивлением между точками A и F , получим простейшую схему (Рис 2.1, Г ):

RAF = R 1 + RBD + R 5 .

В полученной схеме можно определить ток в цепи:

I 1 = .

Токи в других ветвях нетрудно определить переходя от схемы к схеме в обратном порядке. Из схемы на рисунке 2.1 В Можно определить падение напряжения на участке B , D цепи:

UBD = I 1 ·RBD

Зная падение напряжения на участке между точками B и D можно вычислить токи I 2 и I 3 :

I 2 = , I 3 =

Пример 1. Пусть (Рис 2.1 А ) R 0 = 1 Ом; R 1 =5 Ом; R 2 =2 Ом; R 3 =2 Ом; R 4 =3 Ом; R 5 =4 Ом; Е =20 В. Найти токи ветвей, составить баланс мощностей.

Эквивалентное сопротивление R 3,4 Равно сумме сопротивлений R 3 и R 4 :

R 3,4 = R 3 + R 4 =2+3=5 Ом

После замены (Рис 2.1 Б ) вычислим эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей R 2 и R 3,4 :

RBD = ==1,875 Ом,

И схема еще упростится (Рис 2.1 В ).

Вычислим эквивалентное сопротивление всей цепи:

R Экв = R 0 + R 1 + RBD + R 5 =11,875 Ом.

Теперь можно вычислить общий ток цепи, т. е. вырабатываемый источником энергии:

I 1 = =1,68 А.

Падение напряжения на участке BD будет равно:

UBD = I 1 · RBD =1,68·1,875=3,15 В.

I 2 = = =1,05 А; I 3 ===0,63 А

Составим баланс мощностей:

Е· I1= I12 · (R0+ R1+ R5) + I22 · R2+ I32 · R3,4 ,

20·1,68=1,682·10+1,052·3+0,632·5 ,

33,6=28,22+3,31+1,98 ,

Минимальное расхождение обусловлено округлением при вычислении токов.

В некоторых схемах нельзя выделить сопротивлений включенных между собой последовательно или параллельно. В таких случаях лучше воспользоваться другими универсальными методами, которые можно применить для расчета электрических цепей любой сложности и конфигурации.

2.2 Метод законов Кирхгофа.

Классическим методом расчета сложных электрических цепей является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы расчета электрических цепей исходят из этих фундаментальных законов электротехники.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов сложной цепи (Рис 2.2) если ее ЭДС и сопротивления заданы.

Рис. 2.2. К расчету сложной электрической цепи для

Определения токов по законам Кирхгофа.

Число независимых токов схемы равно числу ветвей (в нашем случае m=6). Поэтому для решения задачи необходимо составить систему из шести независимых уравнений, совместно по первому и второму законам Кирхгофа.

Количество независимых уравнений составленных по первому закону Кирхгофа всегда на единицу меньше чем узлов, Т. к. признаком независимости является наличие в каждом уравнении хотя бы одного нового тока.

Так как число ветвей M всегда больше, чем узлов К , То недостающее количество уравнений составляется по второму закону Кирхгофа для замкнутых независимых контуров, Т. е. чтобы в каждое новое уравнение входила хотя бы одна новая ветвь.

В нашем примере количество узлов равно четырем – A , B , C , D , следовательно, составим только три уравнения по первому закону Кирхгофа, для любых трех узлов:

Для узла A: I1+I5+I6=0

Для узла B: I2+I4+I5=0

Для узла C: I4+I3+I6=0

По второму закону Кирхгофа нам нужно составить также три уравнения:

Для контура A , C ,В, А: I 5 · R 5 — I 6 · R 6 — I 4 · R 4 =0

Для контура D ,A ,В, D : I 1 · R 1 — I 5 · R 5 — I 2 · R 2 =Е1-Е2

Для контура D ,В, С, D : I 2 · R 2 + I 4 · R 4 + I 3 · R 3 =Е2

Решая систему из шести уравнений можно найти токи всех участков схемы.

Если при решении этих уравнений токи отдельных ветвей получатся отрицательными, то это будет указывать, что действительное направление токов противоположно произвольно выбранному направлению, но величина тока будет правильной.

Уточним теперь порядок расчета:

1) произвольно выбрать и нанести на схему положительные направления токов ветвей;

2) составить систему уравнений по первому закону Кирхгофа – количество уравнений на единицу меньше чем узлов;

3) произвольно выбрать направление обхода независимых контуров и составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа;

4) решить общую систему уравнений, вычислить токи, и, в случае получения отрицательных результатов, изменить направления этих токов.

Пример 2 . Пусть в нашем случае (рис. 2.2.) R 6 = ∞ , что равносильно обрыву этого участка цепи (рис. 2.3). Определим токи ветвей оставшейся цепи. вычислим баланс мощностей, если E 1 =5 В, E 2 =15 B, R 1 =3 Ом, R 2 = 5 Ом, R 3 =4 Ом, R 4 =2 Ом, R 5 =3 Ом.

Рис. 2.3 Схема к решению задачи.

Решение. 1. Выберем произвольно направление токов ветвей, их у нас три: I 1 , I 2 , I 3 .

2. Составим только одно независимое уравнение по первому закону Кирхгофа, т. к. в схеме лишь два узла В и D .

Для узла В : I 1 + I 2 — I 3 =О

3. Выберем независимые контуры и направление их обхода. Пусть контуры ДАВД и ДВСД будем обходить по часовой стрелке:

E1-E2=I1(R1 + R5) — I2·R2,

E2=I2 · R2 + I3 · (R3 + R4).

Подставим значения сопротивлений и ЭДС.

I 1 + I 2 — I 3 =0

I 1 +(3+3)- I 2 · 5=5-15

I 2 · 5+ I 3 (4+2)=15

Решив систему уравнений, вычислим токи ветвей.

I 1 =- 0,365А; I 2 = I 22 — I 11 = 1,536А; I 3 =1,198А.

Как проверку правильности решения составим баланс мощностей.

Σ EiIi= Σ Iy2·Ry

E1·I1 + E2·I2 = I12·(R1 + R5) + I22·R2 + I32·(R3 + R4);

5(-0,365) + 15·1,536 = (-0,365)2·6 + 1,5632·5 + 1,1982·6

1,82 + 23,44 = 0,96 + 12,20 + 8,60

21,62 ≈ 21,78.

Расхождения незначительны, следовательно решение верно.

Одним из главных недостатков этого метода является большое количество уравнений в системе. Более экономичным при вычислительной работе является Метод контурных токов .

2.3 Метод контурных токов.

При расчете Методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет свой (условный) Контурный ток . Уравнения составляют относительно контурных токов по второму закону Кирхгофа. Таким образом количество уравнений равно количеству независимых контуров.

Реальные токи ветвей определяют как алгебраическую сумму контурных токов каждой ветви.

Рассмотрим, например, схему рис. 2.2. Разобьем ее на три независимых контура: СВАС ; АВ D А ; ВС D В и условимся, что по каждому из них проходит свой контурный ток, соответственно I 11 , I 22 , I 33 . Направление этих токов выберем во всех контурах одинаковым по часовой стрелке, как показано на рисунке.

Сопоставляя контурные токи ветвей, можно установить, что по внешним ветвям реальные токи равны контурным, а по внутренним ветвям они равны сумме или разности контурных токов:

I1 = I22, I2 = I33 — I22, I3 = I33,

I4 = I33 — I11, I5 = I11 — I22, I6 = — I11.

Следовательно, по известным контурным токам схемы легко можно определить действительные токи ее ветвей.

Для определения контурных токов данной схемы достаточно составить только три уравнения для каждого независимого контура.

Составляя уравнения для каждого контура необходимо учесть влияние соседних контуров токов на смежные ветви:

I11(R5 + R6 + R4) — I22·R5 — I33·R4 = O,

I22(R1 + R2 + R5) — I11·R5 — I33·R2 = E1 — E2,

I 33 (R 2 + R 3 + R 4 ) — I 11 · R 4 — I 22 · R 2 = E 2 .

Итак, порядок расчета методом контурных токов выполняется в следующей последовательности:

1. установить независимые контуры и выбрать направления в них контурных токов;

2. обозначить токи ветвей и произвольно дать им направления;

3. установить связь действительных токов ветвей и контурных токов;

4. составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа для контурных токов;

5. решить систему уравнений, найти контурные токи и определить действительные токи ветвей.

Пример 3. Решим задачу (пример 2) методом контурных токов, исходные данные те же.

1. В задаче возможны только два независимых контура: выберем контуры АВ D А и ВС D В , и примем направления контурных токов в них I 11 и I 22 по часовой стрелке (рис. 2.3).

2. Действительные токи ветвей I 1 , I 2, I 3 и их направления также показаны на (рис 2.3).

3. связь действительных и контурных токов:

I 1 = I 11 ; I 2 = I 22 — I 11 ; I 3 = I 22

4. Составим систему уравнений для контурных токов по второму закону Кирхгофа:

E1 — E2 = I11·(R1 + R5 + R2) — I22·R2

E2 = I22·(R2 + R4 + R3) — I11·R2;

5-15=11·I 11 -5·I 22

15=11·I 22 -5·I 11 .

Решив систему уравнений получим:

I 11 = -0,365

I 22 = 1,197, тогда

I 1 = -0,365; I 2 = 1,562; I 3 = 1,197

Как видим реальные значения токов ветвей совпадают с полученными значениями в примере 2.

2.4 Метод узлового напряжения (метод двух узлов).

Часто встречаются схемы содержащие всего два узла; на рис. 2.4 изображена одна из таких схем.

Рис 2.4. К расчету электрических цепей методом двух узлов.

Наиболее рациональным методом расчета токов в них является Метод двух узлов.

Под Методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое напряжение (с его помощью затем определяют токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами А и В схемы – U АВ .

Напряжение U АВ может быть найдено из формулы:

U АВ =

В числителе формулы знак «+», для ветви содержащей ЭДС, берется если направление ЭДС этой ветви направлено в сторону повышения потенциала, и знак «-» если в сторону понижения. В нашем случае, если потенциал узла А принять выше потенциала узла В (потенциал узла В принять равным нулю), Е1 G 1 , берется со знаком «+», а Е2· G 2 со знаком «-»:

U АВ =

Где G – проводимости ветвей.

Определив узловое напряжение, можно вычислить токи в каждой ветви электрической цепи:

I К =(Ек- U АВ ) G К .

Если ток имеет отрицательное значение, то действительное его направление является противоположным обозначенным на схеме.

В этой формуле, для первой ветви, т. к. ток I 1 совпадает с направлением Е1 , то ее значение принимается со знаком плюс, а U АВ со знаком минус, т. к. направлено навстречу току. Во второй ветви и Е2 и U АВ направлены навстречу току и берутся со знаком минус.

Пример 4 . Для схемы рис. 2.4 если Е1= 120В, Е2=5Ом, R1=2Ом, R2=1Ом, R3=4Ом, R4=10Ом.

UАВ=(120·0,5-50·1)/(0,5+1+0,25+0,1)=5,4 В

I1=(E1-UАВ)·G1= (120-5,4)·0,5=57,3А;

I2=(-E2-UАВ)·G2 = (-50-5,4)·1 = -55,4А;

I3=(О-UАВ)·G3 = -5,4·0,25 = -1,35А;

I4=(О-UАВ)·G4 = -5,4·0,1 = -0,54А.

2.5. Нелинейные цепи постоянного тока и их расчет.

До сих пор мы рассматривали электрические цепи, параметры которых (сопротивления и проводимости) считались не зависящими от величины и направления проходящего по ним тока или приложенного к ним напряжения.

В практических условиях большинство встречающихся элементов имеют параметры зависящие от тока или напряжения, вольт-амперная характеристика таких элементов имеет нелинейный характер (рис. 2.5),такие элементы называются Нелинейными . Нелинейные элементы широко используются в различных областях техники (автоматики, вычислительной техники и других).

Рис. 2.5. Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов:

1 — полупроводникового элемента;

2 — термосопротивления

Нелинейные элементы позволяют реализовать процессы которые невозможны в линейных цепях. Например, стабилизировать напряжение, усиливать ток и другие.

Нелинейные элементы бывают управляемыми и неуправляемыми. Неуправляемые нелинейные элементы работают без влияния управляющего воздействия (полупроводниковые диоды, термосопротивления и другие). Управляемые элементы работают под влиянием управляющего воздействия (тиристоры, транзисторы и другие). Неуправляемые нелинейные элементы имеют одну вольт-амперную характеристику; управляемые – семейство характеристик.

Расчет электрических цепей постоянного тока чаще всего производят графическими методами, которые применимы при любом виде вольт-амперных характеристик.

Последовательное соединение нелинейных элементов.

На рис. 2.6 приведена схема последовательного соединения двух нелинейных элементов, а на рис. 2.7 их вольтамперные характеристики – I (U 1 ) и I (U 2 )

Рис. 2.6 Схема последовательного соединения

Нелинейных элементов.

Рис. 2.7 Вольтамперные характеристики нелинейных элементов.

Построим вольт-амперную характеристику I (U ), выражающую зависимость тока I в цепи от приложенного к ней напряжения U . Так как ток обоих участков цепи одинаков, а сумма напряжений на элементах равна приложенному (рис. 2.6) U = U 1 + U 2 , то для построения характеристики I (U ) достаточно просуммировать абсциссы заданных кривых I (U 1 ) и I (U 2 ) для определенных значений тока. Пользуясь характеристиками (рис. 2.6) можно решить различные для этой цепи задачи. Пусть, например, задана величина приложенного к току напряжения U и требуется определить ток в цепи и распределение напряжений на ее участках. Тогда на характеристике I (U ) отмечаем точку А соответствующую приложенному напряжению U и проводим от нее горизонталь пересекающую кривые I (U 1 ) и I (U 2 ) до пересечения с осью ординат (точка D ), которая показывает величину тока в цепи, а отрезки В D и С D величину напряжения на элементах цепи. И наоборот по заданному току можно определить напряжения как общее, так и на элементах.

Параллельное соединения нелинейных элементов.

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 2.8) с заданными вольт-амперными характеристиками в виде кривых I 1 (U ) и I 2 (U ) (рис. 2.9) напряжение U является общим, а ток I в неразветвленной части цепи равен сумме токов ветвей:

I = I 1 + I 2

Рис. 2.8 Схема параллельного соединения нелинейных элементов.

Поэтому для получения общей характеристики I(U) достаточно для произвольных значений напряжения U на рис. 2.9 просуммировать ординаты характеристик отдельных элементов.

Рис. 2.9 Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов.

(см. задание КР6- 1)

П1.1. Основные определения. Электрическая цепь - это совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического то­ка, электромагнитные процессы в которых могут быть опи­саны с по­мощью по­нятий об электродвижущей силе, электрическом то­­ке и электрическом напряжении.

Электрический ток - это явление направленного движе­ния свободных носителей электрического заряда q в веществе или в пус­то­те, количественно характеризуемое скалярной величиной, равной производной по времени от электрического заряда, переносимого свободными носителями заряда сквозь рассматриваемую повер­­хность, т.е.

Из выражения (1.1) получают едини­цу тока

[I ] = [q ]/[t ] = Кл/c = A × c /c = A (ампер).

Постоянный электрический ток (в дальнейшем ток ) – это неизмен­ное и однонаправленное движение заряжен­ных частиц (зарядов). При постоянном токе в течение каждого одинакового про­межутка времени Dt переносится одинако­вый заряд Dq . Поэтому ток где q - весь заряд (Кл) за время t (с).

Условное положительное направление тока I во внешней (от источника энергии) цепи противоположно направлению дви­­жения потока электронов (элек­­трон – частица, обладающая наименьшим отрицательным зарядом (q e = -1,602×10 - 19 Кл, тогда 1 Кл = 6,24×10 18 электронов), т. е. он протекает от точ­ки а с большим потен­ци­алом к точке b с меньшим потенциалом, вы­зывая падение напря­жения (в дальнейшем напряжение ) на сопро­тив­лении этого участка

U ab = j а – j b . (1.2)

Электрическое напряжение – это работа, затрачиваемая на перенос единицы заряда (1 Кл) из точки а в точку b электрическогополя по произволь­ному пути. Однозначно определяют толькоразность потенциалов (напряже­ние ) между соответству­ю­щи­ми точками. Когда говорят о потенциале точки элек­трической цепи, то подразумевают разность потенциалов между этой точкой и другой (обычно зазем­лён­ной), потенциал которой принимают равным нулю.

Электродвижущая сила E (в даль­нейшем ЭДС E в вольтах) источника энергии численно равна работе (энергии) W в джоулях (Дж), за­тра­чи­­ваемой сторонним и индуктированным электрическими полями на перемещение единицы заряда (1 Кл) из одной точки поля в другую.

П1.2. Состав электрической цепи. Любая электрическая цепь состоит из следующих элементов:

· источников энергии (активныхэлементов), преобразующих различные виды энергии в электрическую. Это генераторы электрических стан­­ций, аккумуля­торные и солнечные батареи, термопары и др.;

· приёмников электрической энергии (пассивныхэлементов), в которых электрическая энергия преобразуется в другие виды: тепловую (нагревательные элементы), механическую (электрические двигатели), световую (люминесцентные лампы), химическую (гальванические ванны) и др.;

· вспомогательных элементов (проводов, выключателей, предохранителей, ре­­зи­стивных регуляторов тока, измерительных приборов, разъёмов и др.).

Электрические цепи принято изображать в виде электрических схем: принципиальных, монтажных, схем замещения и др. Схема электрической цепи – это её графическое изображение, содержащее условные обозначения элементов цепи и показываю­щее соединения этих элементов.

При анализе электрических цепей их заменяют схемами замещения. Схема замещения электрической цепи – это её расчётно-математическая модель, содержащая иде­альные пассивные (резистивные, индуктивные и ёмкостные) и активные (источники напряжения и источники тока) элементы. Элементом электрической цепи на­зывают отдельное устройство, вы­пол­няющее в цепи определённую фун­к­­цию Эти элементы являются эквивалентами (моделями) реальных устройств цепи, которым теоретически припи­сывают опре­де­лён­ные электрические и магнитные свой­ства, отражающие главные (доми­ни­ру­ющие) процессы в элементах цепи.

Пассивными называют элементы электрической цепи, которые не способны генериро­вать элек­три­че­скую энергию. К пассивным элементам относят резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы (табл. П1.1).

Резистор – это пассивный элемент элек­­­трической цепи, предназна­чен­ный для ис­пользования его электрического сопротивления R . Резистор не мо­жет на­капливать энергию: полученная им электрическая энергия необратимопреобразовывается в нёмв тепло­вую энергию.

Т а б л и ц а П1.1. Пассивные элементы цепей и их характеристики

Индуктивная катушка – это пассивный элемент цепи, предназначен­ный для ис­­пользования его собственной индуктивности L и/или его магнитного поля. При нара­стании тока в индуктивной катушке происходит преобразо­вание электрической энергии в магнитную и её накопление в магнитном поле катушки, а при убывании тока – обратное преобразование энергии магнитного поля в электрическую энергию, возвращаемую источнику.

Конденсатор – это пассивный эле­­мент цепи, предназначенный для ис­­­поль­зования его электрической ёмкости С . При нарастании напряжения на зажимах конден­сатора в нём происходит преобразование электрической энергии внешнего источника в энергию электрического поля за счёт накоп­ле­ния зарядов противоположных знаков на двух его электродах (пластинах). При уменьшении напряжения происхо­дит обратное преоб­разова­ние энергии электрического поля в электри­ческую энергию, возвращаемую источнику.

Активные элементы - это источники электрической энергии (аккумуляторы, генераторы и др.). Различают:источники напряжения (ИН) и источники тока (ИТ) в зависимости от их внутреннего сопротивления (табл. П1.2). В источнике напряжения внутреннее сопротивление R вт значительно меньше сопротивления R нагрузки (в идеальном ИН R вт = 0), а в источнике тока R вт значительно больше сопротивления R нагрузки (в идеальном ИТ R вт = ¥), а проводимость (в сименсах)

G вт = 1/R вт << G = 1/R .

Т а б л и ц а П1.2. Активные элементы цепей и их характеристики

I

2 (-)

R вт

+

1 (+)

R

U

U 12

R вт I

I н

I к

I ,А

U , В

E

U н

3

1

2

E

ИН

В, Источник тока (ИТ)

I , A

I вт

G вт

U

U 12

I

0 I н J

2

ИT

I вт

U н

П1.3. Топологические параметры схем цепей . При анализе электрических схем пользуются следующими тополо­гическими параметрами схем:

· ветвь (В ) - участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же электрический ток;

· узел (У ) - место соединения ветвей электрической цепи. Обычно место, где соединены две ветви, называют не узлом, а соединением (или уст­ранимым узлом), а узел соединяет не менее трёх ветвей ;

· контур - последовательность ветвей электрической цепи, образующая замкнутый путь, в которой один из узлов одновременно является началом и концом пути, а остальные встречаются только один раз. В элек­­трической цепи вы­де­ляют линейно не­зависимые контуры k н, которые отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью. Число независимых контуров зависит от числа ветвей В и числа уз­лов У в цепи:

k н = В – (У – 1). (1.3)

Так, в схеме электрической цепи (рис. П1.1) ветвей В = 5, узлов У = 3, соединений 2, независимых контуров k н = 3.

Примечания.

1. Точки 5 , 6 , 7 и 8 имеют одинаковый электрический по­тен­­ци­ал, поэтому они могут быть геометрически объединены в одну общую точку - узел .

2. Точки 1 и 4 соединяют по два элемента, поэтому их называютточ­ками соединений двух элементов , а не узлами.

Е 1

П1.4. Задача расчёта цепи . Расчёт электрической цепи заключается в опи­са­нии её схемы за­мещения математическими уравнениями и в решении си­стемы уравнений относительно электрических величин. Теория электрических и магнитных цепей базируется на введении па­раметров отдельных участков цепи, из которых основными являются сопро­тивления, индуктивности и ёмкости. Помимо этих параметров, вводят в рассмотрение еще множество других (например, маг­нитное сопротивление маг­нитной цепи, реактивные сопротивления и проводимости цепи переменного тока, и др.), находящихся в известной связи с ними или имеющих самостоятельное значение.

Задачей расчёта электрической цепи является, в первую очередь, оп­ре­де­ление токов и напряжений ветвей при заданных значениях параметров активных и пассивных элементов схемы цепи.

Для расчёта электрических цепей (точнее, их схем замещения) раз­работано несколько методов, наиболее общими из которых являются метод непосредственного применения законов Кирхгофа, ме­тод узловых напряжений, метод переменных состояния, метод контурных токов.

Примечание.Понятия «электрическая цепь» и «схема электрической цепи» часто отождествляют.

П1.5. Законы Ома и Кирхгофа. Решение задач анализа электромаг­ни­т­ных процессов в известной схеме электрической цепи с заданными параметрами источников энергии и резистивных элементов базируется на применении закона Ома, первого и второго законов Кирхгофа, которые записывают соответственно для ветвей , узлов и контуров (табл. П1.3).

Закон Ома устанавливает зависимость между током и на­пря­жением на пассивной ветви при совпадении направлений тока и напряжения на ней. (см. табл. П1.3, вторая строка). Для ветви с источниками напряжения используют обоб­щенный закон Ома : (см. табл. П1.3, третья строка). Знак плюс перед ЭДС E и напряжением U 12 записывают при совпадении их направлений с условно положительным направлением тока I и знак минус - при не совпадении их направлений с направлением тока.

Первый закон Кирхгофа (1ЗК) записывают для узлов электрической схемы (см. табл. П1.3, четвертая строка). Закон формулируется следующим образом: алгебраическаясумма токов в любом узле схемы цепи равна нулю. При этом токи, направленные к узлу, при­­нято записывать со знаком плюс, а уходящие от уз­ла, со знаком минус.

Второй закон Кирхгофа (2ЗК) применяется к контурам электрической цепи (см. табл. П1.3, пятая строка) и формулируется следующим образом: в лю­бом контуре схемы алгебраическая сумма ЭДС равна ал­ге­браической сум­ме напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в этот контур. При этом ЭДС и напряжения на элементах контура за­писывают со знаком плюс, если выбран­ное нап­равление обхода контура (например, по ходу часовой стрелки) совпадает с направлением напряжений (токов) на этих элементах, и со знаком минус при несовпадении.

Таблица П1.3. Топологические параметры схем цепей и их описание

J

k

I 2

I 3

Первый закон Кирхгофа (1ЗК) åI k = 0, I 1 - J - I 2 - I 3 = 0 Контур

I 1

Е 2

Е 3

I 2

I 3

R 1

R 3

R 2

U 12

1

2

Второй закон Кирхгофа (2ЗК) åE k = åU k , E 2 - E 3 = R 1 I 1 + + R 2 I 2 - R 3 I 3 -U 12

П1.6. Метод расчёта, основанный на законах Кирхгофа . Анализ и расчёт лю­бой электрической цепи постоянного тока можно провести в результате совместного решения системы уравнений, составленных посредством первого и второго законов Кирхгофа. Число уравнений в системе равно числу ветвей в цепи (N МЗК = В ), при этомчисло независимых уравнений, которые можно запи­сать по 1ЗК, на од­но уравнение меньше числа узлов, т. е.

N 1ЗК = У - 1, (1.4)

а число независи­мых уравнений, записываемых по 2ЗК,

N 2ЗК = B - (У - 1), (1.5)

где В - число ветвей с неизвестными токами (без ветвей с источниками тока); У - чи­сло узлов.

Составим посредством законов Кирхгофа необходи­мое число уравнений для определения токов ветвей схемы (рис. П1.2), если заданы ЭДС E 1 и E 2 источников напряжения, ток J источника тока и соп­ротивления R 1 ,…, R 5 резисторов.

N МЗК = N 1ЗК + N 2ЗК = В .

С этой целью:

1. Проведём топологический анализ схемы для определения числа независимых урав­­нений. В схеме B 1 = 6 вет­вей, У = 3 узла. Од­нако в ветви с ИТ ток J задан, поэтому число независимых ветвей В = 5. Число независимых урав­нений для решения задачи по методу законов Кирхгофа

N МЗК = В = 5.

3. Составим уравнения по 1ЗК (N 1ЗК = У - 1 = 3 - 1 = 2):

для узла 1 : I 1 - I 2 - J - I 3 = 0, (1)

для узла 2 : I 3 - I 4 + I 5 = 0. (2)

4. Выберем независимые кон­ту­ры и направление обхода контуров, на­при­­мер, по ходу часовой стре­лки. В на­шем случае имеется три независимых контура, так как ветвь с заданным током J ИТ в уравнениях, составляемых по2ЗК, не учитывается:

N 2ЗК = B - (У - 1) = 5 – (3 – 1) = 3.

5. Составим три уравнения по 2ЗК:

для контура 1"-1-0-1" : E 1 = R 1 I 1 + R 2 I 2 , (3)

для контура 1-2-0-1 : 0 = R 3 I 3 + R 4 I 4 - R 2 I 2 , (4)

для контура 2-2"-0-2 : -E 2 = -R 5 I 5 - R 4 I 4 . (5)

6. Решив систему уравнений (1)…(5), например, методом Гаусса или с использованием формул Крамера можно определить все неизвестные токи ветвей цепи.

П1.6. Структурные преобразования схем замещения цепей. Расчёт элек­трических цепей можно упростить путём преобразованияих схем замещения в более простые и удобные для расчёта. Такие преобразования приводят, как пра­вило, к уменьшению числа узлов схемы и, следовательно, необходимого числа исходных уравнений для расчёта.

Так, ветвь с последовательно соединёнными резисторами R 1 , R 2 , … , R n может быть преобразована в простую схему с одним резистивным эле­ментом (рис. П1.4а ), эквивалентное сопротивление которого равно сумме сопротивлений:

а ветвь с несколькими последовательно соединёнными источниками напряжения и резисторами (рис. П1.4б ) также может быть преобра­зована в ветвь с одним эквивалентным ИН с параметрами R э и Е э (рис. П1.4в ):

1

б )

R 1

а )

в )

Рис. П1.4

1

2

R э

R 1

R 2

R n

1

2

R 2

R 3

R э

E 1

E 2

E 3

E э

1

2

2

2

U

Рис. П1.5

R 1

R 2

U

G э

а )

б )

1

2

R n

1

I 1

I n

I 2

I

I

Параллельно соединённые резисторы с сопротивлениями R 1 , R 2 ,…, R n (рис. П1.5а ) можно заменить одним резистором с проводимостью G э (рис. П1.5б ).

Так как напряжение на всех ветвях одно и тоже, равное U , то токи ветвей

где , - проводимости ветвей в сименсах.

В схеме с двумя узлами 1 и 2 (см. рис. П1.5а ) ток на входе цепи

а эквивалентная про­водимость и эквивалентное сопротивление пассивного участка цепи между узлами 1 и 2 равны

3

2

U

Рис. П1.6

R 2

R 1

R 3

U

R 1

U

R 1-4

R 2-4

а )

б )

в )

1

2

3

R 4

1

1

3

Электрические схемы, имеющие сочетание последовательного и параллельного соединений участков цепи (смешанное соединение ), могут быть преобразованы в более простые эквивалентные схемы путём замены параллельных ветвей одной ветвью, а последовательно соединённые участки цепи – одним участком. Так, например, для схемы рис. П1.6а вначале нужно найти эквивалентное сопротивление параллельного участка 2 -3 с тремя параллельно включенными резисторами

а затем сложить его с сопротивлением R 1 (рис. П1.6б , в ):

В электрических цепях элементы могут быть соединены по схеме треугольник или по схеме звезда (рис. П1.7).Треугольником называют соединение трёх элементов, в котором конец первого элемента со­еди­нён с началом вто­рого, конец второго с началом третьего, а конец тре­тьего с началом первого (рис. П1.7а ). Звездой называют соединение, в котором кон­­цы трёх элементов со­единены в одну общую точ­ку п (рис. П1.7б ).

Рис. П1.7

б )

1

2

I 2

R 3

R 1

R 2

3

I 3

I 1

I 1

а )

1

2

3

I 2

I 3

R 1 2

R 23

R 31

n

С целью умньшения числа узлов в схеме цепи соединения элементов треугольником преобразуют в эквивалентное соединение звездой посредством сле­­­ду­ющих формул:

, , (1.10)

т. е.сопротивление луча эквивалентной звезды равно дроби, в числителе которой произведение двух сопротивлений сторон треугольника, примыкающих к рассматриваемому узлу, делённому на сумму всех сопротивлений сторон треугольника.

П1.7. Правило делителя напряжения. В ветви, состоящей их двух после­дова­те­льно соединённых резисторов (рис. П1.8а ),напряжение на одном из резисторов равно при­ложенному к ветви напряжению, умноженному на сопротивление данного резистора и делённому на сумму сопротивлений обоих резисторов, т. е.

U

б )

R 1

R 2

а )

U 1

U 2

I 2

R 2

I 1

U

Рис. П1.8

R 1

I

и (1.11)

П1.8. Правило делителя тока . Для цепи с двумя параллельно соеди­нёнными резисторами (рис. П1.8б ) ток одной из двух параллельных ветвей цепи равен подходящему к разветвлению току I , ум­ноженному на сопро­тивление другой (противоположной) ве­тви и делён­ному на сумму соп­ротивлений обеих ветвей, т.е.

П1.9. Метод узловых напряжений. Метод узловых напряжений (МУН) базируется на первом законе Кирхгофа и обобщенном законе Ома. В нём за вспомогательные расчётные величины принимают так называемые узловые напряжения U k 0 - напряжения между каждым k -м узлом схемы и выбранным базисным узлом (его будем обозначать цифрой 0 ), потенциал которого принимают равным нулю. Число уравнений для расчёта схемы по МУН

N МУН = У - 1. (1.13)

Для каждого узла, кроме базисного, составляют уравнение по 1ЗК. В полученных уравнениях токи ветвей, присоединённых к базисному узлу, выражают через узловые напряжения и проводимости посредством обобщённого закона Ома:

где G k = 1/R k - проводимость k -й ветви.

Токв ветви, подключённой к узлам k и j ,

= (E kj - U k 0 + U j 0 )G kj , (1.15)

где U kj = U k 0 - U j 0 – межузловое напряжение; G kj = 1/R kj - меж­узловая про­водимость.

После группирования членов при соответствующих узловых напряжениях и переноса E k G k и токов J k источников тока в правую часть, получают систему уравнений относительно неизвестных узловых напряжений.

Структура каждого уравнения одинаковая, например, уравнение относительно узла 1 :

G 11 U 10 - G 12 U 20 - ... - G 1n U n 0 = + (1.16)

где G 11 = G 1 + G 2 + ... + G n - собственная проводимость узла1 , равная сумме проводимостей ветвей, присоединённых к узлу 1 (проводимости ветвей с ИТ не учитываются, так как G j = 1/R j = 0 (R j = ¥)); G 12 , ... , G 1 n – меж­узловые проводимости; + - узловой ток узла 1 ; - алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, присоединённых к узлу 1 , на проводимости этих ветвей, причём со знаком плюс (минус) записывают произведения, если ЭДС направлена к узлу 1 (от узла 1 ); - алгебраическая сумма токов источников тока ветвей, подключённых к узлу 1 , причём токи J k записывают со знаком плюс (минус), если они направлены к узлу 1 (от узла 1 ).

Решив систему уравнений относительно узловых напряжений, определяют межузловые напряжения и токи ветвей посредством соотношений (1.14) и (1.15).

Рис. П1.9

2

I 1

R 1

R 3

R 5

R 2

R 4

I 2

J

I 3

U 10

E 5

I 4

I 5

1

0

E 1

U 12

U 20

Пример П1.1. Пользуясь методом узловых напряжений, определить токи ветвей схе­мы (рис. П1.10), если E 1 = 12В, E 5 = 15В, J = 2А, R 1 = 1 Ом, R 2 = 5 Ом, R 3 = = R 4 = 10Ом, R 5 = 1 Ом. В схеме 6 ветвей и 3 узла.

Решение. 1. Выбираем базисный узел 0 и направления узловых напряжений U 10 и U 20 от узлов 1 и 2 к базисному (см. рис. П1.9).

2. Составляем (N МУН = У - 1 = 3 - 1 = 2) уравнения по МУН:

для узла 1 : G 11 U 10 - G 12 U 20 = E 1 G 1 - J ,

для узла 2 : -G 21 U 10 + G 22 U 20 = E 5 G 5 ,

где G 11 = G 1 + G 2 + G 3 , G 12 = G 3 = 1/R 3 , G 22 = G 3 + G 4 + G 5 , G 21 = G 12 = G 3 .

3. После подстановки числовых значений (G 1 = 1/R 1 = 1 См, G 2 = 0,2 См, G 3 = G 4 = = 0,1 См, G 5 = 1 См) имеем:

1,3U 10 - 0,1U 20 = 12 - 2 = 10,

0,1U 10 + 1,2U 20 = 15.

4. Воспользовавшись форму­­лами Крамера, находим узловые нап­ря­жения:

Примечание. Вычисление узловых напряжений нужно проводить с большой точностью. В данном примере достаточно округлить четвёртый знак после запятой.

5. Межузловое напряжение

U 12 = U 10 - U 20 = 8,7097 - 13,226 = - 4,5163 B.

6. Искомые токи ветвей (см. выбранные направления токов ветвей на рис. П1.9):

I 1 = (E 1 - U 10)G 1 = 3,29 A, I 2 = U 10 G 2 = 1,754 A,

I 3 = U 12 G 3 = - 0,452 A, I 4 = U 20 G 4 = 1,323 A,

I 5 = (-E 5 + U 20)G 5 = -1,774 A.

7. Проверим результаты расчёта токов. Согласно 1ЗК для узла 2 :

= I 3 - I 4 - I 5 = - 0,452 - 1,323 + 1,774 = 0.

П1.10. Метод двух узлов . Метод двух узлов является частным случаем метода узловых напряжений и применяется для расчёта схем, содержащих (после преобразования) два узла и произвольное число параллельных пассивных и активных ветвей. Для расчёта токов ветвей цепи составляют и решают одно уравнение узлового напряжения , равное алгебраической сумме токов, создаваемыхвсеми источниками напряжения и источниками тока цепи, делённой на собственную проводимость узла , т. е.

а токи ветвей определяют по обобщённому закону Ома (см. (1.14)).

Пример П1.2. Упростить схему цепи (рис. П1.10а ) посредством преобразования пас­сивного треугольника в эквивалентную звезду и найти токи в преобразованной схеме метотом двух узлов. Токи ветвей пассивного треугольника исходной схемы найти из составленных уравнений 1ЗК для узлов треугольника и (при необходимости) уравнения 2ЗК для контура, в который входит одна из ветвей треугольника с искомым током. Параметры схемы замещения цепи: E 5 = 20 В, E 6 = 36 В; R 1 = 10 Ом, R 2 = 12 Ом, R 3 = 4 Ом, R 4 = 8 Ом, R 5 = 6 Ом, R 6 = 5 Ом.

Решение. 1. Обозначим узлы и пунктирными линиями лучи (ветви) эквивалентной звезды R 1 n , R 2 n , R 3 n (рис. П1.10б ), равные (см. (1.10))

2. В результате преобразований получили схему с двумя узлами: n и 4 (рис. П1.11), в которой узлы исходной схемы 1 , 2 и 3 стали соединениями.

3. Расчет схемы (рис. П1.11) методом двух узлом проведем в три этапа:

а ) выбираем базисный узел 4 и приравниваем его потенциал нулю (j 4 = 0);

а ) б ) Рис. П1.10. Расчетные схемы цепи

б) направим узловое напряжение U n 4 от узла n к узлу 4 и найдем его значение (см. (П1.11):

Вопросы:

1. Расчёт методом непосредственного применения закона Кирхгофа.
2. Расчёт методом контурных токов.
3. Расчёт методом суперпозиции.
4. Расчёт методом узловых напряжений.
5. Расчёт методом эквивалентного генератора.

Ход лекции:

I. Расчёт методом применения закона Кирхгофа.

1. Определяем кол-во узлов и ветвей.

1. Произвольно зададим направление токов всех ветвей.
2. Составляем уравнение по первому закону Кирхгофа для каждого независимого узла: k-1=3.

Для точки А: I 1 -I 3 -I 2 =0

Для точки В: I 3 +I 5 -I 4 =0

Для точки D: I 4 -I 1 +I 67 =0

1. Недостающие уравнения: m-(k-1)=3 составляем по второму закону Кирхгофа для каждого независимого контура:

E 1 =I 3 R 3 +I 4 R 4 +I 1 R 1

E 2 -E 5 = -I 3 R 3 +I 2 R 2 +I 5 *0

E 5 = I 67 (R 6 +R 7)-I 4 R 4

1. Решая систему уравнений находим неизвестные токи в ветвях.
2. По результатам полученных численно значений токов выполняем действия:

1). Уточняем направление тока в ветвях: если ток отрицательный, то пишем примечание – реальное направление тока противоположено показанному на схеме.

2). Определяем режим работы источника питания: если направление ЭДС и реального тока совпадают, то режим источника питания – режим генератора, если направление ЭДС и реального тока противоположно, то это режим потребителя.

7. Проверка решения – проверка уравнения баланса мощностей: алгебраическая сумма мощностей источников равна арифметической сумме мощностей нагрузок

Если направление ЭДС и реального тока совпадают, то Р ист =EI (>0), если направление ЭДС и реального тока не совпадают, то Р ист = -EI (<0).

Можность нагрузки Р потр =I n 2 R n

Итак, уравнение баланса мощностей для нашей схемы:

E 1 I 1 +E 2 I 2 -E 5 I 5 =I 1 2 R 1 +I 2 2 R 2 +I 3 2 R 3 +I 2 4 R 4 +I 2 67 (R 6 +R 7)

Итак, если поле подстановки численных значений величин уравнения баланса обращается в тождество, то задача решена верно.

Достоинство метода: Его простота.

Недостатки метода: Большое количество совместно решаемых уравнений для сильно разветвленных цепей.

Поэтому метод применяется для расчета сложных цепей на компьютерах, в ручную не рекомендуется.

II. Расчёт методом контурных токов.

1. Определение кол-ва узлов К=4, m=6
2. Находим независимые контуры и для каждого задаётся произвольно положительное направление контурного тока. Контурный ток – ток, обтекающий ветви своего независимого контура.
3. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа, учитывая все контурные токи, протекающие по ветвям выбранного контура.

I: E 1 =I k1 I(R 1 +R 3 +R 4)-I k2 R 3 -I k3 R 4

II: E 2 -E 5 =I k2 (R 2 +R 3)-R 3 I k1 -I k3 R 5

III. E 5 = I k3 (R 4 +R 6 +R 7)-I k1 R 4 -I k2 0

1. Решая систему уравнений например, методом Крамера, найдём контурные токи:

I k 1 =Δ 1 /Δ I k 2 = Δ 2 /Δ I k 3 =Δ 3 /Δ

Δ – коэффициент при контурных токах

R 1 +R 3 +R 4 -R 3 -R 4

Δ= -R 3 R 2 +R 3 0

R 4 0 R 4 +R 6 +R 7

Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 получают заменой к-того столбца на левую часть уравнений.

1. Произвольно обозначаем направление токов в ветвях.
2. Выражаем токи в ветвях через алгебраическую сумму прилегающих контурных токов: контурный ток, совпадающий с током в ветви, записывают с плюсом.

I 1 =I k1 I 4 =I k1 -I k3

I 2 =I k2 I 5 =I k2 -I k3

I 3 =I k 1 -I k 2 I 67 =I k 3

1. по полученным значениям уточняем реальные направления токов в ветвях и определяем режимы работ.
2. Проверка режимов баланса мощностей.

Достоинства метода: более короткий алгоритм

Недостатки метода: необходимо знание этого алгоритма.

Область применения: очень широкая для расчёта тока в разветвленных ветвях.

III. Расчёт методом суперпозиции.

В электротехнике принцип суперпозиции проявляет себя как принцип независимости действия ЭДС. Согласно этому принципу каждая ЭДС возбуждает в любой ветви свою долю тока – частичный ток. Результирующий ток в ветви определяется как алгебраическая сумма частичных токов.

1. Задаём произвольное направление тока в ветвях.
2. Создаём первую частичную схему замещения: из исходной схемы замещения выбрасываем все источники ЭДС, кроме первого, но оставляем их внутреннее сопротивление. Находим частичные токи в ветвях методом свёртки схемы.

1. Создаём вторую частичную схему замещения: выбрасываем все источники ЭДС, кроме второго и оставляем их внутренние сопротивления.

Е 2

R э 2 =R 2 +R 134

1. Создаём третью частичную схему замещения аналогично прошлым.

R э3 = R 12 +R 34

1. Наложив частичные схемы одну на другую, определяем результирующий ток в каждой ветви как алгебраическую сумму частичных токов.

Истинное направление токов на исходной схеме замещения определяем по результатам аналитического расчёта по правилу:

Если значение тока положительно, то направление тока угадано верно, если значение тока отрицательно, то реальное направление тока противоположно.

Алгоритм метода прост, требует знание только закона Ома, однако не производительный, поэтому для полного анализа сложной электрической цепи не применяется. Рекомендуется для частичного анализа цепи.

IV. Расчёт методом узловых напряжений.

В приложении для цепи с параллельными ветвями получил название «метод двух узлов».

1. k=2, m=3
2. Нахождение токов всех ветвей: Задаём произвольно условно положительное направление узлового напряжения между узлами и определяем его по формуле:

, где

Ниже записать полный номер группы (например, 3АСУ-2ДБ-202), фамилию и И. О. студента, полный код расчётного варианта, например, КР6-13 – код 13-го варианта заданий курсовой работы КР6.

Внизу листа (по центру) записать имя города и текущий год.

2. На следующей странице представляется «Аннотация» выполненной работы (не более 2/3 страницы) с краткой характеристикой расчётных схем цепей, используемых методов (законов, правил и т.п.) анализа схем цепей и полученных результатов выполнения заданий.

Например, аннотация к выполненному первому заданию.

"В задании 1 проведен расчёт сложной электрической цепи постоянного тока с двумя источниками напряжения и шестью ветвями. При анализе схемы и её расчёте использованы следующие методы: метод законов Кирхгофа, метод узловых напряжений (двух узлов), обобщённый закон Ома и метод эквивалентного генератора. Правильность результатов расчёта подтверждена построением потенциальной диаграммы второго контура цепи и выполнением условия баланса мощностей".

Аналогично даётся аннотация выполненных 2-го и 3-го заданий работы.

3. На третьей странице записывается тема задания 1 курсовой работы и под ней (в скобках) код расчётного варианта задания, например, КР6.1-13. Ниже вычерчивается (с соблюдением ГОСТа 2.721-74) электрическая схема цепи и под ней выписываются из таблицы 6.1 исходные данные для расчёта заданного варианта, например: Е 1 = 10 B, Е 2 = 35 B, R 1 = 15 Ом, R 2 = ... и т.д.

4. Далее, выполняется поэтапный расчёт схемы цепи с соответствующими заголовками каждого этапа (шага), с вычерчиванием необходимых расчётных схем с условно положительными направлениями токов и напряжений ветвей, с записью уравнений и формул в общем виде с последующей подстановкой численных значений входящих в формулы физических величин и с записью промежуточных результатов расчёта (для поиска возможных ошибок в расчёте преподавателем). Результаты расчётов следует округлять, оставляя не более четырех-пяти значащих цифр, вы­ра­жая числа с плавающей запятой, если они велики или малы.

В н и м а н и е! При вычислении значений исходных данных для расчёта схем цепей (действующих значений ЭДС Е , значений полных сопротивлений Z ветвей) рекомендуется округлить их значения до целых чисел, например Z = 13/3 » 4 Ом.

5. Диаграммы и графики вычерчиваются на миллиметровой бумаге (или на листах с мелкой сеткой при выполнении работы на ПК) по ГОСТ с использованием равномерных масштабов по осям и с указанием размерностей. Рисунки и диаграммы должны быть пронумерованы и снабжены надписью, например, Рис. 2.5. Векторная диаграмма напряжений и токов электрической цепи. Нумерация как рисунков, так и формул – сквозная на всех трёх заданиям!

7. Сдавать на проверку преподавателю отчёты по каждому заданию рекомендуется на скреплённых листах форматом А4 с последующим их брошюрованием перед защитой работы.

8. По результатам расчётов и графических построений формулируются выводы по каждому заданию или в конце отчёта – по всей работе. На последней странице отчета студент ставит свою подпись и дату завершения выполнения работы.

В н и м а н и е!

1. Небрежно оформленные работы возвращаются студентам для переоформления. Также преподаватель возвращает отдельным студентам отчеты на доработку с пометками ошибок на листах или с перечнем замечаний и рекомендаций по исправлению оши­бок на титульном листе.

2. После защиты курсовых работ, пояснительные записки студентов групп с отметкой и подписью преподавателя (двух преподавателей) на титульных листах, за­не­сенных также в соответствующую ведомость и в зачётные книжки сту­дентов, сдаются на кафедру для хранения в течение двух лет.

П р и м е ч а н и е. При составлении таблицы 6.1. Варианты задания 1 использовалась программа Variant 2, разработанная доц., к.т.н. Румянцевой Р.А. (РГГУ, г. Москва), а варианты задания 6.2 и задания 6.3. взяты (с согласия авторов) из работы: Антоновой О.А., Карелиной Н.Н., Румянцевой М.Н. Расчёт электрических цепей (методические указания к курсовой работе по курсу "Электротехника и электроника". – М.: МАТИ, 1997 г.

Задание 1

АНАЛИЗ И РАСЧЁТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

ПОСТОЯННОГО ТОКА

Для заданного в таблице 6.1 варианта:

6.1.1. Выписать значения параметров элементов цепи и вычертить в соответствии с ГОСТ расчётную схему цепи с обозначением условно положительных направлений токов и напряжений ветвей. Выбор обобщенной схемы цепи (рис. 1: а , б , в или г ) осуществляется следующим образом. Если заданный преподавателем для выполнения КР6 студенту номер варианта N делится на 4 без остатка (и в варианте №1), то рассчитывается схема рис. 1а ; при остатке 1 (и в варианте №2) рассчитывается схема рис. 1б ; при остатке 2 (и в варианте №3) - схема рис. 1в ; и, наконец, при остатке 3 рассчитывается схема рис. 1г .

6.1.2. Провести топологический анализ схемы цепи (определить чис­ло ветвей, узлов и независимых контуров).

6.1.3. Составить необходимое для расчёта цепи число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

6.1.4. Упростить схему цепи посредством замены пассивного треугольника схемы эквивалентной звездой, рассчитав сопротивления её лучей (ветвей).

6.1.7. Выполнить проверку расчёта токов и напряжений всех шести ветвей исходной цепи построением в масштабе потенциальной диаграммы одного из контуров, в ветви которого включен хотя бы один источник напряжения, и подтверждением выполнения условия баланса мощностей.

6.1.8. Провести проверку правильности расчёта задания 1 (совместно с преподавателем) посредством сравнения полученных данных с данными, рассчитанными по программе Variant, установленной на ком­пь­тере в специализированной лаборатории (классе) кафедры. Краткая инструкция по работе с программой выводится на рабочее поле дисплея вместе с интерфейсом программы.

6.1.9. Сформулировать выводы по результатам выполненного задания 1.

Таблица 6.1

Варианты задания 1 курсовой работы КР6

№ вар	E 1 , B	E 2 , B	E 3 , B	E 4 , B	E 5 , B	E 6 , B	R 1 , Ом	R 2 , Ом	R 3 , Ом	R 4 , Ом	R 5 , Ом	R 6 , Ом	Ветвь для МЭГ
		--	--		--	--
	--	--	--			--
		--		--	--	--
	--		--		--	--
	--	--	--			--
	--	--		--	--
			--	--	--	--
	--	--	--		--
	--	--		--		--		16-		10-
	--		--		--	--
	--	--	--		--
		--	--	--		--
		--		--	--	--
	--		--	--		--
	--	--		--		--
	--	--	--		--
		--	--	--	--
	--	--			--	--
	--	--		--	--
		--	--	--		--
	--			--	--	--
		--		--	--	--
	--			--	--	--
		--	--	--		--
	--	--	--	--
		--	--	--	--
		--		--	--	--
	--	--	--	--
		--	--		--	--
	--		--		--	--
	--	--		--	--
	--		--		--	--
	--	--		--		--
	--	--		--		--
Таблица 6.1 (продолжение )
№ вар	E 1 , B	E 2 , B	E 3 , B	E 4 , B	E 5 , B	E 6 , B	R 1 , Ом	R 2 , Ом	R 3 , Ом	R 4 , Ом	R 5 , Ом	R 6 , Ом	Ветвь для МЭГ
		--	--		--	--
	--	--	--	--
	--			--	--	--
		--	--	--	--
	--	--	--		--
			--	--	--	--
		--	--	--	--
	--	--	--			--
	--	--		--		--
		--	--		--	--
	--			--	--	--
		--	--		--	--
	--	--	--	--
	--	--		--	--
	--	--	--	--
		--	--		--	--
		--		--	--	--
	--	--		--	--
		--	--		--	--
	--	--		--	--
			--	--	--	--
		--	--		--	--
	--	--	--		--
	--	--	--			--
	--	--	--		--
		--	--	--	--
	--	--		--		--		10-		16-
			--	--	--	--
	--	--		--		--
	--	--	--			--
		--		--	--	--
	--	--		--		--
	--	--		--	--
		--	--		--	--
	--			--	--	--

Таблица 6.1 (продолжение )

№ вар.

E 1 , B

E 2 , B

E 3 , B

E 4 , B

E 5 , B

E 6 , B

R 1 , Ом

R 2 , Ом

R 3 , Ом

R 4 , Ом

R 5 , Ом

R 6 , Ом

Ветвь для МЭГ

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

Прочерк (--) в полях таблицы означает отсутствие данного источника напряжения E k в схеме цепи

ВВЕДЕНИЕ

Тема данной курсовой работы: «Расчёт и анализ электрических цепей».

Курсовой проект, включает в себя 5 разделов:

1)Расчёт электрических цепей постоянного тока.

2)Расчёт не линейных цепей постоянного тока.

3)Решение однофазных линейных электрических цепей переменного тока.

4)Расчёт трёхфазных линейных электрических цепей переменного тока.

5)Исследование переходных процессов в электрических цепях.

Каждое задание включает в себя построение диаграмм.

Задача курсового проекта изучить различные методы расчёта электрических цепей и на основании этих расчётов строить различного вида диаграмм.

В курсовом проекте используются следующие обозначения: R-активное сопротивление, Ом; L - индуктивность, Гн; C - ёмкость, Ф;XL, XC -реактивное сопротивление (ёмкостное и индуктивное), Ом; I - ток, А; U -напряжение, В; E - электродвижущая сила, В; шu,шi - углы сдвига напряжения и тока, град; P - активная мощность, Вт; Q - реактивная мощность, Вар; S - полная мощность, ВА; ц - потенциал, В; НЭ - нелинейный элемент.

РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Для электрической цепи (рис.1) выполнить следующее:

1) Составить на основе законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;

2) Определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;

3) Определить токи во всех ветвях схемы на основании метода узловых потенциалов;

4) Составить баланс мощностей;

5) Результаты расчётов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;

6) Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего в себя ЭДС.

Е1=30 В; R4=42 Ом;

Е2=40 В; R5=25 Ом;

R1=16 Ом; R6=52 Ом;

R2=63 Ом; r01=3 Ом;

R3=34 Ом; r02=2 Ом;

R1"=R1+r01=16+3=19 Ом;

R2"=R2+r02=63+2=65 Ом.

Выберем направление токов.

Выберем направление обхода контуров.

Составим систему уравнений по закону Кирхгофа:

E1=I1R1"+I5R5-I4R4

E2=I2R2"+I5R5+I6R6

E2=I4R4+I3R3+I2R2"

Рисунок 1. Схема электрической цепи постоянного тока

Расчет электрических цепей методом контурных токов.

Расставим токи

Выберем направление контурных токов по ЭДС

Составим уравнения для контурных токов:

Ik1 Ч(R1"+R4+R5)-Ik2ЧR4+Ik3R5"=E1

Ik2 Ч(R3+R+R2")-Ik1ЧR4+Ik3Ч=E2

Ik3 Ч(R6+R2"+R5)+Ik1ЧR5+Ik2ЧR2"=E2

Подставим в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений:

Ik1 Ч86-Ik2Ч42-+Ik3Ч25=30

Ik1 Ч42+Ik2Ч141+Ik3Ч65=40

Ik1 Ч(25)+Ik2Ч65+Ik3Ч142=40

Решим систему матричным методом (методом Крамера):

Д1= =5,273Ч105

Д2= =4,255Ч105

Д3= =-3,877Ч105

Рассчитываем Ik:

Выразим токи схемы через контурные:

I2 =Ik2+Ik3=0,482+(-44)=0,438 A

I4 =-Ik1+Ik2=0,482-0,591=-0,109A

I5 =Ik1 + Ik3=0,591+(-0,044)=0,547A

Составим баланс мощностей для заданной схемы:

Pис.=E1I1+E2I2=(30Ч91)+(40Ч38)=35,25 Вт

Рпр.=I12R1"+I22R2"+I32R3+I42R4+I52R5+I62R6=(91)2Ч16+(38)2Ч 63 + (82)2Ч Ч34+(-09)2Ч42+(47)2Ч25+(44)Ч52=41,53 Втц.

1 Расчет электрических цепей методом узловых потенциалов

2 Расставим токи

3 Расставим узлы

4 Составим уравнение для потенциалов:

ц1=(1?R3+1?R4+1?R1")-ц2Ч(1/R3)-ц3-(1/R4)=E1?R1"

ц2Ч(1/R3+1?R6+1?R2")-ц1Ч(1/R3)-ц3(1/R2") =(-E2 ?R2")

ц3Ч(1/R5+1?R4+1?R2")-ц2Ч(1/R2")-ц1Ч(1/R4)=E2?R2"

Подставим численные значения ЭДС и сопротивлений:

ц1Ч0,104-ц2Ч0,029-ц3Ч0,023=1,57

Ц1Ч0,029+ц2Ч0,063-ц3Ч0,015=(-0,61)

Ц1Ч0,023-ц2Ч0,015+ц3Ч0,078=0,31

5 Решим систему матричным методом (методом Крамера):

1= = (-7,803Ч10-3)

2= = (-0,457Ч10-3)

3= = 3,336Ч10-3

6 Рассчитываем ц:

ц2= = (-21Ч103)

7 Находим токи:

I1= (ц4- ц1+E)1?R1"=0,482A

I2= (ц2- ц3+E2) ?R2"=0,49A

I3= (ц1- ц2) ?R3=(-0,64)A

I4= (ц3- ц1) ?R4=(-0,28)A

I5= (ц3- ц4) ?R5= 0,35A

I6= (ц4- ц2) ?R6=(-0,023)A

8 Результаты расчёта токов двумя методами представлены в виде свободной таблицы

Таблица 1 - Результаты вычислений токов двумя методами

Построим потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура включающий ЭДС.

Рисунок 3 - Контур электрической цепи постоянного тока

Е1=30 В; R4=42 Ом;

Е2=40 В; R5=25 Ом;

R1=16 Ом; R6=52 Ом;

R2=63 Ом; r01=3 Ом;

R3=34 Ом; r02=2 Ом;

R1"=R1+r01=16+3=19 Ом;

R2"=R2+r02=63+2=65 Ом.

Вычисляем потенциалы всех точек контура при переходе от элемента к элементу, зная величину и направление токов ветвей и ЭДС, а также величины сопротивлений.

Если ток совпадает по направлению с обходом значит - , если совпадает с ЭДС значит +.

ц2=ц1-I2R2"= 0 - 0,438 Ч 65 = - 28,47B

ц3=ц2+E2= - 28,47+40=11,53B

ц4=ц3-I4R4 = 11,58-(-4,57)=16,15B

ц4=ц4-I3R3 = 16,15-16,32=-0,17B

Строим потенциальную диаграмму, по оси абсцисс откладываем сопротивление контура, а по оси ординат потенциалы точек с учётом их знаков.