Шум разложение в ряд фурье гармоники. Разложение периодических несинусоидальных кривых в тригонометрический ряд фурье. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье

2.1. Спектры периодических сигналов

Периодическим сигналом (током или напряжением) называют такой вид воздействия, когда форма сигнала повторяется через некоторый интервал времени T , который называется периодом. Простейшей формой периодического сигнала является гармонический сигнал или синусоида, которая характеризуется амплитудой, периодом и начальной фазой. Все остальные сигналы будут негармоническими или несинусоидальными . Можно показать, и практика это доказывает, что, если входной сигнал источника питания является периодическим, то и все остальные токи и напряжения в каждой ветви (выходные сигналы) также будут периодическими. При этом формы сигналов в разных ветвях будут отличаться друг от друга.

Существует общая методика исследования периодических негармонических сигналов (входных воздействий и их реакций) в электрической цепи, которая основана на разложении сигналов в ряд Фурье. Данная методика состоит в том, что всегда можно подобрать ряд гармонических (т.е. синусоидальных) сигналов с такими амплитудами, частотами и начальными фазами, алгебраическая сумма ординат которых в любой момент времени равна ординате исследуемого несинусоидального сигнала. Так, например, напряжение u на рис. 2.1. можно заменить суммой напряжений и , поскольку в любой момент времени имеет место тождественное равенство: . Каждое из слагаемых представляет собой синусоиду, частота колебания которой связана с периодом T целочисленными соотношениями.

Для рассматриваемого примера имеем период первой гармоники совпадающим с периодом негармонического сигнала T 1 = T , а период второй гармоники в два раза меньшим T 2 = T /2, т.е. мгновенные значения гармоник должны быть записаны в виде:

Здесь амплитуды колебаний гармоник равны между собой ( ), а начальные фазы равны нулю.

Рис. 2.1. Пример сложения первой и второй гармоники

негармонического сигнала

В электротехнике гармоническая составляющая, период которой равен периоду негармонического сигнала, называется первой или основной гармоникой сигнала. Все остальные составляющие называются высшими гармоническими составляющими. Гармоника, частота которой в k раз больше первой гармоники (а период, соответственно, в k раз меньше), называется

k - ой гармоникой. Выделяют также среднее значение функции за период, которое называют нулевой гармоникой. В общем случае ряд Фурье записывают в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих разных частот:

где k - номер гармоники; - угловая частота k - ой гармоники;

ω 1 = ω =2 π / T - угловая частота первой гармоники; - нулевая гармоника.

Для сигналов часто встречающихся форм разложение в ряд Фурье можно найти в специальной литературе. В таблице 2 приведены разложения для восьми форм периодических сигналов. Следует отметить, что приведенные в таблице 2 разложения будут иметь место, если начало системы координат выбраны так, как это указано на рисунках слева; при изменении начала отсчета времени t будут изменяться начальные фазы гармоник, амплитуды гармоник при этом останутся такими же. В зависимости от типа исследуемого сигнала под V следует понимать либо величину, измеряемую в вольтах, если это сигнал напряжения, либо величину, измеряемую в амперах, если это сигнал тока.

Разложение в ряд Фурье периодических функций

Таблица 2

Сигналы 7 и 8 формируются из синусоиды посредством схем, использующих вентильные элементы.

Совокупность гармонических составляющих, образующих сигнал несинусоидальной формы, называется спектром этого негармонического сигнала. Из этого набора гармоник выделяют и различают амплитудный и фазовый спектр. Амплитудным спектром называют набор амплитуд всех гармоник, который обычно представляют диаграммой в виде набора вертикальных линий, длины которых пропорциональны (в выбранном масштабе) амплитудным значениям гармонических составляющих, а место на горизонтальной оси определяется частотой (номером гармоники) данной составляющей. Аналогично рассматривают фазовые спектры как совокупность начальных фаз всех гармоник; их также изображают в масштабе в виде набора вертикальных линий.

Следует заметить, что начальные фазы в электротехнике принято измерять в пределах от –180 0 до +180 0 . Спектры, состоящие из отдельных линий, называют линейчатыми или дискретными . Спектральные линии находятся на расстоянии f друг от друга, где f - частотный интервал, равный частоте первой гармоники f .Таким образом, дискретные спектры периодических сигналов имеют спектральные составляющие с кратными частотами - f , 2f , 3f , 4f , 5f и т.д.

Пример 2.1. Найти амплитудный и фазовый спектр для сигнала прямоугольной формы, когда длительности положительного и отрицательного сигнала равны, а среднее значение функции за период равно нулю

Для сигналов простыхчасто используемых форм решение целесообразно находить с помощью таблиц.

Рис. 2.2. Линейчатый амплитудный спектр прямоугольного сигнала

Из разложения в ряд Фурье сигнала прямоугольной формы (см. табл.2 - 1) следует, что гармонический ряд содержит только нечетные гармоники, при этом амплитуды гармоник убывают пропорционально номеру гармоники. Амплитудный линейчатый спектр гармоник представлен на рис. 2.2. При построении принято, что амплитуда первой гармоники (здесь напряжения) равна одному вольту: B; тогда амплитуда третьей гармоники будет равна B, пятой - B и т.д. Начальные фазы всех гармоник сигнала равны нулю, следовательно, фазовый спектр имеет только нулевые значения ординат.

Задача решена.

Пример 2.2. Найти амплитудный и фазовый спектр для напряжения, изменяющегося по закону: при -T /4<t <T /4; u (t ) = 0 при T /4<t <3/4T . Такой сигнал формируется из синусоиды посредством исключения (схемным путем с использованием вентильных элементов) отрицательной части гармонического сигнала.

а)б)

Рис. 2.3. Линейчатый спектр сигнала однополупериодного выпрямления: а)амплитудный; б)фазовый

Для сигнала однополупериодного выпрямления синусоидального напряжения (см. табл.2 - 8) ряд Фурье содержит постоянную составляющую (нулевую гармонику), первую гармонику и далее набор только четных гармоник, амплитуды которых быстро убывают с ростом номера гармоники. Если, например, положить величину V = 100 B, то, умножив каждое слагаемое на общий множитель 2V/π , найдем (2.2)

Амплитудный и фазовый спектры этого сигнала изображены на рис.2.3а,б.

Задача решена.

В соответствии с теорией рядов Фурье точное равенство негармонического сигнала сумме гармоник имеет место только при бесконечно большом числе гармоник. Расчет гармонических составляющих на ЭВМ позволяет анализировать любое число гармоник, которое определяется целью расчета, точностью и формой негармонического воздействия. Если длительность сигнала t независимо от его формы много меньше периода T , то амплитуды гармоник будут убывать медленно, и для более полного описания сигнала приходится учитывать большое число членов ряда. Эту особенность можно проследить для сигналов, представленных в таблице 2 - 5 и 6, при выполнении условия τ <<T . Если негармонический сигнал по форме близок к синусоиде (например, сигналы 2 и 3 в табл.2), то гармоники убывают быстро, и для точного описания сигнала достаточно ограничиться тремя - пятью гармониками ряда.

Преобразования Фурье и Хартли трансформируют функции времени в функции частоты, содержащие информацию об амплитуде и фазе. Ниже приведены графики непрерывной функции g (t ) и дискретной g (τ), где t и τ — моменты времени.

Обе функции начинаются в нуле, скачком достигают положительного значения и экспоненциально затухают. По определению преобразование Фурье для непрерывной функции есть интеграл по всей вещественной оси, F (f ), а для дискретной функции — сумма по конечному набору отсчётов, F (ν):

где f , ν — значения частоты, n — число выборочных значений функции, а i =√ –1 — мнимая единица. Интегральное представление больше подходит для теоретических исследований, а представление в виде конечной суммы — для расчётов на компьютере. Интегральное и дискретное преобразования Хартли определяются аналогичным образом:

Хотя единственная разница в обозначениях между определениями Фурье и Хартли заключается в присутствии множителя перед синусом, тот факт, что у преобразования Фурье есть и действительная, и мнимая часть, делает представления этих двух преобразований совершенно различными. Дискретные преобразования Фурье и Хартли имеют по существу ту же форму, что и их непрерывные аналоги.

Хотя графики выглядят по-разному, из преобразований Фурье и Хартли можно вывести, как показано ниже, ту же информацию об амплитуде и фазе.

Амплитуда Фурье определяется квадратным корнем из суммы квадратов действительной и мнимой частей. Амплитуда Хартли определяется квадратным корнем из суммы квадратов H (–ν) и H (ν). Фаза Фурье определяется арктангенсом мнимой части, делённой на действительную часть, а фаза Хартли определяется суммой 45° и арктангенса от H (–ν), делённого на H (ν).

Преобразование Фурье представляет собой наиболее широко используемое средство преобразовать произвольную функцию от времени в набор ее частотных составляющих на плоскости комплексных чисел. Это преобразование может быть применено для апериодических функций для определения их спектров, и в этом случае комплексный оператор s может быть заменен на/со:

С целью определения наиболее интересных частот может быть использовано численное интегрирование на комплексной плоскости.

Для ознакомления с основами поведения этих интегралов рассмотрим несколько примеров. На Рис. 14.6 (слева) приведен импульс единичной площади во временной области и его спектральный состав; в центре - импульс такой же площади, но большей амплитуды, а справа - амплитуда импульса бесконечна, однако его площадь по-прежнему равна единице. Правая картинка особенно интересна тем, что спектр импульса с нулевой шириной содержит все частоты с равными амплитудами.

Рис. 14.6. Спектры импулъсовразной ширины, по одинаковой пяошрди

В 1822 г. французский математикЖ. Б. Ж. Фурье (J. B.J. Fourier) показал в своей работе, посвященной вопросам теплопроводности, что любая периодическая функция может быть разложена на исходные компоненты, включающие частоту повторения и набор гармоник этой частоты, причем каждая из гармоник имеет свою амплитуду и фазу по отношению к частоте повторения. Основные формулы, используемые при Фурье-преобразовании,таковы:

где A() представляет собой компоненту постоянного тока, а А п и В п - гармоники основной частоты порядка и, находящиеся соответственно в фазе и противофазе с ней. Функция/(*), таким образом, является суммой этих гармоник и Ло-

В случаях, когда f{x) симметрична относительно тс/2, т. e. f{x) на области от л до 2л = -f{x) на области от 0 до л, и отсутствует компонента постоянного тока, формулы Фурье-преобразования упрощаются до:

где n = 1, 3,5, 7…

Все гармоники являются синусоидами, только часть из них находится в фазе, а часть - в противофазе с основной частотой. Большинство форм сигналов, встречающихся в силовой электронике, могут быть разложены на гармоники этим манером.

Если преобразование Фурье применить к прямоугольным импульсам длительностью 120°, то гармоники будут составлять набор порядка k = би ± 1, где n - одно из целых чисел. Амплитуда каждой гармоники h по отношению к первой связана с ее номером соотношением h = l//e. При этом первая гармоника будет иметь амплитуду, в 1.1 раза большую, чем амплитуда прямоугольного сигнала.

Преобразование Фурье выдает амплитудное значение для каждой гармоники, но, так как все они являются синусоидальными, среднеквадратичное значение получится просто делением соответствующей амплитуды на корень из 2. Среднеквадратичное значение сложного сигнала представляет собой корень квадратный из суммы квадратов среднеквадратичных значений каждой гармоники, включая первую.

При работе с повторяющимися импульсными функциями полезно рассмотреть рабочий цикл. Если повторяющиеся импульсы на Рис. 14.7 имеют среднеквадратичное значение X за время А, то среднеквадратичное значение за время В будет равно X(A/B) 1 ‘ 2 . Таким образом, среднеквадратичное значение повторяющихся импульсов пропорционально корню квадратному из значения рабочего цикла. Применив этот принцип к прямоугольным импульсамдлительностью 120° (рабочий цикл 2/3) с единичной амплитудой, получим среднеквадратичное значение (2/3) 1/2 = 0.8165.

Рис. 14.7. Определение среднеквадратичного значения (RMS) для повторяющихся

импульсов

Интересно проверить этот результат путем суммирования гармоник, соответствующих упомянутой последовательности прямоугольных импульсов. В Табл. 14.2 приведены результаты этого суммирования. Как видно, все совпадает.

Таблица 14.2. Результаты суммирования гармоник, соответствующих

периодическому сигналу с рабочим циклом 2/3 и единичной амплитудой

Для целей сравнения можно сгруппировать любой набор гармоник и определить соответствующий общий уровень гармонических искажений. Среднеквадратичное значение сигнала при этом определяется по формуле

где h\ - амплитуда первой (основной) гармоники, а h„ - амплитуда гармоник порядка n > 1.

Компоненты, ответственные за искажения, могут быть записаны отдельно как

где n > 1. Тогда

где Fund - первая гармоника, а коэффициент нелинейньа искажений {THD) получится равным D/Fund.

Хотя анализ прямоугольной последовательности импульсов весьма интересен, он редко применяется в реальном мире. Коммутационные эффекты и другие процессы делают прямоугольные импульсы больше похожими на трапецеидальные, или, в случае с преобразователями, с передним фронтом, описываемым выражением 1 cos(0) и задним фронтом, описываемым зависимостью cos(0), где 0 < 0

логарифмическим масштабом наклон соответствующих участков этого графика составляет -2 и -1.Для систем с типовыми значениями реактанса изменение наклона примерно приходится на частоты от 11-й до 35-й гармоники сетевой частоты, причем при увеличении реактанса или тока в системе частота изменения наклона снижается. Практический результат от всего этого состоит в меньшей значимости высших гармоник, чем можно подумать.

Хотя увеличение реактанса способствует уменьшению гармоник высших порядков, обычно это не выполнимо. Более предпочтительным для уменьшения гармонических составляющих в потребляемом токе является увеличение числа импульсов при выпрямлении или преобразовании напряжения, достигаемое сдвигом фаз. Применительно к трансформаторам эта тема была затронута в гл. 7. Если тиристорный преобразователь или выпрямитель питается от обмоток трансформатора, соединенных звездой и треугольником, а выходы преобразователя или выпрямителя соединены последовательно или параллельно, то получается 12-пульсационное выпрямление. Номера гармоник в наборе теперь получаются k = \2n ± 1 взамен k = 6и + 1, где n - одно из целых чисел. Взамен гармоник 5-го и 7-го порядкатеперь появляются гармоники 11-го и 13-го порядков, амплитуда которых существенно меньше. Вполне возможно применение еще большего числа пульсаций, и, например, в больших источниках питания для электрохимических установок используются 48-пульсационные системы. Так как в больших выпрямителях и преобразователях используются наборы соединенных параллельно диодов или тиристоров, дополнительная стоимость фазосдвигающих обмоток в трансформаторе в основном определяет и его цену. На Рис. 14.8 показаны преимущества 12-пульсационной схемы перед 6-пульсационной. Гармоники 11-го и 13-го порядка в 12-пульсационной схеме имеют типовое значение амплитуды, равное примерно 10% от первой гармоники. В схемах с большим числом пульсаций гармоники имеют порядок k = pn + 1, где p - число пульсаций.

Для интереса отметим, что пары наборов гармоник, которые просто сдвинуты друг относительно друга на 30°, не взаимоуничтожаются в 6пульсационной схеме. Токи этих гармоник проникают назад через трансформатор; таким образом, требуется дополнительный сдвиг фаз для получения возможности их взаимного уничтожения.

Не все гармоники находятся в фазе с первой. Например, в трехфазном наборе гармоник, соответствующем последовательности прямоугольных импульсов 120°, фазы гармоник меняются в соответствии с последовательностью -5-я, +7-я, -11-я, +13-я и т.д. При разбалансировке в трехфазной цепи могут возникать однофазные компоненты, что влечет за собой утраивание гармоник с нулевым фазовым сдвигом.

Рис. 14.8. Спектры 6и 12-пульсациоиных преобразователей

Изолирующие трансформаторы часто рассматриваются как панацея от проблем с гармониками. Эти трансформаторы добавляют некоторый реактанс в систему и тем самым способствуют снижению уровня высших гармоник, однако, кроме подавления токов нулевой последовательности и электростатической развязки, проку от них немного.

Общие описания

Французский математик Фурье (Ж. Б. Ж. Фурье 1768-1830) провоз гласил достаточно смелую для своего времени гипотезу. Согласно этой гипотезе не существует функции, которую нельзя было бы разложить в тригонометрический ряд. Однако, к сожалению, в то время такая идея не была воспринята всерьез. И это естественно. Сам Фурье не смог привести убедительных доказательств, а интуитивно поверить в гипотезу Фурье очень трудно. Особенно нелегко представить тот факт, что при сложении простых функций, подобных тригонометрическим, воспроизводятся функции, совершенно на них не похожие. Но если предположить, что гипотеза Фурье верна, то периодический сигнал любой формы можно разложить на синусоиды различных частот, или наоборот, посредством соответствующего сложения синусоид с разными частотами возможно синтезировать сигнал какой угодно формы. Следовательно, если эта теория верна, то ее роль в обработке сигналов может быть очень велика. В этой главе первым делом попы­таемся проиллюстрировать правильность гипотезы Фурье.

Рассмотрим функцию

f(t)= 2sin t – sin 2t

Простой тригонометрический ряд

Функция является суммой тригонометрических функций, иными словами, представлена в виде тригонометрического ряда из двух членов. Добавим одно слагаемое и создадим новый ряд из трех членов

Снова добавив несколько слагаемых, получим новый тригонометрический ряд из десяти членов:

Коэффициенты этого тригонометрического ряда обозначим как b k , где k - целые числа. Если внимательно посмотреть на последнее соотношение, то видно, что коэффициенты можно описать следующим выражением:

Тогда функцию f(t) можно представить следующим образом:

Коэффициенты b k - это амплитуды синусоид с угловой частотой к. Иначе говоря, они задают величину частотных составляющих.

Рассмотрев случай, когда верхний индекс к равен 10, т.е. М= 10. Увеличив значение М до 100, получим функцию f(t).

Эта функция, будучи тригонометрическим рядом, по форме приближается к пилообразному сигналу. И, похоже, гипотеза Фурье совершенно верна по отноше­нию к физическим сигналам, с которыми мы имеем дело. К тому же в этом примере форма сигнала не гладкая, а включает точки разрыва. И то, что функция воспроизводится даже в точках разрыва, выглядит многообещающим.

В физическом мире действительно много явлений, которые можно представить как суммы колебаний различных частот. Типичным примером этих явлений является свет. Он представляет собой сумму электромагнитных волн с длиной волны от 8000 до 4000 ангстрем (от красного цвета свечения до фиолетового). Вы, конечно, знаете, что если белый свет пропустить через призму, то появится спектр из семи чистых цветов. Это происходит потому, что коэффициент преломления стекла, из которого сделана призма, изменяется в зависимости от длины электромагнитной волны. Это как раз и является доказательством того, что белый свет - это сумма световых волн различной дли­ны. Итак, пропустив свет через призму и получив его спектр, мы можем проанализировать свойства света, исследуя цветовые комбинации. Подобно этому, посредством разложения принятого сигнала на различные частотные составляющие, мы можем узнать, как возник первоначальный сигнал, по какому пути он следовал или, наконец, какому внешнему влиянию он подвергался. Одним словом, мы можем получить информацию для выяснения происхождения сигнала.

Подобный метод анализа называется спектральным анализом или анализом Фурье.

Рассмотрим следующую систему ортонормированных функций:

Функцию f(t) можно разложить по этой системе функций на отрезке [-π, π] следующим образом:

Коэффициенты α k , β k , как было показано ранее, можно выразить через скалярные произведения:

В общем виде функцию f(t) можно представить следующим образом:

Коэффициенты α 0 , α k , β k называют коэффициентами Фурье, а подобное представление функции называется разложением в ряд Фурье. Иногда такое представление называют действительным разложением в ряд Фурье, а коэффициенты - действительными коэффициентами Фурье. Термин «действительный» вводится для того, чтобы отличить представленное разложение от разложения в ряд Фурье в комплексной форме.

Как уже было сказано ранее, произвольную функцию можно разложить по системе ортогональных функций, даже если функции из этой системы не представляются в виде тригонометрического ряда. Обычно под разложением в ряд Фурье подразумевается разложение в тригонометрический ряд. Если коэффициенты Фурье выразить через α 0 , α k , β k получим:

Поскольку при k = 0 coskt = 1, то константа а 0 /2 выражает общий вид коэффициента а k при k = 0.

В соотношении (5.1) колебание самого большого периода, представленное суммой cos t и sin t, называют колебанием основной частоты или первой гармоникой. Колебание с периодом, равным половине основного периода, называют второй гармоникой. Колебание с периодом, равным 1/3 основного периода, называют третьей гармоникой и т.д. Как видно из соотношения (5.1) a 0 является постоянной величиной, выражающей среднее значение функции f{t) . Если функция f(t) представляет собой электрический сигнал, то а 0 представляет его постоянную составляющую. Следовательно, все остальные коэффициенты Фурье выражают его переменные составляющие.

На Рис. 5.2 представлен сигнал и его разложение в ряд Фурье: на постоянную составляющую и гармоники различных частот. Во временной области, где переменной величиной является время, сигнал выражается функцией f(t), а в частотной области, где переменной величиной является частота, сигнал представляется коэффициен­тами Фурье (a k , b к).

Первая гармоника является периодической функцией с периодом 2 π.Прочие гармоники также имеют период, кратный 2 π. Исходя из этого, при формировании сигнала из составляющих ряда Фу­рье мы, естественно, получим периодическую функцию с периодом 2 π. А если это так, то разложение в ряд Фурье - это, собственно говоря, способ представления периодических функций.

Разложим в ряд Фурье сигнал часто встречающегося вида. Например, рассмотрим упомянутую ранее пилообразную кривую (Рис. 5.3). Сигнал такой формы на отрезке - π < t < π я выражается функцией f(t) = t , поэтому коэффициенты Фурье могут быть выражены следующим образом:

Пример 1.

Разложение в ряд Фурье сигнала пилообразной формы

f(t) = t,

В предыдущей главе мы познакомились с другой точкой зрения на колеблющуюся систему. Мы видели, что в струне возникают различные собственные гармоники и что любое частное колебание, которое только возможно получить из начальных условий, можно рассматривать как составленную в надлежащей пропорции комбинацию нескольких одновременно осциллирующих собственных гармоник. Для струны мы нашли, что собственные гармоники имеют частоты ω 0 , 2ω 0 , Зω 0 , ... . Поэтому наиболее общее движение струны складывается из синусоидальных колебаний основной частоты ω 0 , затем второй гармоники 2ω 0 , затем третьей гармоники Зω 0 и т. д. Основная гармоника повторяется через каждый период T 1 =2π/ω 0 , вторая гармоника — через каждый период T 2 =2π/2ω 0 ; она повторяется также и через каждый период Т 1 =2Т 2 , т. е. после двух своих периодов. Точно таким же образом через период Т 1 повторяется и третья гармоника. В этом отрезке укладываются три ее периода. И снова мы понимаем, почему задетая струна через период Т 1 полностью повторяет форму своего движения. Так получается музыкальный звук.

До сих пор мы говорили о движении струны. Однако звук, который представляет собой движение воздуха, вызванное движением струны, тоже должен состоять из тех же гармоник, хотя здесь мы уже не можем говорить о собственных гармониках воздуха. К тому же относительная сила различных гармоник в воздухе может быть совсем другой, чем в струне, особенно если струна «связана» с воздухом посредством «звучащей доски». Разные гармоники по-разному связаны с воздухом.

Если для музыкального тона функция f (t ) представляет давление воздуха в зависимости от времени (скажем, такая, как на фиг. 50.1,6), то можно ожидать, что f (t ) записывается в виде суммы некоторого числа простых гармонических функций от времени (подобных cos ωt ) для каждой из различных гармонических частот. Если период колебаний равен Т, то основная угловая частота будет ω=2π/T, а следующие гармоники будут 2ω, Зω и т. д.

Здесь появляется небольшое усложнение. Мы не вправе ожидать, что для каждой частоты начальные фазы обязательно будут равны друг другу. Поэтому нужно пользоваться функциями типа cos (ωt + φ)- Вместо этого, однако, проще использовать для каждой частоты как синус, так и косинус. Напомним, что

а поскольку φ — постоянная, то любые синусоидальные колебания с частотой со могут быть записаны в виде суммы членов, в один из которых входит sin ωt, а в другой — cos ωt.

Итак, мы приходим к заключению, что любая периодическая функция f (t ) с периодом Т математически может быть записана в виде

где ω=2π/T , а а и b — числовые постоянные, указывающие, с каким весом каждая компонента колебания входит в общее колебание f (t ). Для большей общности мы добавили в нашу формулу член с нулевой частотой а 0 , хотя обычно для музыкальных тонов он равен нулю. Это просто сдвиг средней величины звукового давления (т. е. сдвиг «нулевого» уровня). С этим членом наша формула верна для любого случая. Уравнение (50.2) схематически показано на фиг. 50.2. Амплитуды гармонических функций а n и b n выбираются по специальному правилу. На рисунке они показаны только схематически без соблюдения масштаба. [Ряд (50.2) называется рядом Фурье для функций f (t ).]

Мы сказали, что любую периодическую функцию можно написать в таком виде. Следует внести небольшую поправку и подчеркнуть, что в такой ряд можно разложить вообще любую звуковую волну или любую функцию, с которой мы сталкиваемся в физике. Математики, конечно, могут придумать такую функцию, что ее нельзя будет составить из простых гармонических (например, функцию, которая «заворачивает» назад, так что для некоторых величин t она имеет два значения!). Однако здесь нам не стоит беспокоиться о таких функциях.