Рассмотрим поле простейшей системы точечных зарядов. Простейшей системой точечных зарядов является электрический диполь. Электрическим диполем называется совокупность равных по величине, но противоположных по знаку двух точечных зарядов –q и +q , сдвинутых друг относительно друга на некоторое расстояние. Пусть – радиус-вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному. Вектор

называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом, а вектор – плечом диполя. Если длина пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием от диполя до точки наблюдения, то диполь называется точечным.

Вычислим электрическое поле электрического точечного диполя. Поскольку диполь точечный, то безразлично в пределах точности расчета от какой точки диполя отсчитывается расстояние r до точки наблюдения. Пусть точка наблюдения А лежит на продолжении оси диполя (рис. 1.13). В соответствии с принципом суперпозиции для вектора напряженности, напряженность электрического поля в этой точке будет равна

при этом предполагалось, что , .

В векторной форме

где и – напряженности полей, возбуждаемых точечными зарядами –q и +q . Из рис 1.14 видно, что вектор антипараллелен вектору и его модуль для точечного диполя определится выражением

здесь учтено, что при сделанных предположениях .

В векторной форме последнее выражение перепишется следующим образом

Не обязательно, чтобы перпендикуляр АО проходил через центр точечного диполя. В принятом приближении полученная формула остается верной и тогда, когда за точку О принята любая точка диполя.

Общий случай сводится к разобранным частным случаям (рис. 1.15). Опустим из заряда +q перпендикуляр СD на линию наблюдения ВА . Поместим в точку D два точечных заряда +q и –q . Это не изменит поля. Но полученную совокупность четырех зарядов можно рассматривать как совокупность двух диполей с дипольными моментами и . Диполь мы можем заменить геометрической суммой диполей и . Применяя теперь к диполям и полученные ранее формулы для напряженности на продолжении оси диполя и на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя, в соответствии с принципом суперпозиции получим:

Учитывая, что , получим:

здесь использовано, что .

Таким образом, характерным для электрического поля диполя является то, что оно убывает во всех направлениях пропорционально , то есть быстрее, чем поле точечного заряда.

Рассмотрим теперь силы, действующие на диполь в электрическом поле. В однородном поле заряды +q и –q окажутся под действием равных по величине и противоположных по направлению сил и (рис. 1.16). Момент этой пары сил будет:

Момент стремится повернуть ось диполя в положение равновесия, то есть в направлении вектора . Существует два положения равновесия диполя: когда диполь параллелен электрическому полю и антипараллелен ему. Первое положение будет устойчиво, а второе нет, так как в первом случае при малом отклонении диполя от положения равновесия возникнет момент пары сил, стремящийся вернуть его в исходное положение, во втором случае возникающий момент уводит диполь ещё дальше от положения равновесия.

Теорема Гаусса

Как было сказано выше, силовые линии условились проводить с такой густотой, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям площадки, было бы равно модулю вектора . Тогда по картине линий напряженности можно судить не только о направлении, но и величине вектора в различных точках пространства.

Рассмотрим силовые линии неподвижного положительного точечного заряда. Они представляют собой радиальные прямые, выходящие из заряда и заканчивающиеся на бесконечности. Проведем N таких линий. Тогда на расстоянии r от заряда число силовых линий, пересекающих единицу поверхности сферы радиуса r , будет равно . Эта величина пропорциональна напряженности поля точечного заряда на расстоянии r. Число N всегда можно выбрать таким, чтобы выполнялось равенство

откуда . Поскольку силовые линии непрерывны, то такое же число силовых линий пересекает замкнутую поверхность любой формы, охватывающую заряд q. В зависимости от знака заряда силовые линии либо входят в эту замкнутую поверхность, либо выходят наружу. Если число выходящих линий считать положительным, а входящих – отрицательным, то можно опустить знак модуля и записать:

.

(1.4)

Поток вектора напряженности. Поместим в электрическое поле элементарную площадку, имеющую площадь . Площадка должна быть настолько малой, чтобы напряженность электрического поля во всех ее точках можно было считать одинаковой. Проведем нормаль к площадке (рис. 1.17). Направление этой нормали выбирается произвольно. Нормаль составляет угол с вектором . Потоком вектора напряженности электрического поля через выделенную поверхность называется произведение площади поверхности на проекцию вектора напряженности электрического поля на нормаль к площадке:

где – проекция вектора на нормаль к площадке .

Поскольку число силовых линий, пронизывающих единичную площадку, равно модулю вектора напряженности в окрестности выделенной площадки, то поток вектора напряженности через поверхность пропорционален числу силовых линий, пересекающих эту поверхность. Поэтому, в общем случае, наглядно поток вектора напряженности поля через площадку можно интерпретировать как величину, равную числу силовых линий, пронизывающих эту площадку:

.

(1.5)

Заметим, что выбор направления нормали условен, ее можно направить и в другую сторону. Следовательно, поток – величина алгебраическая: знак потока зависит не только от конфигурации поля, но и от взаимной ориентации вектора нормали и вектора напряженности. Если эти два вектора образуют острый угол, поток положителен, если тупой – отрицателен. В случае замкнутой поверхности принято нормаль брать наружу области, охватываемой этой поверхностью, то есть выбирать внешнюю нормаль.

Если поле неоднородно и поверхность произвольна, то поток определяется так. Всю поверхность надо разбить на малые элементы площадью , вычислить потоки напряженности через каждый из этих элементов, а потом просуммировать потоки через все элементы:

Таким образом, напряженность поля характеризует электрическое поле в точке пространства. Поток напряженности зависит не от значения напряженности поля в данной точке, а от распределения поля по поверхности той или иной площади.

Силовые линии электрического поля могут начинаться только на положительных зарядах и заканчиваться на отрицательных. Они не могут начинаться или обрываться в пространстве. Поэтому, если внутри некоторого замкнутого объема нет электрического заряда, то полное число линий, входящих в данный объем и выходящих из него, должно равняться нулю. Если из объема выходит больше линий, чем входит в него, то внутри объема находится положительный заряд; если входит линий больше, чем выходит, то внутри должен быть отрицательный заряд. При равенстве полного заряда внутри объема нулю или при отсутствии в нем электрического заряда линии поля пронизывают его насквозь, и полный поток равен нулю.

Эти простые соображения не зависят от того, как электрический заряд распределен внутри объема. Он может находиться в центре объема или вблизи поверхности, ограничивающей объем. В объеме может находиться несколько положительных и отрицательных зарядов, распределенных внутри объема любым способом. Только суммарный заряд определяет полное число входящих или выходящих линий напряженности.

Как видно из (1.4) и (1.5), поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряд q, равен . Если внутри поверхности находится n зарядов, то, согласно принципу суперпозиции полей, полный поток будет складываться из потоков напряженностей полей всех зарядов и будет равен , где под в этом случае подразумевается алгебраическая сумма всех зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью.

Теорема Гаусса. Гаусс первым обнаружил тот простой факт, что поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность должен быть связан с полным зарядом, находящимся внутри этого объема.

Петлевые вибраторы серии "D" (наиболее близкий зарубежный аналог ANT150D фирмы Telewave) выполнены в разборном виде из трёх частей - собственно петлевого вибратора (1), траверсы (2) и крепежного узла (3) (см. рисунок).

Петлевой вибратор изготовлен из толстостенной алюминиевой трубы и имеет длину около?/2. Узел крепления (4) к траверсе приварен с помощью аргонно-дуговой сварки, что гарантирует надежный электрический контакт в пучности тока. Для согласования с 50-омным кабелем применяется 1/4-волновой трансформатор, благодаря проложенной линии питания внутри диполя происходит симметрирование антенны.

Все контакты пропаяны, а винтовые соединения закрашены. Весь узел питания загерметизирован: для придания жесткости используется ПВХ трубка, а для герметизации - термоусадочная трубка совместно с молекулярным клеем-герметиком (5). Вся антенна защищена от воздействия агрессивных сред полимерным покрытием. Траверса антенны - труба диаметром 35 мм тщательно подогнана под диполь для облегчения монтажа антенны. Узел крепления к мачте - силуминовый литой. Дополнительная обработка также обеспечивает надежность стыковки с траверсой и легкое крепление к мачте диаметром 38-65 мм под любым углом. Антенна имеет метку (6) для правильной фазировки, а также дренажное отверстие (7) внизу вибратора.

В антенне применяется отечественный кабель (8) РК 50-7-11 с невысокими потерями (0,09 dB/м на 150 МГц). Антенны снабжены разъемами (9) N-типа, которые тщательно пропаяны и загерметизированы.

Удобная картонная упаковка позволяет транспортировать антенну любым видом транспорта.

Петлевые диполи серии "DP" имеют некоторые конструктивные отличия от диполей серии "D".

Во-первых, эта антенна имеет неразборную конструкцию - сам диполь (10) приварен к короткой траверсе (11). Питание диполя несимметричное, что, однако, нисколько не ухудшает его характеристик. Из-за близкого расположения к мачте - рефлектору полоса несколько уже и составляет 150-170 МГц, а уровень излучения назад ниже на 10 dB. Зато в главном направлении получается выигрыш в 3 dBd.

Во-вторых, крепление к мачте производится облегченными стальными оцинкованными хомутами (12) и позволяет крепить антенну к мачте (13) диаметром 25-60 мм. Во всем остальном по технологии изготовления антенны серии "DP" не отличаются от диполей серии "D".

Диполи серии "DH" - наиболее дешевые антенны. Они представляют собой конструктор "сделай сам", где в течение нескольких минут, пользуясь нашей инструкцией, Вы соберете классический линейный заземленный вибратор с гамма-согласованием. В комплект входит собственно сам излучатель - штырь диаметром 12 мм (14), траверса (15) с отверстием под крепление и приваренным кронштейном с разъемом (16).

Детали гамма-согласователя позволяют настроить диполь практически идеально на любой выбранной Вами частоте (с применением обычного рефлектометра).

Каждый диполь снабжен подробной инструкцией по настройке и графиками длин вибратора.

В руках мастера этот набор превратится в настоящую связную высокоэффективную антенную систему!

А. Б. Рыбаков ,
, Военно-космический кадетский корпус, г. Санкт-Петербург

Диполь в поле и поле диполя

Основные вопросы электростатики: Какое поле создаёт данное распределение зарядов и какая сила действует на эти заряды во внешнем поле? Относительно точечного заряда эти вопросы решаются известными всем формулами школьного курса. Следующий важный и простой объект электростатики – это, конечно, диполь. Диполь – это два разноимённых, равных по величине точечных заряда, расположенных на фиксированном расстоянии l друг от друга. Диполь характеризуется дипольным моментом p = qL (1)
где l – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному.
Интерес к диполю связан, в частности, с тем, что молекулы многих веществ обладают дипольным моментом, а кроме того, молекулы всех веществ приобретают дипольный момент во внешнем электрическом поле. И макроскопические тела (как проводящие, так и не проводящие ток) во внешнем поле поляризуются, т.е. приобретают дипольный момент. Важнейшие приложения представленных здесь результатов – это поля в диэлектрике.
Поставим самые напрашивающиеся вопросы в заявленной теме и попытаемся их разрешить. Никакой особой математики, выходящей за рамки школьного курса, нам не понадобится.
Производную от функции Ф(х) будем обозначать dФ/dх. Для удобства записи некоторых результатов мы будем использовать скалярное произведение векторов.
Напомним, что a · b = a · b · cos α, где α – угол между векторами. Размерную константу в законе Кулона мы обозначаем

Диполь в поле (простые задачи)
1 . Какие силы действуют на диполь в однородном электрическом поле?
Пусть диполь p находится в поле напряжённостью E , пусть вектор дипольного момента составляет угол α с вектором напряжённости поля. Легко видеть, что на диполь в этом случае действует пара сил с моментом
М = qElsin α = pEsin α , которая стремится ориентировать диполь вдоль силовых линий поля. Так что если диполь может вращаться, то он сориентируется указанным образом. Заметим, что у диполя есть и другое положение равновесия, когда он сориентирован противоположным образом, но это положение неустойчиво.
2 . Какова энергия диполя в однородном поле?
Как всегда, в задачах, где речь идёт о потенциальной энергии, надо сначала условиться, откуда мы будем эту энергию отсчитывать. Пусть мы отсчитываем её от указанного выше равновесного положения. Тогда энергия – это работа, которую совершат силы поля при вращении диполя вокруг своего центра от исходного положения, характеризуемого углом α (см. рис. к п. 1), до равновесного. Напомним, что работа связана только с перемещением заряда вдоль направления E . Заряды диполя при таком вращении сместятся вдоль линий поля (в разные стороны) на l (1– cos α)/2. Поэтому искомая энергия W = qEl (1 – cos α) = pE (1 – cos α).
Но чаще в учебниках по электричеству предпочитают в этой задаче полагать, что W = 0 в том положении диполя, когда вектор p перпендикулярен E . В этом случае
W = –qEl  cos α = –pE .
Высказанное в конце п. 1 утверждение можно теперь сформулировать и иначе: диполь стремится занять теперь положение с минимальной энергией. Так, дипольные молекулы диэлектрика во внешнем поле стремятся все сориентироваться указанным образом (а тепловое движение мешает им в этом).
3 . Теперь пусть диполь, сориентированный вдоль линий поля, находится в неоднородном поле. Тогда, как легко видеть, на него вдоль линий поля действует сила, направленная в сторону увеличения величины поля:
(индексы «+» и «–» помечают тот заряд диполя, к которому относится соответствующая физическая величина). Именно эта сила объясняет самый простой опыт, в котором заряженное тело (независимо от знака заряда) притягивает мелкие кусочки бумаги.

Поле диполя
4 . Прежде чем заняться расчётом поля диполя, остановимся на общих моментах. Пусть, например, нас интересует гравитационное поле какого-то астероида неправильной формы. Поле в непосредственной близости от астероида можно получить только путём компьютерного расчёта. Но, чем дальше мы отходим от астероида, тем с большей точностью мы можем рассматривать его как материальную точку (поле которой мы знаем). При стремлении к большей математической строгости надо было сказать, что мы знаем асимптотическое поведение поля при
С похожей ситуацией мы сталкиваемся и в электростатическом поле. Электростатическое поле по своим свойствам очень похоже на гравитационное (потому что аналогичны фундаментальные законы: закон Кулона и закон всемирного тяготения), но, если так можно сказать, «богаче» его. Ведь электрические заряды могут быть двух типов, между ними возможно и притяжение, и отталкивание, а между «гравитационными зарядами» (т.е. массами) возможно только притяжение.
Будем считать, что в какой-то ограниченной области распределены положительные и отрицательные точечные заряды q 1 , q 2 , … , q n . Полный заряд системы
(2)
Мы уже понимаем, что при Q ≠ 0 поле при больших r переходит в поле точечного заряда Q. Но возникает очень важный для нас вопрос: каким будет поле на больших расстояниях, если полный заряд
Q = 0? Самое простое распределение точечных зарядов с Q = 0 – это и есть диполь. Вот почему изучение поля диполя несёт в себе важные принципиальные моменты.
Итак, нас будут в основном интересовать такие ситуации, когда все характерные размеры r весьма велики по сравнению с расстоянием l между зарядами диполя. Эту ситуацию можно описать двояко. Во-первых, мы можем всегда иметь в виду, что заряды расположены на конечном расстоянии l друг от друга, и интересоваться поведением полученных решений при Но можно и п росто говорить о точечном диполе с определённым дипольным моментом p , тогда все наши результаты справедливы при любом r > 0 (две эти точки зрения, конечно, эквивалентны).
Мы будем использовать известные всем формулы для полей точечных зарядов и в полученных выражениях учитывать, что l мало. Поэтому напомним формулы приближённых вычислений: если , то
Везде в выкладках знак «≈» будет указывать на то, что мы воспользовались этими формулами в случае малого параметра (малый параметр в рассматриваемых задачах – это l/r).
5 . Качественная картинка силовых линий поля диполя хорошо известна, приводится во многих учебниках, и мы не будем её здесь приводить. Хотя и расчёт поля в произвольной точке несложен, мы всё же ограничимся расчётом потенциала и напряжённости вдоль двух выделенных направлений. Совместим начало системы координат с центром диполя, ось х направим вдоль вектора p , а ось Y – перпендикулярно (при этом заряды диполя отстоят от начала координат на расстояние ). Будем считать, что в бесконечно удалённой точке
6. Рассчитаем напряжённость поля диполя на оси Y.
По принципу суперпозиции, E = E + + E – , где E + и E – – векторы напряжённости полей отдельных зарядов. Из подобия треугольников:
что можно записать как
Теперь скажем о ходе потенциала вдоль оси Y. По­скольку в любой точке оси Y вектор E перпендикулярен оси, то при перемещении какого-то заряда вдоль этой оси поле диполя никакой работы не совершает, и следовательно, в любой точке этой оси
7 . Вычислим потенциал j поля в произвольной точке оси х. По принципу суперпозиции, он равен сумме потенциалов и созданных положительным и отрицательным зарядами.
Пусть х > 0, тогда:
(3)
(выражение для (х) для х < 0 будет c другим знаком).
Из симметрии задачи ясно, что на оси х вектор напряжённости поля E имеет только составляющую Е х. Её можно вычислить, исходя из известной формулы, связывающей напряжённость поля и потенциал:
(4)
но в школьном курсе формулу (4) обычно обходят стороной, поэтому вычислим Ех непосредственно: или

Итак, при удалении от диполя по оси х или по оси y поле спадает как r –3 . Можно доказать, что так же ведёт себя поле по любому направлению.
Выражение для потенциала в произвольной точке приведём без вывода: (т.е. при удалении

По любому направлению, кроме оси Y, потенциал спадает как r –2 ). Убедитесь, что в частных случаях эта формула приводит к уже известным нам результатам.
8. Отступление. Вспомним, что у бесконечной равномерно заряженной плоскости напряжённость поля не зависит от расстояния от плоскости (или, если угодно, спадает как r 0 ). У точечного заряда – убывает как r –2 . У диполя, как мы выяснили, убывает на бесконечности как r –3 . Попробуйте догадаться, у какого распределения зарядов напряжённость поля убывает как r –1 ; r –4 .

Взаимодействие диполя с другими зарядами
9. Теперь рассмотрим взаимодействие диполя и точечного заряда q′ (пусть q′ > 0). Рисунок в значительной степени повторяет рисунок в п. 5. Там мы рассчитали напряжённость поля диполя и, следовательно, уже знаем, какая сила действует на точечный заряд. Заметим, что это взаимодействие являет нам простейший пример нецентральных сил (вспомните, где в школьном курсе встречаются нецентральные силы между частицами).
Но ещё остались вопросы: какая сила действует на диполь? где она приложена? Можно ответить на эти вопросы сразу, без раздумий. Искомая сила F , по третьему закону Ньютона, должна быть равна – F ′ и должна быть приложена на одной прямой с F ′ . Быть может, кого-то удивит, что равнодействующая двух сил, действующих на заряды +q и –q диполя, оказалась приложена где-то в стороне от диполя. Что это значит? Ничего не значит. А что значит, что равнодействующая сил тяжести, действующих на бублик, приложена в центре дырки? Равнодействующая двух сил никакого особого смысла не имеет, она просто во всех отношениях заменяет несколько (или даже бесчисленное множество) сил в фундаментальных уравнениях механики. (Объективности ради отметим, что есть весьма известные авторы, для которых такая точка зрения неприемлема. Они предпочитают говорить, что на диполь со стороны точечного заряда действует сила, приложенная к самому диполю, и ещё момент сил).
10 . Найдите силу и энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р 1 и р 2 лежат на одной прямой. Расстояние между диполями x.
Сосчитаем суммарную энергию зарядов второго диполя в поле первого (см. п. 7):

Ясно, что диполи, обращённые друг к другу разноимёнными полюсами (как на рисунке), притягиваются (этому соответствует знак «–» в выражении для W), при перевороте одного из диполей энергия сменит знак.
Не будем больше воспроизводить довольно однообразные выкладки и сразу выпишем выражение для величины силы взаимодействия этих диполей (проверьте!):
11. Найдите энергию взаимодействия двух диполей, у которых р 1 лежит на прямой, соединяющей диполи, а р 2 перпендикулярен к ней. Расстояние между диполями x. (Проверьте себя – ответ очевиден.)
12 . Найдите энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р 1 и р 2 параллельны друг другу и оба перпендикулярны оси х, на которой расположены диполи.

Дополнительные замечания
13. Итак, диполь являет нам простейший пример системы зарядов с полным зарядом Q = 0. Как мы видели, потенциал поля диполя на больших расстояниях от него убывает как r –2 . Нельзя ли обобщить этот результат на более общий случай?
Можно обобщить понятие дипольного момента так, чтобы оно характеризовало любое распределение зарядов. В частности, для системы n точечных зарядов дипольный момент определяют так:
. (5)

Легко видеть, что эта величина аддитивна. Можно доказать, что Р при Q = 0 не зависит от выбора начала отсчёта. Убедитесь, что в частном случае эта формула переходит в (1).
Сосчитайте дипольный момент Р ряда простых распределений зарядов (во всех случаях расстояние между ближайшими зарядами l ).
Можно было бы вести речь и о непрерывных распределениях зарядов, но тогда вместо сумм в (2) и (5) пришлось бы писать интегралы по объёму.
Полученные выше результаты подсказывают нам, в чём значение дипольного момента. И действительно, можно в общем случае доказать, что чем дальше мы отойдём от произвольной системы зарядов с полным зарядом Q = 0 и дипольным моментом Р ≠ 0, тем её поле будет ближе к рассмотренному нами полю элементарного диполя с дипольным моментом Р .
Можно было бы пойти по этому пути дальше и рассмотреть поле системы зарядов с Q = 0 и P = 0. Один из самых простых примеров такой системы представлен на рис. а – это так называемый квадруполь. Потенциал поля квадруполя убывает на бесконечности как r –3 .
Ряд «точечный заряд – диполь – квадруполь...» можно продолжать и далее. Общее название таких объектов мультиполь. Но мы на этом остановимся.

14. При помещении атома в электрическое поле силы, приложенные к ядру и к электронной оболочке, направлены в разные стороны. Под действием этих сил атом приобретает дипольный момент Р , совпадающий по направлению с направлением напряжённости внешнего поля Е 0 .
Конечно, молекулы тоже приобретают во внешнем поле дипольный момент (но для них, вообще говоря, несправедливо предыдущее утверждение о направлении вектора Р ).
Но многие молекулы имеют дипольные моменты и в отсутствие внешнего поля. Причём эти собственные дипольные моменты обычно намного превышают наведённые моменты (если говорить об обычных, достижимых в лаборатории полях). Для множества процессов в природе (в частности, для существования жизни) чрезвычайно важно, что у молекулы воды есть дипольный момент.
«Трудно вообразить, на что был бы похож мир, если бы атомы в молекуле Н 2 О были расположены по прямой линии, как в молекуле СО 2 ; вероятно, наблюдать это было бы некому» (Э.Парселл . Электричество и магнетизм. – М., 1975).

Ответы
К п. 8 . Система зарядов, у которой напряжённость поля убывает на бесконечности как r –1 , – это бесконечная равномерно заряженная нить.
К п. 11 . При перемещении первого диполя вдоль оси х на его заряды действуют со стороны второго диполя силы, перпендикулярные этой оси, т.е. никакая работа при этом не совершается, значит, W = 0.
К п. 12 . Для упрощения расчёта надо удачно выбрать способ перевода одного из диполей из бесконечности в интересующее нас состояние. Удобно сначала перемещать его вдоль оси х, ориентировав его вектор дипольного момента вдоль оси (при этом работа сил взаимодействия диполей равна нулю), а потом повернуть его на 90°. При повороте второго диполя внешние силы должны совершить работу (см. п. 2) . Это и есть энергия взаимодействия диполей.
К п. 13 . Дипольные моменты равны: а) 0 ; б) 2qlj ;
в) 0; г) –3qli (здесь i и j – единичные векторы в направлениях осей X и Y соответственно).

Потенциальная энергия жесткого диполя

Рассмотрим так называемый жесткий диполь -- это диполь, у которого расстояние между зарядами не изменяется ($l=const$). Определим, какова потенциальная энергия, которую имеет диполь во внешнем электростатическом поле. Если заряд $q$, который находится в точке поля с потенциалом $\varphi $, имеет потенциальную энергию равную:

то энергия диполя равна:

где ${\varphi }_+;{\varphi }_-$ - потенциалы внешнего поля в точках нахождения зарядов $q$ и $-q$. Потенциал электростатического поля убывает линейно, если поле однородно в направлении вектора напряженности поля. Направим ось X вдоль поля (рис.1). Тогда получим:

Из рис. 1 видим, что изменение потенциала от ${\varphi }_+до\ {\varphi }_-$происходит на отрезке $\triangle x=lcos \vartheta$, поэтому:

Электрический момент диполя

Подставим (4) в (2), получим:

где $\overrightarrow{p}$=$q\overrightarrow{l}$ -- электрический момент диполя. Уравнение (6) не учитывает энергию взаимодействия зарядов диполя. Формула (6) получена при условии, что поле однородно, однако, она справедлива и для неоднородного поля.

Пример 1

Задание: Рассмотрите диполь, который находится в неоднородном поле, которое симметрично относительно оси X. Объясните, как поведет себя диполь в таком поле с точки зрения действующих на него сил.

Пусть центр диполя лежит на оси X (рис.2). Угол между плечом диполя и осью X равен $\vartheta \ne \frac{\pi }{2}$. В нашем случае силы $F_1\ne F_2$.На диполь будет действовать вращательный момент и

сила, которая стремится переместить диполь по оси X. Чтобы найти модуль этой силы используем формулы:

В соответствии с уравнением для потенциальной энергии диполя имеем:

считаем, что $\vartheta=const$

Для точек оси X имеем:

\ \

При $\vartheta 0$, значит, диполь втягивается в область более сильного поля. При $\vartheta >\frac{\pi }{2}$ $F_x

Заметим, что если $-\frac{\partial W}{\partial x}=F_x$, производная от потенциальной энергии дает проекцию силы на соответствующую ось, то производная $-\frac{\partial W}{\partial \vartheta}=M_\vartheta$ дает проекцию вращательного момента на ось $?$:

\[-\frac{\partial W}{\partial \vartheta}=M_\vartheta=-pEsin \vartheta (1.4.)\]

В формуле (1.4) минус означает, что момент стремится уменьшить угол меду электрическим моментом диполя и вектором напряженности поля. Диполь в электрическом поле стремится повернуться так, чтобы электрический момент диполя, был параллельно полю ($\overrightarrow{p}\uparrow \uparrow \overrightarrow{E}$). При $\overrightarrow{p}\uparrow \downarrow \overrightarrow{E}$ вращающий момент тоже будет равен нулю, но такое равновесие не устойчиво.

Пример 2

Задание: Два диполя находятся на расстоянии $r$ друг от друга. Их оси лежат на одной прямой. Электрические моменты равны соответственно: $p_1$ и $p_2$. Вычислите потенциальную энергию любого из диполей, которая будет соответствовать положению устойчивого равновесия.

Система будет находиться в состоянии равновесия, когда диполи ориентированы, как показано на рис. 3, вдоль поля, противоположными по знаку зарядами друг к другу.

Будем считать, что поле создаёт диполь с моментом $p_1$, будем искать потенциальную энергию диполя, который обладает электрическим моментом $p_2$ в точке поля (A) на расстоянии r от первого диполя. Примем, что плечи диполя малы по сравнению с расстоянием между диполями ($l\ll r$). Диполи можно будет принять за точечные (так считаем, что диполь с моментом $p_2\ находится\ в\ точке\ А$). Напряжённость поля, которое создает диполь на его оси в точке А по модулю равна (при $\varepsilon =1$):

Потенциальная энергия диполя с моментом $p_2$ в точке А может быть выражена формулой:

где мы учли, что векторы напряженности и электрического момента диполя сонаправлены в состоянии устойчивого равновесия. В таком случае потенциальная энергия второго диполя будет равна:

Ответ: Потенциальные энергии диполей будут равны по величине $W=-p_2\frac{p_1}{2\pi {\varepsilon }_0r^3}$.

Чтобы понять механизм поведения диэлектриков в поле на микроскопическом уровне, нам надо сначала объяснить, как может электрически нейтральная система реагировать на внешнее электрическое поле. Простейший случай - полное отсутствие зарядов - нас не интересует. Мы знаем наверняка, что в диэлектрике имеются электрические заряды - в составе атомов, молекул, ионов кристаллической решетки и т. д. Поэтому мы рассмотрим следующую по простоте конструкции электронейтральную систему - два равных по величине и противоположных по знаку точечных заряда +q и –q , находящихся на расстоянии l друг от друга. Такая система называется электрическим диполем .

Рис. 3.6. Электрический диполь

Линии напряженности электрического поля и эквипотенциальные поверхности электрического диполя выглядят следующим образом (рис. 3.7, 3.8, 3.9)

Рис. 3.7. Линии напряженности электрического поля электрического диполя

Рис. 3.8. Эквипотенциальные поверхности электрического диполя

Рис. 3.9. Линии напряженности электрического поля и эквипотенциальные поверхности

Основной характеристикой диполя является . Введем вектор l , направленный от отрицательного заряда (–q ) к положительному (+q ), тогда вектор р , называемый электрическим моментом диполя или просто дипольным моментом , определяется как

Рассмотрим поведение «жесткого» диполя - то есть расстояние которого не меняется - во внешнем поле Е (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Силы, действующие на электрический диполь, помещенный во внешнее поле

Пусть направление дипольного момента составляет с вектором Е угол . На положительный заряд диполя действует сила, совпадающая по направлению с Е и равная F 1 = +qE , а на отрицательный - противоположно направленная и равная F 2 = –qE . Вращающий момент этой пары сил равен

Так как ql = р , то М = рЕ sin или в векторных обозначениях

(Напомним, что символ

означает векторное произведение векторов а и b .) Таким образом, при неизменном дипольном моменте молекулы () механический момент, действующий на нее, пропорционален напряженности Е внешнего электрического поля и зависит от угла между векторами р и E .

Под действием момента сил М диполь поворачивается, при этом совершается работа

которая идет на увеличение его потенциальной энергии. Отсюда получаем потенциальную энергию диполя в электрическом поле

если положить const = 0.

Из рисунка видно, что внешнее электрическое поле стремится повернуть диполь таким образом, чтобы вектор его электрического момента р совпал по направлению с вектором Е . В этом случае , а, следовательно, и М = 0. С другой стороны, при потенциальная энергия диполя во внешнем поле принимает минимальное значение , что соответствует положению устойчивого равновесия. При отклонении диполя от этого положения снова возникает механический момент, который возвращает диполь в первоначальное положение. Другое положение равновесия, когда дипольный момент направлен против поля является неустойчивым . Потенциальная энергия в этом случае принимает максимальное значение и при небольших отклонениях от такого положения возникающие силы не возвращают диполь назад, а еще больше отклоняют его.

На рис. 3.11 показан опыт, иллюстрирующий возникновение момента электрических сил, действующих на диэлектрик в электрическом поле. На удлиненный диэлектрический образец, расположенный под некоторым углом к силовым линиям электростатического поля, действует момент сил, стремящийся развернуть этот образец вдоль поля. Диэлектрическая палочка, подвешенная за середину внутри плоского конденсатора, разворачивается перпендикулярно его пластинам после подачи на них высокого напряжения от электростатической машины. Появление вращающего момента обусловлено взаимодействием поляризовавшейся палочки с электрическим полем конденсатора.

Рис. 3.11. Момент электрических сил, действующих на диэлектрик в электрическом поле

В случае неоднородного поля на рассматриваемый диполь будет действовать еще и равнодействующая сила F paвн, стремящаяся его сдвинуть. Мы рассмотрим здесь частный случай. Направим ось х вдоль поля Е . Пусть диполь под действием поля уже повернулся вдоль силовой линии, так что отрицательный заряд находится в точке с координатой x , а положительный заряд расположен в точке с координатой х + l . Представим себе, что величина напряженности поля зависит от координаты х . Тогда равнодействующая сила F paвн равна

Такой же результат может быть получен из общего соотношения

где энергия П определена в (3.8). Если Е увеличивается с ростом x , то

и проекция равнодействующей силы положительна. Это значит, что она стремиться втянуть диполь в область, где напряженность поля больше. Этим объясняется известный эффект, когда нейтральные кусочки бумаги притягиваются к наэлектризованной расческе. В плоском конденсаторе с однородным полем они остались бы неподвижными.

Рассмотрим несколько опытов, иллюстрирующих возникновение силы, действующей на диэлектрик, помещенный в неоднородное электрическое поле.

На рис. 3.12 показано втягивание диэлектрика в пространство между обкладками плоского конденсатора. В неоднородном электростатическом поле на диэлектрик действуют силы, втягивающие его в область более сильного поля.

Рис. 3.12. Втягивание жидкого диэлектрика в плоский конденсатор

Это демонстрируется при помощи прозрачного сосуда, в который помещен плоский конденсатор, и налито некоторое количество жидкого диэлектрика - керосина (рис.3.13). Конденсатор присоединен к высоковольтному источнику питания - электростатической машине. При ее работе на нижнем краю конденсатора, в области неоднородного поля, на керосин действует сила, втягивающая его в пространство между пластинами. Поэтому уровень керосина внутри конденсатора устанавливается выше, чем снаружи. После выключения поля уровень керосина между пластинами падает до его уровня в сосуде.

Рис. 3.13. Втягивание керосина в пространство между обкладками плоского конденсатора

В реальных веществах нечасто встречаются диполи, образованные только двумя зарядами. Обычно мы имеем дело с более сложными системами. Но понятие электрического дипольного момента применимо и к системам со многими зарядами. В этом случае дипольный момент определяется как

где , - величина заряда с номером i и радиус-вектор, определяющий его местоположение, соответственно. В случае двух зарядов мы приходим к прежнему выражению

Пусть наша система зарядов электрически нейтральна. В ней есть положительные заряды, величины которых и местоположения мы обозначим индексом «+». Индексом «–» мы снабдим абсолютные величины отрицательных зарядов и их радиус-векторы. Тогда выражение (3.10) может быть записано в виде

В (3.11) в первом слагаемом суммирование ведется по всем положительным зарядам, а во втором - по всем отрицательным зарядам системы.

Выражения (3.13) аналогичны формулам для центра масс в механике, и потому мы назвали их центрами положительных и отрицательных зарядов, соответственно. С этими обозначениями и с учетом соотношения (3.12) мы записываем электрический дипольный момент (3.11) системы зарядов в виде

где l -вектор, проведенный из центра отрицательных зарядов в центр положительных зарядов. Смысл нашего упражнения заключается в демонстрации, что любую электрически нейтральную систему зарядов можно представить как некий эквивалентный диполь.