Напряжением называется интенсивность действия внутренних сил в точке тела, то есть, напряжение - это внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади. По своей природе напряжение - это , возникающая на внутренних поверхностях соприкасания частей тела. Напряжение, так же как и интенсивность внешней поверхностной нагрузки, выражается в единицах силы, отнесенных к единице площади:Па=Н/м 2 (МПа = 10 6 Н/м 2 , кгс/см 2 =98 066 Па ≈ 10 5 Па, тс/м 2 и т. д.).

Выделим небольшую площадку ∆A . Внутреннее усилие, действующее на нее, обозначим ∆\vec{R}. Полное среднее напряжение на этой площадке \vec{р} = ∆\vec{R}/∆A . Найдем предел этого отношения при ∆A \to 0 . Это и будет полным напряжение на данной площадке (точке) тела.

\textstyle \vec{p} = \lim_{\Delta A \to 0} {\Delta\vec{R}\over \Delta A}

Полное напряжение \vec p, как и равнодействующая внутренних сил, приложенных на элементарной площадке, является векторной величиной и может быть разложено на две составляющие: перпендикулярное к рассматриваемой площадке – нормальное напряжение σ n и касательное к площадке – касательное напряжение \tau_n. Здесь n – нормаль к выделенной площадке .

Касательное напряжение, в свою очередь, может быть разложено на две составляющие, параллельные координатным осям x, y , связанным с поперечным сечением – \tau_{nx}, \tau_{ny}. В названии касательного напряжения первый индекс указывает нормаль к площадке,второй индекс — направление касательного напряжения.

$$\vec{p} = \left[\matrix{\sigma _n \\ \tau _{nx} \\ \tau _{nx}} \right]$$

Отметим, что в дальнейшем будем иметь дело главным образом не с полным напряжением \vec p , а с его составляющими σ_x,\tau _{xy}, \tau _{xz} . В общем случае на площадке могут возникать два вида напряжений: нормальное σ и касательное τ .

Тензор напряжений

При анализе напряжений в окрестности рассматриваемой точки выделяется бесконечно малый объемный элемент (параллелепипед со сторонами dx, dy, dz ), по каждой грани которого действуют, в общем случае, три напряжения, например, для грани, перпендикулярной оси x (площадка x) – σ_x,\tau _{xy}, \tau _{xz}

Компоненты напряжений по трем перпендикулярным граням элемента образуют систему напряжений, описываемую специальной матрицей – тензором напряжений

$$ T _\sigma = \left[\matrix{
\sigma _x & \tau _{yx} & \tau _{zx} \\
\tau _{xy} & \sigma _y & \tau _{zy} \\ \tau _{xz} & \tau _{yz} & \sigma _z
}\right]$$

Здесь первый столбец представляет компоненты напряжений на площадках,
нормальных к оси x, второй и третий – к оси y и z соответственно.

При повороте осей координат, совпадающих с нормалями к граням выделенного
элемента, компоненты напряжений изменяются. Вращая выделенный элемент вокруг осей координат, можно найти такое положение элемента, при котором все касательные напряжения на гранях элемента равны нулю.

Площадка, на которой касательные напряжения равны нулю, называется главной площадкой .

Нормальное напряжение на главной площадке называется главным напряжением

Нормаль к главной площадке называется главной осью напряжений .

В каждой точке можно провести три взаимно-перпендикулярных главных площадки.

При повороте осей координат изменяются компоненты напряжений, но не меняется напряженно-деформированное состояние тела (НДС).

Внутренние усилия есть результат приведения к центру поперечного сечения внутренних сил, приложенных к элементарным площадкам. Напряжения – мера, характеризующая распределение внутренних сил по сечению.

Предположим, что нам известно напряжение в каждой элементарной площадке. Тогда можно записать:

Продольное усилие на площадке dA : dN = σ z dA
Поперечная сила вдоль оси х: dQ x = \tau {zx} dA
Поперечная сила вдоль оси y: dQ y = \tau {zy} dA
Элементарные моменты вокруг осей x,y,z: $$\begin{array}{lcr} dM _x = σ _z dA \cdot y \\ dM _y = σ _z dA \cdot x \\ dM _z = dM _k = \tau _{zy} dA \cdot x - \tau _{zx} dA \cdot y \end{array}$$

Выполнив интегрирование по площади поперечного сечения получим:

То есть, каждое внутренне усилие есть суммарный результат действия напряжений по всему поперечному сечению тела.

4. Основные понятия о деформируемом теле: линейные и угловые перемещения и деформации; упругость, пластичность, хрупкость; изотропия и анизотропия.

5. Метод сечений для определения внутренних усилий. Примеры использования метода сечений.

6. Напряжение в точке. Полное, нормальное, касательное напряжения. Размерности напряжения.

19. Удельная потенциальная энергия линейно-упругого материала при одноосном напряжённом состоянии и при чистом сдвиге.

21. Поперечный изгиб прямого бруса. Вывод дифференциальных зависимостей между интенсивностью внешней поперечной нагрузки, внутренней поперечной силой и внутренним изгибающим моментом.

24. Вывод формул для определения осевых моментов инерции прямоугольника, треугольника, круга, кольца.

25. Преобразование моментов инерции плоской фигуры при параллельном переносе осей координат.

26. Преобразование моментов инерции плоской фигуры при повороте осей координат. Главные моменты инерции. Главные центральные оси плоской фигуры. Моменты инерции плоских симметричных фигур.

28. Прямой чистый изгиб прямого бруса. Обобщение задачи об определении напряжений в брусьях с симметричными поперечными сечениями и в брусьях с несимметричными поперечными сечениями.

29. Условия прочности при прямом чистом изгибе бруса. Три типа задач по расчёту на прочность. Привести числовые примеры. Жёсткость бруса при изгибе.

30. Рациональные формы поперечных сечений упругих балок (прямых брусьев) при прямом чистом изгибе. Привести примеры.

32. Прямой поперечный изгиб балки (прямого бруса). Вывод формулы для определения касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях двутавровой балки с использованием формулы д.И.Журавского.

45. Формула Эйлера для критической силы при различных способах опорных закреплений бруса. Приведённая длина бруса.

6. Напряжение в точке. Полное, нормальное, касательное напряжения. Размерности напряжения.

Напряжение – мера распределения внутренних сил по сечению.

Где
- внутренняя сила, выявленная на площадке
.

Полное напряжение
.

Нормальное напряжение – проекция вектора полного напряжения на нормаль обозначается через σ.
, где Е – модуль упругости I рода, ε – линейная деформация. Нормальное напряжения вызывается только изменением длин волокон, направлением их действий, а угол поперечных и продольных волокон не искажается.

Касательное напряжение – составляющие напряжения в плоскости сечения.
, где
(для изотропного материала) – модуль сдвига (модуль упругости II рода), μ – коэффициент Пуассона (=0,3), γ – угол сдвига.

7. Закон Гука для одноосного напряжённого состояния в точке и закон Гука для чистого сдвига. Модули упругости первого и второго рода, их физический смысл, математический смысл и графическая интерпретация. Коэффициент Пуассона.

- закон Гука для одноосного напряжённого состояния в точке.

Е – коэффициент пропорциональности (модуль упругости I рода). Модуль упругости является физической константой материала и определяется экспериментально. Величина Е измеряется в тех же единицах, что и σ, т.е. в кГ/см 2 .

- закон Гука для сдвига.

G– модуль сдвига (модуль упругости II рода). Размерность модуляGтакая же, как и у модуля Е, т.е. кГ/см 2 .
.

μ – коэффициент Пуассона (коэффициент пропорциональности).
. Безразмерная величина, характеризующая свойства материала и определяющаяся экспериментально и лежит в интервале от 0,25 до 0,35 и не могут превышают 0,5 (для изотропного материала).

8. Центральное растяжение (сжатие) прямого бруса. Определение внутренних продольных сил методом сечений. Правило знаков для внутренних продольных сил. Привести примеры расчёта внутренних продольных сил.

Брус испытывает состояние центрального растяжения (сжатия) в том случае, если в его поперечных сечениях возникают центральные продольные силы N z (т.е. внутренняя сила, линия действия которой направлена по осиz), а остальные 5 силовых факторов равны нулю (Q x =Q y =M x =M y =M z =0).

Правило знаков для N z: истинная растягивающая сила – «+», истинная сжимающая сила – «-».

9. Центральное растяжение (сжатие) прямого бруса. Постановка и решение задачи об определении напряжений в поперечных сечениях бруса. Три стороны задачи.

Постановка: Прямой брус из однородного материала, растянутый (сжатый) центральными продольными силами N. Определить напряжение, возникающее в поперечных сечениях бруса, деформации и перемещения поперечных сечений бруса в зависимости от координатzэтих сечений.

10. Центральное растяжение (сжатие) прямого бруса. Определение деформаций и перемещений. Жёсткость бруса при растяжении (сжатии). Привести примеры соответствующих расчётов.

Центральное напряжение (сж.) прямого бруса см. в вопросе 8.

.

При центральном растяжении (сж.) бруса в поперечном направлении в сечении возникает только нормальное напряжение σ z , постоянное во всех точках поперечного сечения и равноеN z /F.
, гдеEF– жёсткость бруса при растяжении (сжатии). Чем больше жёсткость бруса, тем меньше деформируется бус при одной и той же силе. 1/(EF) – податливость бруса при растяжении (сжатии).

11. Центральное растяжение (сжатие) прямого бруса. Статически неопределимые системы. Раскрытие статической неопределимости. Влияние температурного и монтажного факторов. Привести примеры соответствующих расчётов.

Центральное напряжение (сж.) прямого бруса см. в вопросе 8.

Если число линейно-независимых уравнений статики меньше числа неизвестных, входящих в систему этих уравнений, то задача по определению этих неизвестных становится статически неопределимой.
(На сколько удлинится одна часть, на столько сожмётся вторая).

Нормальные условия - 20º С.
.f(σ,ε,tº,t)=0 – функциональная зависимость между 4 параметрами.

12. Опытное изучение механических свойств материалов при растяжении (сжатии). Принцип Сен-Венана. Диаграмма растяжения образца. Разгрузка и повторное нагружение. Наклёп. Основные механические, прочностные и деформационные характеристики материала.

Механические свойства материалов вычисляют с помощью испытательных машин, которые бывают рычажными и гидравлическими. В рычажной машине усилие создаётся при помощи груза, действующего на образец через систему рычагов, а в гидравлической – с помощью гидравлического давления.

Принцип Сен-Венана: Характер распределения напряжения в поперечных сечениях достаточно удалённых (практически на расстояния, равные характерному поперечному размеру стержня) от места приложения нагрузок, продольных сил не зависит от способа приложения этих сил, если они имеют один и тот же статический эквивалент. Однако в зоне приложения нагрузок закон распределения напряжения может заметно отличаться от закона распределения в достаточно удалённых сечениях.

Если испытуемый образец, не доводя до разрушения, разгрузить, то в процессе разгрузки зависимость между силой Р и удлинением Δlобразец получит остаточное удлинение.

Если образец был нагружен на участке, на котором соблюдается закон Гука, а затем разгружен, то удлинение будет чисто упругим. При повторном нагружении пропадёт промежуточная разгрузка.

Наклёп (нагартовка) – явление повышения упругих свойств материала в результате предварительного пластического деформирования.

Предел пропорциональности – наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука.

Предел упругости – наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций.

Предел текучести – напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки.

Предел прочности – максимальное напряжение, которое может выдержать образец, не разрушаясь.

13. Физический и условный пределы текучести материалов при испытании образцов на растяжение, предел прочности. Допускаемые напряжения при расчёте на прочность центрально растянутого (сжатого) бруса. Нормативный и фактический коэффициенты запаса прочности. Привести числовые примеры.

В тех случаях, когда на диаграмме отсутствует явно выраженная площадка текучести, за предел текучести принимается условно величина напряжения, при котором остаточная деформация ε ост =0,002 или 0,2%. В некоторых случаях устанавливается предел ε ост =0,5%.

max|σ z |=[σ].
,n>1(!) – нормативный коэффициент запаса прочности.

- фактический коэффициент запаса прочности.n>1(!).

14. Центральное растяжение (сжатие) прямого бруса. Расчёты на прочность и жёсткость. Условие прочности. Условие жёсткости. Три типа задач при расчёте на прочность.

Центральное напряжение (сж.) прямого бруса см. в вопросе 8.

max|σ z | растяж ≤[σ] растяж;max|σ z | сжатия ≤[σ] сжатия.

15.Обобщённый закон Гука для трёхосного напряжённого состояния в точке. Относительная объёмная деформация. Коэффициент Пуассона и его предельные значения для однородного изотропного материала.

,
,
. Сложив эти уравнения, получим выражение объёмной деформации:
. Это выражение позволяет определить предельное значение коэффициента Пуассона для любого изотропного материала. Рассмотрим случай, когда σ x =σ y =σ z =р. В этом случае:
. При положительном р величина θ должна быть также положительной, при отрицательном р изменение объёма будет отрицательным. Это возможно только в том случае, когда μ≤1/2. Следовательно, значение коэффициента Пуассона для изотропного материала не может превышать 0,5.

16. Соотношение между тремя упругими постоянными для изотропного материала (без вывода формулы).

,
,
.

17. Исследование напряжённо-деформированного состояния в точках центрально-растянутого (сжатого) прямого бруса. Закон парности касательных напряжений.

,
.

- закон парности касательных напряжений.

18. Центральное растяжение (сжатие) бруса из линейно-упругого материала. Потенциальная энергия упругой деформации бруса и её связь с работой внешних продольных сил, приложенных к брусу.

А=U+K. (В результате работы накапливается потенциальная энергия деформированного телаU, кроме того, работа идёт на совершение скорости массе тела, т.е. преобразуется в кинетическую энергию).

Если центральное растяжение (сжатие) бруса из линейно-упругого материала производится очень медленно, то скорость перемещения центра масс тела будет весьма малой. Такой процесс нагружения называется статическим. Тело в любой момент находится в состоянии равновесия. В этом случае А=U, и работа внешних сил целиком преобразуется в потенциальную энергию деформации.
,
,
.

"

Пример 4.1. Определить нормальное и касательное напряжения в точке К прямоугольного сечения балки (6х14 см), если изгибающий момент в этом сечении М х =–40кНм=–40 кНсм., а поперечная сила равна 20 кН.

Решение. Момент инерции прямоугольного поперечного сечения относительноглавной центральной оси x .

J x = = =1372 см 4 . .

Ось у направим вниз. Координата точки К равна у к = –4см.

Нормальное напряжение в точке К будет равно

=116,6 МПа.

Касательное напряжение в точке К вычисляем по формуле Журавского.

Статический момент отсечённой части площади сечения равен

Ширина сечения на уровне К равна b(y)= 6см.

Определим касательное напряжение в точке К.

=2,4 МПа.

Пример 4.2. Определить наибольшее растягивающее нормальное и наибольшее касательное напряжения в балке круглого сечения, если в сечении М х = 80 кНм= 80 10 3 кНсм, Q= 60кН.

Диаметр сечения d=14 см.

Решение. Наибольшее растягивающее нормальное напряжение возникает в нижнем волокне растянутой зоны сечения, т.е. в волокне наиболее удалённом от нейтральной оси х , и определяется по формуле

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках сечения на уровне нейтральной оси х , где все касательные напряжения параллельны поперечной силе, и их можно определять по формуле Журавского.

Площадь сечения равна А = = =153,56 см 2 .

Момент сопротивления сечения равен W x = = 269,26см 3 .

Определим значение растягивающего наибольшего нормального

напряжения

=14,86 =148,6 МПа.

Определим значение наибольшего касательного напряжения

=0,52 =5,2МПа.

Пример 4.3. Определить нормальное и касательное напряжения в точке К на уровне примыкания стенки к полкам стального двутавра (I30), а также наибольшие нормальные и касательные напряжения, если М х =50 кНм=50 10 2 кНсм, Q =30 кН.

Решение. Из сортамента балки двутавровые выписываем необходимые данные для двутавра I30.

h = 300мм=30 см, b=135мм=13,5см, d = 6,5 см=0,65 см,

t=10,2 мм=1,02 см.

Площадь сечения А= 46,5 см 2 , момент инерции J х = 7080 см 4 , момент сопротивления W х = 472 см 3 .

Определим значение статического момента площади сечения полки относительно нейтральной оси х .

= 199,53 см 3 .

На уровне примыкания стенки к полкам касательные напряжения

Напряжение – численная мера распределения внутренних сил по плоскости поперечного сечения. Его используют при исследовании и определении внутренних сил любой конструкции.

Выделим на плоскости сечения площадку  A ; по этой площадке будет действовать внутренняя сила  R .

Величина отношения  R / A = p ср называется средним напряжением на площадке  A . Истинное напряжение в точке А получим устремив  A к нулю:

Нормальные напряжения возникают, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц по плоскости рассматриваемого сечения.

Очевидно, что
. Касательное напряжение в свою очередь может быть разложено по направлениям осейx и y (τ z х , τ z у ). Размерность напряжений – Н/м 2 (Па).

При действии внешних сил наряду с возникновением напряжений происходит изменение объема тела и его формы, т. е. тело деформируется. При этом различают начальное (недеформированное) и конечное (деформированное) состояния тела.

16.Закон парности касательных напряжений

Касат. напряжение на 2-ух взаимно перпендик. площ. направлены к ребру или от ребра и равны по величине

17.Понятие о деформациях. Мера линейной, поперечной и угловой деформации

Деформац – наз. взаимное перемещение точек или сечений тела по сравн с полож-ями тела которые они занимали до приложения внеш сил

бывают: упругие и пластические

а) линейная деформация

мерой явл относительное удлинение эпсила =l1-l/l

б) поперечная деф

мерой явл. относительное сужение эпсила штрих=|b1-b|/b

18.Гипотеза плоских сечений

Основные гипотезы (допущения): гипотеза о не надавливании продольных волокон: волокна, параллельные оси балки, испытывают деформацию растяжения – сжатия и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении; гипотеза плоских сечений : сечение балки, плоское до деформации, остается плоским и нормальным к искривленной оси балки после деформации. При плоском изгибе в общем случае возникают внутренние силовые факторы : продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. N>0, если продольная сила растягивающая; при М>0 волокна сверху балки сжимаются, снизу растягиваются. .

Слой, в котором отсутствуют удлинения, называется нейтральным слоем (осью, линией). При N=0 и Q=0, имеем случай чистого изгиба. Нормальные напряжения:
, - радиус кривизны нейтрального слоя, y - расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя.

19.Закон Гука (1670). Физический смысл входящих в него величин

Он установил связь между напряжением, растяжением и продольной деформацией.
где Е – коэффициент пропорциональности (модуль упругости материала).

Модуль упругости характеризует жёсткость материала, т.е. способность сопротивляться деформациям. (чем больше Е, тем менее растяжимый материал)

Потенциальная энергия деформации:

Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу. Обозначим её через А. В результате этой работы накапливается потенциальная энергия деформированного тела U. Кроме того, работа идёт на сообщение скорости массе тела, т.е. преобразуется в кинетическую энергию К. Баланс энергии имеет вид А = U + К.

Подставим выражения закона Гука в уравнение совместности деформаций:

Решая данное уравнение совместно с уравнениями равновесия, найдем неизвестные внутренние усилия в стержнях.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки.

Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Внешние сипы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при этом напряжения препятствуют их смещению. Расположенная в данной точке частица по-разному взаимодействует с каждой из соседних частиц. Поэтому в общем случае в одной и той же точке напряжения различны по различным направлениям.

В сложных случаях действия сил на брус (в отличие от растяжения или сжатия) вопрос об определении наибольших напряжений, а также положения площадок, на которых они дей­ствуют, усложняется. Для решения этого вопроса приходится специально исследовать за­коны изменения напряжений при изменении положения площадок, проходящих через данную точку. Возникает проблема исследования напряженного состояния в точке деформируемого тела.

Напряженное состояние в точке - совокупность напряжений (нормальных и касательных), действующих по всевозможным площадкам (сечениям), проведенным через эту точку.

Изучение напряженного состояния дает возможность анализировать прочность материала для любого случая нагружения тела.

Исследуя напряженное состояние в данной точке деформируемого тела, в ее окрестно­сти выделяют бесконечно малый (элемен­тарный) параллелепипед, ребра которого направлены вдоль соответствующих координатных осей. При действии на тело внешних сил на каждой из граней элемен­тарного параллелепипеда возникают на­пряжения, которые представляют нормаль­ными и касательными напряжениями проекциями полных напряжений на коор­динатные оси (рис. 5.1).

Нормальные напряжения обозначают буквой σ с индексом, соответствующим нормали к площадке, на которой они действуют. Касательные напряже­ния обозначают буквой τ с двумя индексами: первый соответствует нормали к площадке, а второй - направлению самого напряжения (или наоборот).

Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки нагруженного тела, действует девять компонентов напря­жения. Их можно записать в виде следующей квадратной матрицы:

σ х τ ху τ х z

Т σ = τ у x σ у τ у z

τ zx τ z у σ z

Эта совокупность напряжений называется тензором напряжений .

Тензор напряжений полностью описывает напряженное состояние в точке, то есть если известен тензор напряжений в данной точке, то можно найти напряжения на любой из площадок, проходящих через данную точку (заметим, что тензор представляет собой особый математический объект, компоненты которого при повороте координатных осей подчиняются специфическим правилам тензорного преобразования, при этом тензорное исчисление составляет отдельный раздел высшей математики и здесь не рассматривается).

Используем принятое правило знаков для напряжений в общем виде. Нормальное напряжение σ считается положительным, если совпадает по направлению с внешней нормалью к площадке, касательные напряжения τ считаются положительными, если вектор касательных напряжений следует поворачивать против хода часовой стрелки до совпадения с внешней нормалью (рис. 5.2). Отрицательными считаются напряжения обратных направлений.

Не все девять компонентов напряжений, действующих на гранях параллеле­пипеда, независимые (несвязанные друг с другом). В этом легко убедится, составив уравнения равновесия элемента в отношении его вращений относи­тельно координатных осей. Записав уравнения моментов от сил, действую­щих по граням параллелепипеда, и пренебрегая их изменением при переходе от одной грани к другой ей параллельной, получим, что

τ ху = τ ух, τ х z = τ z х, τ yz = τ zy (5.1)

Данные равенства называют законом парности касательных на­пряжений.

Закон парности касательных напряжений: по двум взаимно перпендикуляр­ным площадкам касательные напряжения, перпендикулярные линии пересе­чения этих площадок, равны между собой.

Закон парности касательных напряжений устанавливает зависимость между величинами и направлениями пар касательных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам элементарного параллелепипеда.

В окрестности исследуемой точки можно выделить бесконечное множество взаимно перпендикулярных площадок. В том числе можно найти и такие площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, а каса­тельные напряжения равны нулю. Такие площадки называют главными (более точно – площадки главных напряжений ).

Рассмотрим две взаимно перпендикулярные площадки с касательными напряжениями τ ху и τ ух. Согласно закону парности касательных напряжений эти напряжения равны. Поэтому, если площадку с напряжением τ ху поворачивать до совпадения с площадкой с напряжением τ ух, то обязательно найдется такое положение площадки, когда касательное напряжение τ = 0.

Главные площадки - три взаимно перпендикулярные площадки в окрестно­сти исследуемой точки, на которых касательные напряжения равны нулю.

Главные напряжения - нормальные напряжения, действующие по главным площадкам (то есть площадкам, на которых отсутствуют касательные напряжения).

Главные напряжения обозначаются σ 1 , σ 2 , σ 3 , причем σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 .

На главных площадках нормальные напряжения (главные напряжения) принимают свои экстремальные значения – максимум σ 1 , минимум σ 3 .

Тензор напряжений, записанный через главные напряжения, принимает наиболее простой вид:

Т σ = 0 σ 2 0

В зависимости от того, сколько главных напряжений действует в окрестности данной точки, различают три вида напряженного состояния:

1) линейное (одноосное) - если одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю (σ 1 ≠0, σ 2 = 0, σ 3 = 0);

2) плоское (двухосное) - если два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю (σ 1 ≠0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0);

3) объемное (трехосное) - если все три главных напряжения отличны от нуля (σ 1 ≠0, σ 2 ≠ 0, σ 3 ≠ 0).

Линейное напряженное состояние

Линейным или одноосным называется напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю (рис. 5.3, а).

Элементы, находящиеся в линейном напряженном состоянии, можно выделить в окрест­ности некоторых точек стержня, работающего на изгиб, иногда - при сложном нагружении, но главным образом на растяжение или сжатие.

Рассмотрим стержень, испытывающий простое растяжение (рис.5.4). Нормальные напряжения в его по­перечных сечениях определяются следующим образом:

Касательные напряжения здесь равны нулю. Следовательно, эти сечения являются главными площадками (σ 1 = σ 0).

Перейдем теперь к определению напряжений на неглавных, наклонных площадках. Выделим площадку, нормаль к которой составляет с осью стержня угол α (рис. 5.5). Проведенную таким образом наклонную площадку будем обозначать α -площадкой, а действующие на ней полные, нор­мальные и касательные напряжения - р α , σ α, τ α соответственно. При этом площадь α -площадки (А α)связана с площадью поперечного сечения стержня (А 0 )следующим образом: А α = А 0 /cos α .

Для определения напряжений воспользуемся методом мысленных сечений. Считая, что наклонная площадка рассекла стержень на две части, отбросим одну из них (верхнюю) и рассмотрим равновесие оставшейся (нижней). Осевая сила (N ) в сечении представляет собой равнодействующую полных на­пряжений р α . Следовательно,

N = р α · А α .

р α = = cos α = σ 0 cos α.

Нормальные и касательные напряжения определим, проецируя полное на­пряжение на нормаль и плоскость α -площадки соответственно:

σ α = р α · cos α;

τ α = р α · sin α,

или, учитывая, что р 0 = σ 0 cos α;

σ α = σ 0 cos 2 α;

τ α = 0,5σ 0 sin 2α .

Из анализа формул видно, что:

1) На площадках, перпендикулярных оси, касательные напряжения равны нулю (такие площадки называются главными , а действующие на них нормальные напряжения – главными нормальными напряжениями ), т.е. при α = 0 в поперечных сечениях стержня τ α = 0, σ α = σ 0 (σ 1 = σ 0 , σ 2 = 0, σ 3 = 0);

2) На площадках, параллельных оси, никаких напряжений нет, поэтому это также главная площадка, т.е. при α = π / 2 в поперечных сечениях стержня τ α = 0, σ α = 0;

3) Наибольшие нормальные напряжения действуют в поперечных сечениях, а наибольшие касательные – на площадках, наклоненных к ним под углом 45°, т.е. при α = ± π / 4 в поперечных сечениях стержня возникают максимальные касательные напряжения τ α = τ max = σ 0 / 2 (нормальные напряжения σ α = σ 0 / 2).

Напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянии

Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю (рис. 5.3, б).

Плоское (двухосное) напряженное состояние встречается при кручении, изгибе и сложном сопротивлении и является одним из наиболее распространенных видов напряженного со­стояния.

Определим напряжения на наклонных пло­щадках при плоском напряженном состоя­нии. Рассмотрим элементарный параллеле­пипед, грани которого являются главными площадками (рис. 5.6). По ним действуют положи­тельные напряжения σ 1 и σ 2 , а третье глав­ное напряжение σ 3 = 0.

Проведем сечение, нормаль к которому по­вернута на угол α от большего из двух глав­ных напряжений (σ 1) против часовой стрел­ки (положительное направление α ). Напря­жения σ α и τ α на этой площадке будут вызываться как действием σ 1 . так и действием σ 2 .

Запишем правила знаков . Будем считать положительными следующие направления напряжений и углов: нормальные напряжения σ - растягивающие: касательные напряжения τ - вращающие элемент по часовой стрелке: угол α - против часовой стрелки от наибольшего из главных напряжений (α < 45°).

Плоское напряженное состояние может быть представле­но как наложение (суперпозиция) двух взаимноперпендикулярных (ортогональных) одноосных напряженных состояний (рис. 5.7). При этом:

σ α = σ α ΄ + σ α ΄΄,

τ α = τ α ΄ + τ α ΄΄,

где σ α ΄, τ α ΄-напряжения, вызванные действием σ 1 ;

σ α ΄΄, τ α ΄΄ - напряжения, вызванные действием σ 2 .

Напряжения при одноосном напряженном состоянии (от действия Ci) связаны между собой как

σ α ΄ = σ 1 cos 2 α;

τ α ΄ = 0,5 σ 1 sin 2α .

Напряжения σ α ΄΄, τ α ΄΄, вызванные действием σ 2 , можно найти аналогично, но при этом необходимо учесть, что вместо угла α в формулы необходимо под­ставить угол β = - (90°- α ) - угол между α -площадкой и напряжением σ 2 .Отсюда получим

σ α ΄΄ = σ 2 ∙ cos 2 [- (90°- α )] → σ α ΄΄ = σ 2 sin 2 α ;

τ α ΄΄ = 0,5 σ 2 sin 2[- (90°- α )] → τ α ΄΄ = - 0,5 σ 2 sin2 α ;

Окончательно можем записать

σ α = σ 1 cos 2 α + σ 2 sin 2 α = + cos2α ; (5.2)

τ α = 0,5 σ 1 sin 2α - 0,5 σ 2 sin2 α = sin2α . (5.3)