Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.
Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.
Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.
Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.
Статика твердого тела
Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.
- Основные понятия и законы статики
- Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.
- Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.
- Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.
- Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.
- Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).
- Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила - действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.
- Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.
- Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.
- Сила
– это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон. - Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
- Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
- Распределенные силы (распределенная нагрузка)
– это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м). - Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.
- Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.
- Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.
- Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
- Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
- Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
- Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.
- Эквивалентные системы сил
– это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
Принятое обозначение: . - Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.
- Уравновешенная система сил
– это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
. - Равнодействующая сила
– это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
. - Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.
- Пара сил
– это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
Принятое обозначение: .
Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение. - Проекция силы на ось
– это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси. - Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.
- Закон 1 (закон инерции).
Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. - Закон 2.
Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
Эти две силы называются уравновешивающимися.
Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое. - Закон 3.
Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела. - Закон 4.
Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
диагонали.
По модулю равнодействующая равна: - Закон 5 (закон равенства действия и противодействия)
. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
Следует иметь в виду, что действие - сила, приложенная к телу Б , и противодействие - сила, приложенная к телу А , не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам. - Закон 6 (закон отвердевания)
. Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела. - Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.
- Связи и их реакции
- Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
- Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
- Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
- Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
- Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.
Кинематика
Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.
- Основные понятия кинематики
- Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
- Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
- Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
- Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).
- Определение кинематических характеристик точки
- Траектория точки
В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
В естественной системе отсчета траектория задается заранее. - Определение скорости точки в векторной системе координат
При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости):
.
Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины. - Определение скорости точки в координатной системе отсчета
Скорости изменения координат точки:
.
Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
.
Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
,
где — углы между вектором скорости и осями координат. - Определение скорости точки в естественной системе отсчета
Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .
- Кинематика твердого тела
- В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
2) определение кинематических характеристик точек тела. - Поступательное движение твердого тела
Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения .
Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки . - Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2π радиана.)
Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
— угловая скорость, рад/с;
— угловое ускорение, рад/с².
Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М , то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R . За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние
.
Модуль линейной скорости:
.
Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
,
где
.
В итоге, получаем формулы
тангенциальное ускорение:
;
нормальное ускорение:
.
Динамика
Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.
- Основные понятия динамики
- Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.
- Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).
- Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.
- Центр масс механической системы
— геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:
где m k , x k , y k , z k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести. - Момент инерции материального тела относительно оси
– это количественная мера инертности при вращательном движении.
Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
.
Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
- Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:
- Сила инерции материального тела
— это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
где — ускорение центра масс тела. - Элементарный импульс силы
— это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt
:
.
Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
. - Элементарная работа силы — это скалярная величина dA , равная скалярному прои
(МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ) – IV вариант
1. Основное уравнение динамики материальной точки, как известно, выражено уравнением . Дифференциальные уравнения движения произвольных точек несвободной механической системы согласно двух способов деления сил можно записать в двух формах:
(1) , где k=1, 2, 3, … , n – количество точек материальной системы.
где - масса k-той точки; - радиус вектор k-той точки, - заданная (активная) сила, действующая на k-тую точку или равнодействующая всех активных сил, действующих на k-тую точку. - равнодействующая сил реакций связей, действующая на k-тую точку; - равнодействующая внутренних сил, действующая на k-тую точку; - равнодействующая внешних сил, действующая на k-тую точку.
При помощи уравнений (1) и (2) можно стремиться решать как первую, так и вторую задачи динамики. Однако решение второй задачи динамики для системы очень усложняется не только с математической точки зрения, но и потому, что мы сталкиваемся с принципиальными трудностями. Они заключаются в том, что как для системы (1), так и для системы (2) число уравнений значительно меньше числа неизвестных.
Так, если использовать (1), то известными для второй (обратной) задачи динамики будут и , а неизвестными будут и . Векторных уравнений будет «n », а неизвестных - «2n».
Если же исходить из системы уравнений (2), то известные и часть внешних сил . Почему часть? Дело в том, что в число внешних сил входят и внешние реакции связей, которые неизвестны. К тому же неизвестными будут ещё и .
Таким образом, как система (1), так и система (2) НЕЗАМКНУТА. Нужно добавлять уравнения, учитывая уравнения связей и возможно ещё нужно накладывать некоторые ограничения на сами связи. Что делать?
Если исходить из (1), то можно пойти по пути составления уравнений Лагранжа первого рода. Но такой путь не рационален потому, что чем проще задача (меньше степеней свободы), тем труднее с точки зрения математики ее решать.
Тогда обратим внимание на систему (2), где - всегда неизвестны. Первый шаг при решении системы – это нужно исключить эти неизвестные. Следует иметь в виду, что нас, как правило, не интересуют внутренние силы при движении системы, то есть при движении системы не нужно знать, как движется каждая точка системы, а достаточно знать как движется система в целом.
Таким образом, если различными способами исключить из системы (2) неизвестные силы , то получаем некоторые соотношения, т. е. появляются некоторые общие характеристики для системы, знание которых позволяют судить о том, как движется система в общем. Эти характеристики вводятся при помощи так называемых общих теорем динамики. Таких теорем четыре:
1. Теорема о движении центра масс механической системы ;
2. Теорема об изменении количества движения механической системы ;
3. Теорема об изменении кинетического момента механической системы ;
4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы .
Пусть материальная точка движется под действием силы F . Требуется определить движение этой точки по отношению к подвижной системе Oxyz (см. сложное движение материальной точки), которая движется известным образом по отношению к неподвижной системе O 1 x 1 y 1 z 1 .
Основное уравнение динамики в неподвижной системе
Запишем абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса
где a абс – абсолютное ускорение;
a отн – относительное ускорение;
a пер – переносное ускорение;
a кор – кориолисово ускорение.
Перепишем (25) с учетом (26)
Введем
обозначения
-
переносная сила инерции,
- кориолисова сила инерции. Тогда
уравнение (27)
приобретает вид
Основное уравнение динамики для изучения относительного движения (28) записывается как же как и для абсолютного движения, только к действующим на точку силам надо добавить переносную и кориолисову силы инерции.
Общие теоремы динамики материальной точки
При решении многих задач можно пользоваться выполненными заранее заготовками, полученными на основе второго закона Ньютона. Такие методы решения задач объединены в этом разделе.
Теорема об изменении количества движения материальной точки
Введем следующие динамические характеристики:
1. Количество движения материальной точки – векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости
.
(29)
2. Импульс силы
Элементарный импульс силы – векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени
(30).
Тогда полный импульс
.
(31)
При F =const получим S =Ft .
Полный импульс за конечный промежуток времени можно вычислить только в двух случаях, когда действующая на точку сила постоянная или зависит то времени. В других случаях необходимо выразить силу как функцию времени.
Равенство размерностей импульса (29) и количества движения (30) позволяет установить между ними количественную взаимосвязь.
Рассмотрим движение материальной точки M под действием произвольной силы F по произвольной траектории.
О
УД:
.
(32)
Разделяем в (32) переменные и интегрируем
.
(33)
В итоге, принимая во внимание (31), получаем
.
(34)
Уравнение (34) выражает следующую теорему.
Теорема : Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку, за тот же интервал времени.
При решении задач уравнение (34) необходимо спроектировать на оси координат
Данной теоремой удобно пользоваться, когда среди заданных и неизвестных величин присутствуют масса точки, ее начальная и конечная скорость, силы и время движения.
Теорема об изменении момента количества движения материальной точки
М
омент
количества движения материальной точки
относительно центра равен произведению
модуля количества движения точки на
плечо, т.е. кратчайшее расстояние
(перпендикуляр) от центра до линии,
совпадающей с вектором скорости
,
(36)
.
(37)
Взаимосвязь между моментом силы (причиной) и моментом количества движения (следствием) устанавливает следующая теорема.
Пусть точка M заданной массы m движется под действием силы F .
,
,
,
(38)
.
(39)
Вычислим производную от (39)
.
(40)
Объединяя (40) и (38), окончательно получим
.
(41)
Уравнение (41) выражает следующую теорему.
Теорема : Производная по времени от вектора момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
При решении задач уравнение (41) необходимо спроектировать на оси координат
В уравнениях (42) моменты количеств движения и силы вычисляются относительно координатных осей.
Из (41) вытекает закон сохранения момента количества движения (закон Кеплера).
Если момент силы, действующей на материальную точку, относительно какого-либо центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра сохраняет свою величину и направление.
Если
,
то
.
Теорема и закон сохранения используются в задачах на криволинейное движение, в особенности при действии центральных сил.
