Что означает в таблице истинности. Совершенная конъюнктивная нормальная форма

1. Определить порядок действий.

2. Определить размерность таблицы истинности.

Количество столбцов определяется количеством логических переменных (их две А, В) и количеством действий (их тоже два).

4. Сформулировать ответ.
В последнем столбце один "0", соответствующий А, равному "1", и В, равному "0". Получается, что данная функция ложна тогда и только тогда, когда логическая переменная А истинна, а логическая переменная В ложна, что соответствует логической функции СЛЕДСТВИЕ.
Значит, данная функция равна логическому следствию переменных А и В: Если А, то В.

Составить таблицу истинности для логической функции:

2. Определить размерность таблицы истинности.

"Шапка" таблицы содержит две строки - номера действий и логические операции действий.
Количество столбцов определяется количеством логических переменных (их две А, В) и количеством действий (их пять).
Количестко строк в таблице равно двойке в степени, равной количеству логических переменных - в случае двух переменных получается 4 строки..
3. Поочередно заполнить столбики таблицы в соответствии с логической функцией данного столбца.


4. Сформулировать ответ.
В последнем столбце "1", соответствуют А равному В, а "0" - А неравному В. Получается, что данная функция истинна, когда А равно В и ложна, когда А не равно В, что соответствует логической функции ТОЖДЕСТВО.
Значит, данная функция равна логическому ТОЖДЕСТВУ переменных А и В: А тождественно В.

Определение 1

Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$.

Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.

Определение 2

Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.

Определение 3

Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$.

При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:

Рисунок 1.

Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.

Алгоритм построения таблицы истинности логической функции

Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка) , $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.

Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.

Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.

Рисунок 2.

Пример 1

Составить таблицу истинности логического выражения $D=\bar{A} \vee (B \vee C)$.

Решение:

Определим количество строк:

кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

Количество переменных – $3$.

1. инверсия ($\bar{A}$);
2. дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($B \vee C$);

3. дизъюнкция ($\overline{A}\vee \left(B\vee C\right)$) – искомое логическое выражение.

   Кол-во столбцов = $3 + 3=6$.

Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.

Рисунок 3.

Пример 2

По данному логическому выражению построить таблицу истинности:

Решение:

Определим количество строк:

Количество простых выражений – $n=3$, значит

кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

Определим количество столбцов:

Количество переменных – $3$.

Количество логических операций и их последовательность:

1. отрицание ($\bar{C}$);
2. дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($A \vee B$);
3. конъюнкция ($(A\vee B)\bigwedge \overline{C}$);
4. отрицание, которое обозначим $F_1$ ($\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}$);
5. дизъюнкция ($A \vee C$);
6. конъюнкция ($(A\vee C)\bigwedge B$);
7. отрицание, которое обозначим $F_2$ ($\overline{(A\vee C)\bigwedge B}$);

8. дизъюнкция – искомая логическая функция ($\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}\vee \overline{(A\vee C)\bigwedge B}$).

Построение таблиц истинности сложных высказываний.

Приоритет логических операций

1) инверсия 2) конъюнкция 3) дизъюнкция 4) импликация и эквивалентность

Как составить таблицу истинности?

Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т. д.

Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица, содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и значения промежуточных формул.

Примеры.

1. Составим таблицу истинности для формулы 96%" style="width:96.0%">

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 1 , то есть является тождественно истинной .

2. Таблица истинности для формулы 96%" style="width:96.0%">

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 0 , то есть является тождественно ложной .

3. Таблица истинности для формулы 96%" style="width:96.0%">

Из таблицы видно, что формула 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Вывод: получили в последнем столбце все единицы. Значит, значение сложного высказывания истинно при любых значениях простых высказываний К и С. Следовательно, учитель рассуждал логически правильно.

Страница 1

Урок информатики по теме "Основы логики, таблицы истинности"

Тема: Как построить таблицу истинности?

Тип урока: комбинированный:

• 
  проверка знаний – устная работа;
• 
  новый материал – лекция;
• 
  закрепление – практические упражнения;
• 
  проверка знаний – задания для самостоятельной работы.

1. 
   Обучающие:
   1. 
      Научить составлять логические выражения из высказываний
   2. 
      Ввести понятие “таблица истинности”
   3. 
      Изучить последовательность действий построения таблиц истинности
   4. 
      Научить находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности
2. 
   Развивающие:
   1. 
      Развивать логическое мышление
   2. 
      Развивать внимание
   3. 
      Развивать память
   4. 
      Развивать речь учащихся
3. 
   Воспитательные:
   1. 
      Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников
   2. 
      Воспитывать аккуратность ведения тетради
   3. 
      Воспитывать дисциплинированность

1. 
   Организационный момент (2 мин).
2. 
   Повторение материала предыдущего урока +проверка домашнего задания (устный опрос) (5 мин).
3. 
   Объяснение нового материала (10 мин).
4. 
   Физкультминутка (1 мин).
5. 
   Закрепление
   • 
     разбор примера (5 мин);
   • 
     практические упражнения (10 мин);
   • 
     задания для самостоятельной работы (5 мин).
6. 
   

• 
  белая доска;
• 
  раздаточный справочный материал “Таблицы истинности”;
• 
  демонстрация презентации “Таблицы истинности”.

1. Организационный момент

• 
  Приветствие.
• 
  Проверка отсутствующих в классе.
• 
  Объявление оценок за прошлый урок.

3 учащихся работают по карточкам:

Соедините правильные определения или обозначения:

1. Логика	1.
2. Высказывание	2. Логическое сложение
3. Алгебра логики	3. Наука о формах и способах мышления
4. Логическая переменная	4. Логическое отрицание
5. Дизъюнкция	5. ИСТИНА и ЛОЖЬ
6. Инверсия	6.
7. Конъюнкция	7.
8. Импликация	8. Наука об операциях над высказываниями
9. Эквивалентность	9. Повествовательное предложения, в котором что-либо утверждается или отрицается, которое может быть истинным или ложным

1)Примеры записаны на доске:

1. 
   Для логических выражений сформулируйте составные высказывания на обычном языке:

Б) (X=Y) и (X=Z). (Ответ: числа X , Y и Z равны между собой)

2) Приведите примеры составных высказываний из школьных предметов и запишите их с помощью логических операций: литература, биология, география, история.

Какие логические связки вы использовали? (Инверсия, дизъюнкция и конъюнкция)

Мы увидели, что логика достаточно крепко связана с нашей повседневной жизнью, а также увидели, что почти любое высказывание можно записать в виде формулы.

Давайте вспомним основные определения и понятия:

3. Объяснение нового материала

Из составного высказывания составьте формулу, заменяя простые высказывания переменными.

Задача: В классе оказалось разбито стекло. Учитель объясняет директору: это сделал Коля или Саша. Но Саша этого не делал, так как в это время сдавал мне зачет. Следовательно, это сделал Коля.

Решение: Формализуем данное сложное высказывание:

К – это сделал Коля; С – это сделал Саша.

Форма высказывания:

На прошлом уроке мы находили значение составного высказы­вания путем подстановки исходных значений входящих логических переменных. А сегодня мы узнаем, что можно построить таблицу истинности, которая определяет истинность или лож­ность логического выражения при всех возможных комбинациях исходных значе­ний простых высказываний (логических переменных) и, что можно определить значения исходных логических переменных, зная какой нам нужен результат.

Итак, тема сегодняшнего урока: «Как построить таблицу истинности?»

Мы уже несколько уроков подряд используем понятие “таблица истинности”? так что же такое таблица истинности ?

Таблица истинности – это таблица, истинность сложного высказывания при всевозможных значениях входящих переменных.

Еще раз рассмотрим наш пример

и построим таблицу истинности для этого составного высказывания

При построении таблиц истинности есть определенная последовательность действий. Давайте запишем

1. 
   Необходимо определить количество строк в таблице истинности.

• 
  количество строк = 2 n , где n – количество логических переменных

1. 
   Необходимо определить количество столбцов в таблице истинности.

• 
  количество столбцов = количеству логических переменных + количество логических операций.
• 
  Необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов (¬, &, V);

1. 
   Заполнить столбцы входных переменных наборами значений
2. 
   Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

К	С
0	0	1	0	0	1
0	1	0	1	0	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	0	1

4. Физкультминутка

1. 
   Закрепление

• 
  разбор примера.
• 
  практические упражнения.
• 
  задания для самостоятельной работы.

А)

А	В
0	0	0	1
0	1	0	0
1	0	0	0
1	1	1	0

Б)

А	В
0	0	1	0	1
0	1	0	1	0
1	0	1	1	1
1	1	0	1	0

В)

А	В	С
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1
1	1	1	0	0	1

Задание для самостоятельной работы «Кто быстрей?»

Заготовленные карточки учащимся, в которой надо провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

А	В	С

Ответ:

А	В	С
0	0	0	1	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1
0	1	0	1	0	1	0
0	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1
1	1	0	1	1	1	0
1	1	1	0	1	1	0

1. 
   Обобщение урока, домашнее задание (2 мин).

Д/З не задается, так как урок спаренный, дети приходят через урок и продолжаем изучать тему «Основы логики и логические основы компьютера».

страница 1

Сегодня мы поговорим о предмете под названием информатика. Таблица истинности, разновидности функций, порядок их выполнения - это наши основные вопросы, на которые мы постараемся найти ответы в статье.

Обычно данный курс преподается еще в средней школе, но большое количество учеников является причиной недопонимания некоторых особенностей. А если вы собрались посвятить этому свою жизнь, то просто не обойтись без сдачи единого государственного экзамена по информатике. Таблица истинности, преобразование сложных выражений, решение логических задач - это все может встретиться в билете. Сейчас мы рассмотрим более подробно данную тему и поможем вам набрать больше балов на ЕГЭ.

Предмет логики

Что же это за предмет - информатика? Таблица истинности - как ее строить? Зачем нужна наука логика? На все эти вопросы мы сейчас с вами ответим.

Информатика - это довольно увлекательный предмет. Он не может вызывать затруднения у современного общества, ведь все, что нас окружает, так или иначе, относится к компьютеру.

Основы науки логики даются преподавателями средней школы на уроках информатики. Таблицы истинности, функции, упрощение выражений - все это должны объяснять учителя информатики. Эта наука просто необходима в нашей жизни. Приглядитесь, все подчиняется каким-либо законам. Вы подбросили мяч, он подлетел вверх, но после этого упал опять на землю, это произошло из-за наличия законов физики и силы земного притяжения. Мама варит суп и добавляет соль. Почему когда мы его едим, нам не попадаются крупинки? Все просто, соль растворилась в воде, подчиняясь законам химии.

Теперь обратите внимание на то, как вы разговариваете.

• «Если я отвезу своего кота в ветеринарную клинику, то ему сделают прививку».
• «Сегодня был очень тяжелый день, потому что приходила проверка».
• «Я не хочу идти в университет, потому что сегодня будет коллоквиум» и так далее.

Все, что вы говорите, обязательно подчиняется законам логики. Это относится как к деловой, так и к дружеской беседе. Именно по этой причине необходимо понимать законы логики, чтобы не действовать наугад, а быть уверенным в исходе событий.

Функции

Для того чтобы составить таблицу истинности к предложенной вам задаче, необходимо знать логические функции. Что это такое? Логическая функция имеет некоторые переменные, которые являются утверждениями (истинными или ложными), и само значение функции должно дать нам ответ на вопрос: «Выражение истинно или ложно?».

Все выражения принимают следующие значения:

• Истина или ложь.
• И или Л.
• 1 или 0.
• Плюс или минус.

Здесь отдавайте предпочтение тому способу, который для вас является более удобным. Для того чтобы составить таблицу истинности, нам нужно перечислить все комбинации переменных. Их количество вычисляется по формуле: 2 в степени n. Результат вычисления - это количество возможных комбинаций, переменной n в данной формуле обозначается количество переменных в условии. Если выражение имеет много переменных, то можно воспользоваться калькулятором или сделать для себя небольшую таблицу с возведением двойки в степень.

Всего в логике выделяют семь функций или связей, соединяющих выражения:

• Умножение (конъюнкция).
• Сложение (дизъюнкция).
• Следствие (импликация).
• Эквиваленция.
• Инверсия.
• Штрих Шеффера.
• Стрелка Пирса.

Первая операция, представленная в списке, имеет название «логическое умножение». Ее графически можно отметить в виде перевернутой галочки, знаками & или *. Вторая в нашем списке операция - логическое сложение, графически обозначается в виде галочки, +. Импликацию называют логическим следствием, обозначается в виде стрелки, указывающей от условия на следствие. Эквиваленция обозначается двухсторонней стрелкой, функция имеет истинное значение только в тех случаях, кода оба значения принимают либо значение «1», либо «0». Инверсию называют логическим отрицанием. Штрих Шеффера называют функцией, которая отрицает конъюнкцию, а стрелку Пирса - функцией, отрицающей дизъюнкцию.

Основные двоичные функции

Логическая таблица истинности помогает найти ответ в задаче, но для этого необходимо запомнить таблицы двоичных функций. В этом разделе они будут предоставлены.

Конъюнкция (умножение). Если два то в результате мы получаем истину, во всех остальных случаях мы получаем ложь.

Результат - ложь при логическом сложении мы имеем только в случае двух ложных входных данных.

Логическое следствие имеет ложный результат только тогда, когда условие является истиной, а следствие - ложью. Здесь можно привести пример из жизни: «Я хотел купить сахар, но магазин был закрыт», следовательно, сахар так и не куплен.

Эквиваленция является истиной только в случаях одинаковых значений входных данных. То есть при парах: «0;0» или «1;1».

В случае инверсии все элементарно, если на входе есть истинное выражение, то оно преобразуется в ложное, и наоборот. На картинке видно, как она обозначается графически.

Штрих Шиффера будет на выходе иметь ложный результат только при наличии двух истинных выражений.

В случае стрелки Пирса, функция будет истинной только в том случае, если на входе мы имеем только ложные выражения.

В каком порядке выполнять логические операции

Обратите внимание на то, что построение таблиц истинности и упрощение выражений возможно только при правильной очередности выполнения операций. Запомните, в какой последовательности их необходимо проводить, это очень важно для получения верного результата.

• логическое отрицание;
• умножение;
• сложение;
• следствие;
• эквиваленция;
• отрицание умножения (штрих Шеффера);
• отрицание сложения (стрелка Пирса).

Пример №1

Сейчас мы предлагаем рассмотреть пример построения таблицы истинности для 4 переменных. Необходимо узнать в каких случаях F=0 у уравнения: неА+В+С*D

Ответом на это задание будет являться перечисление следующих комбинаций: «1;0;0;0», «1;0;0;1» и «1;0;1;0». Как видите, составлять таблицу истинности довольно просто. Еще раз хочется обратить ваше внимание на порядок выполнения действий. В конкретном случае он был следующий:

1. Инверсия первого простого выражения.
2. Конъюнкция третьего и четвертого выражения.
3. Дизъюнкция второго выражения с результатами предыдущих вычислений.

Пример №2

Сейчас мы рассмотрим еще одно задание, которое требует построения таблицы истинности. Информатика (примеры были взяты из школьного курса) может иметь и в качестве задания. Коротко рассмотрим одну из них. Виновен ли Ваня в краже мяча, если известно следующее:

• Если Ваня не крал или Петя крал, то Сережа принял участие в краже.
• Если Ваня не виновен, то и Сережа мяч не крал.

Введем обозначения: И - Ваня украл мяч; П - Петя украл; С - Сережа украл.

По данному условию мы можем составить уравнение: F=((неИ+П) импликация С)*(неИ импликация неС). Нам нужны те варианты, где функция принимает истинное значение. Далее необходимо составить таблицу, так как данная функция имеет целых 7 действий, то мы их опустим. Будем вносить только входные данные и результат.

Обратите внимание на то, что в данной задаче мы вместо знаков «0» и «1» использовали плюс и минус. Это также приемлемо. Нас интересуют комбинации, где F=+. Проанализировав их, мы можем сделать следующий вывод: Ваня участвовал в краже мяча, так как во всех случаях, где F принимает значение +, И имеет положительное значение.

Пример №3

Сейчас предлагаем вам найти количество комбинаций, когда F=1. Уравнение имеет следующий вид: F=неА+В*А+неВ. Составляем таблицу истинности:

Ответ: 4 комбинации.